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Didasfera - Ambiente didattico digitale
2.2.4 Il contenuto geometrico degli Elementi
I criteri di parallelismo permettono di dimostrare il parallelismo di rette conoscendone gli angoli formati da esse e da
una retta trasversale oppure permettono di dimostrare relazioni tra gli angoli formati da due rette e una trasversale nel
caso le due rette siano parallele.
I criterio: Due rette tagliate da una trasversale formano angoli alterni interni congruenti se e solo se sono parallele.
II criterio: Due rette tagliate da una trasversale formano angoli alterni esterni congruenti se e solo se sono parallele.
III criterio: Due rette tagliate da una trasversale formano angoli corrispondenti congruenti se e solo se sono parallele.
IV criterio: Due rette tagliate da una trasversale formano angoli coniugati interni supplementari se e solo se sono
parallele.
V criterio: Due rette tagliate da una trasversale formano angoli coniugati esterni supplementari se e solo se sono
parallele.
Teorema - I criterio di parallelismo
Se due rette tagliate da una trasversale formano angoli alterni interni congruenti allora sono parallele.
DIMOSTRAZIONE
Siano A e B i punti di intersezione delle rette con la trasversale.
Per assurdo si supponga che due rette non siano parallele ma formino angoli alterni interni congruenti. Dal fatto che
non sono parallele si deduce che esse si incontrano in un punto C.
Nel triangolo ABC l'angolo indicato con `alpha` e quello indicato con `beta` sono congruenti. Ciò è in contrasto con il
teorema dell'angolo esterno, dunque non è possibile che le rette non siano parallele.
Utilizzando i criteri di parallelismo è possibile dimostrare che due rette perpendicolari alla stessa retta sono parallele,
proprietà che era stata utilizzata per costruire geometricamente la parallela a una retta data.
Teorema
Due rette r ed s perpendicolari alla stessa retta t sono parallele.
DIMOSTRAZIONE
r`bot`t, quindi r e t incontrandosi formano quattro angoli retti.
s`bot`t, quindi s e t incontrandosi formano quattro angoli retti.
Gli angoli alterni interni sono perciò entrambi retti, e quindi congruenti. Da ciò segue che r\s.
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Teorema (dell'angolo esterno di un triangolo 2)
Ogni angolo esterno di un triangolo è congruente alla somma degli angoli interni non adiacenti.
IPOTESI: ABC è un triangolo.
TESI: `alpha+beta~=BhatCE`
Teorema dell'angolo esterno di un triangolo.
DIMOSTRAZIONE:
Si traccia la retta CD parallela ad AB passante per C. Si traccia il prolungamento CE del segmento AC.
Le rette AB e CD sono parallele, tagliate dalla trasversale BC. Gli angoli `beta` e `beta^'` sono alterni interni, quindi
sono congruenti. Le rette AB e CD sono parallele, tagliate dalla trasversale AE. Gli angoli `alpha` e `alpha^'` sono
corrispondenti, quindi sono congruenti. Si ha: `alpha+beta~=BhatCE`.
Corollario
La somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.
Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti.
Ora si può calcolare la somma degli angoli interni di un poligono convesso qualsiasi.
Si consideri un punto qualsiasi all'interno del poligono. E' possibile, utilizzando tale punto, suddividere il poligono in
tanti triangoli quanti sono i suoi lati, come mostrato in figura. Si indichi con n il numero dei lati del poligono. La somma
degli angoli di ogni triangolo è `pi`, quindi la somma degli angoli dei cinque triangoli è `npi`. Per ottenere la somma degli
angoli interni del poligono bisogna sottrarre l'angolo giro relativo al punto interno al poligono, ossia si deve sottrarre
`2pi`. Da ciò si può dedurre che:
La somma degli angoli interni di un poligono convesso avente n lati è `npi-2pi`. Per esempio un esagono ha sei lati,
dunque la somma dei suoi angoli interni è dunque `6pi-2pi=4pi`.
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In questa unità
Testo: Storia delle idee
Autore: Marcello Ciancio
Curatore: Maurizio Châtel
Metaredazione: Rosanna Lo Piccolo
Editore: BBN
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