Introdurremo tutte le grandezze in modo vettoriale
e specializzeremo ai casi più semplici(es. unidimensionale).
Utilizzeremo sempre questo approccio poiché evita
di dover introdurre nuovamente le stesse grandezze
quando si tratteranno i moti in due o tre dimensioni
Iniziamo a fare l’approssimazione di punto materiale,
ovvero un corpo di dimensioni trascurabili rispetto alle
dimensioni tipiche del problema
Es. nel moto della Terra attorno al Sole, la Terra può
essere considerata un punto materiale (se si trascura la
sua rotazione)
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
1
Vettore posizione
La posizione di un punto materiale M è individuata da un vettore
detto vettore posizione.
•
O
r
M
r = OM
Definito un punto origine O ed un sistema di riferimento
ortogonale il vettore posizione può essere scomposto nelle
tre componenti x y z
^
r=xî+yĵ+zk
^
con î ĵ k versori dei tre assi
le componenti hanno dimensione di una lunghezza mentre
i versori sono adimensionali e si possono usare per tutte le
GF vettoriali
G. Bracco - Appunti di Fisica
2
Generale
1
Un corpo si muove sulla traiettoria bidimensionale al variare del
tempo
Questa è la rappresentazione parametrica
x= -0.31 t2+ 7.2 t+28
2
della curva (traiettoria), il parametro è il
y= 0.22 t - 9.1 t+30
tempo t
P=(f(t),g(t)) con
f(t)= -0.31 t2+ 7.2 t+28
g(t)= 0.22 t2 - 9.1 t+30
e
essa dà luogo al seguente grafico
e x y sono le componenti del
vettore posizione P
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Generale
3
Se la traiettoria è tridimensionale ci sarà una componente in più
e la rappresentazione parametrica della curva (traiettoria)
diventerà
P=(f(t),g(t),h(t)) caso generale tridimensionale
Osservazioni:
•il caso unidimensionale può essere pensato come P=(f(t), 0 , 0)
•il caso bidimensionale può essere pensato come P=(f(t), g(t) , 0)
Quindi useremo il caso bidimensionale essendo di più facile
rappresentazione e per il quale è semplice la generalizzazione
al caso tridimensionale (c’è la terza componente).
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Generale
4
2
Vettore spostamento
Se il punto materiale si muove da M a N il vettore spostamento
(o semplicemente spostamento) è definito da
r’
•
O
r
N
s = r’ - r =ON - OM
M
Nello stesso sistema di riferimento ortogonale il vettore
spostamento può essere scomposto nelle tre componenti
^
^
s = (x’ î + y’ ĵ+ z’ k) -( x î + y ĵ + z k) =
^
^
= (x’-x) î + (y’-y) ĵ + (z’-z) k= ( ∆x î + ∆y ĵ + ∆z k)
con ∆ indichiamo la differenza fra due valori della gradezza
in genere la differenza tra valore finale meno quello iniziale
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
5
Differenza tra spostamento e percorso
Neppure nel caso unidimensionale lo spostamento corrisponde al
cammino percorso da un punto materiale
Supponiamo che una pallina venga lanciata verso l’alto e
raggiunga 5 m di altezza e ricada al suolo nello stesso punto di
partenza dove si ferma. Il percorso è s=10 m mentre il vettore
spostamento è nullo.
A
O
B
Il percorso è uguale allo spostamento se il moto
procede sempre nella stessa direzione A → B
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Generale
6
3
traiettoria bidimensionale
x= -0.31 t2+ 7.2 t+28
y= 0.22 t2 - 9.1 t+30
il vettore spostamento s = ∆P è
la differenza fra due vettori
posizione, nel caso disegnato
fra la posizione per t=0 s
e per t= 20 s.
Il modulo dello spostamento
e’ minore del percorso
s
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
7
Velocità media
Definiamo velocità media
s
vm = ----- con s lo spostamento
∆t che il punto materiale
compie nell’intervallo
di tempo ∆t=tf-ti.
Essendo il prodotto di un vettore (s)
per uno scalare (1/ ∆t), la velocità
media è un vettore. Unità: m/s
Le sue componenti sono
s
^
^
s/∆t = ((x’ î + y’ ĵ+ z’ k) -( x î + y ĵ + z k))/ ∆t =
^
^
= ((x’-x) î + (y’-y) ĵ + (z’-z) k) / ∆t= ( ∆x/ ∆t î + ∆y/ ∆t ĵ + ∆z/ ∆t k)
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
8
4
^
^
( ∆x/ ∆t î + ∆y/ ∆t ĵ + ∆z/ ∆t k) = ( vmx î + vmy ĵ + vmz k)
con vmx =∆x/ ∆t la componente della velocità media
lungo l’asse x, etc.
A seconda dell’intervallo di tempo la velocità media cambia,
inoltre non c’è informazione sul moto istante per istante.
Si procede quindi con un processo di limite per intervalli di
tempo via via più piccoli per ottenere la rapidità di variazione
della posizione del corpo
s
∆x
v = lim
------- velocità (istantanea)
vx = lim --------∆t→0 ∆t
∆t→0 ∆t
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
9
Questo rappresenta il limite di un rapporto incrementale
tra il vettore posizione (s = ∆P) ed il tempo
∆P
∆x
v = lim
------- velocità (istantanea)
vx = lim --------∆t→0 ∆t
∆t→0 ∆t
dP
Quindi v= --- è la derivata della posizione rispetto al tempo
dt
Se nella rappresentazione parametrica della traiettoria si conoscono
le funzioni del tempo P=(f(t),g(t))
dx
df
vx= ---- = ---dt
dt
dy
dg
e vy= ---- = ---dt
dt
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Generale
10
5
La velocità è un vettore che è sempre tangente alla traiettoria
nell’istante in cui viene calcolata
Quindi istante per istante ci indica dove andrà il corpo nell’istante
successivo. Quindi se conosco la velocità posso ricostruire la
traiettoria, è sufficiente conoscere la condizione iniziale di
partenza, infatti dalla definizione
dP= v dt ovvero, usando incrementi finiti,
∆P=v ∆t → Pf-Pi=v (tf-ti) → Pf= Pi + v (tf-ti)
questo suggerisce un modo per ricavare la traiettoria in modo
numerico
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
0 ≡ ti
1
2
11
4 ≡ tf
3
t
•Dividiamo l’intervallo temporale in n parti (nel nostro caso 4)
•Calcoliamo la velocità negli istanti 0,1,…,n: v0 ,v1 ,…,vn
e sommiamo sui vari sottointervalli la quantità
Pj-Pj-1 = v (tj-tj-1) con j=0,…,n-1 otteniamo
Pf= Pi +Σj vj (tj-tj-1) dove l’indice di sommatoria j=0,..,n-1
se nei vari sottointervalli la velocità non cambia molto (quindi
nel sottointervallo la velocità media ~ velocità istantanea) Pf
sarà un punto prossimo a quello finale della traiettoria.
P1
Pi ≡ P0
P2
Pf ≡ P4
P3
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Generale
12
6
Il processo diviene esatto se passiamo al limite per sottointervalli
tendenti a zero.
La sommatoria diviene un integrale
⌠f
Pf= Pi + v (t’) dt’
⌡i
o per t<t f
⌠t
Pf(t)= Pi + v (t’) dt’
⌡t i
Partiamo dal nostro esempio di traiettoria bidimensionale
x= (-0.31 t2+ 7.2 t+28) m → vx=(-0.62 t + 7.2) m/s
y= (0.22 t2 - 9.1 t+30) m → vy= (0.44 - 9.1) m/s
e al variare di dt vediamo come migliora l’approssimazione.
Animazione: linea (dt).
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Generale
13
Passando alle componenti
⌠f
xf= xi + vx (t) dt
⌡i
⌠f
yf= yi + vy (t) dt
⌡i
Quindi ogni componente è indipendente dalle altre.
Dalla conoscenza della velocità, tramite un’integrazione si
ricava il vettore posizione in funzione del tempo finale.
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Generale
14
7
Accelerazione media
vf
vi
vi
vf
∆v
Definiamo accelerazione media
vf - vi
am = ------- con vf , vi le velocità del
∆t punto materiale agli estremi
dell’intervallo di tempo ∆t=tf-ti.
Essendo il prodotto di un vettore
per uno scalare (1/ ∆t), l’accelerazione
media è un vettore. Unità: m/s2
Le sue componenti sono
^
(vf - vi )/∆t = ∆v / ∆t == ( ∆vx/ ∆t î + ∆vy/ ∆t ĵ + ∆vz/ ∆t k)
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Generale
^
15
^
(∆vx/ ∆t î + ∆vy/ ∆t ĵ + ∆vz/ ∆t k) = ( amx î + amy ĵ + amz k)
con amx = ∆vx / ∆t la componente dell’accelerazione media
lungo l’asse x, etc.
A seconda dell’intervallo di tempo, l’accelerazione media cambia
e, come nel caso della velocità media, non c’è informazione sul
moto istante per istante.
Si procede quindi con un processo di limite per intervalli di
tempo via via più piccoli per ottenere la rapidità di variazione della
velocità del corpo
∆v
∆vx
a = lim
------accelerazione(istantanea) ax = lim --------∆t→0 ∆t
∆t→0 ∆t
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Generale
16
8
Questo rappresenta il limite di un rapporto incrementale
tra il vettore velocità (∆v) ed il tempo
∆v
∆vx
a = lim
------- accelerazione
ax = lim --------∆t→0 ∆t
∆t→0 ∆t
dv d2P
Quindi a= ---= --- è la derivata della velocità rispetto al tempo e la
dt dt2 derivata seconda della posizione rispetto al tempo
Osservazione: le cause del moto (forze) sono legate all’accelerazione
perciò non si definiscono derivate della posizione di ordine superiore!
Se nella rappresentazione parametrica della traiettoria si conoscono
le funzioni del tempo P=(f(t),g(t))
df
vx= ---dt
dg
vy= ---dt
d df
d2f
ax=-- ( ---- )= ----dt dt
dt2
d2 g
ay= ----dt2
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Generale
17
Abbiamo visto che la velocità è un vettore sempre tangente alla
traiettoria, l’accelerazione è invece rivolta verso la concavità
della traiettoria nell’istante in cui viene calcolata
Quindi ci indica come la velocità verrà modificata
nell’istante successivo. Quindi se conosco l’accelerazione posso
calcolare la velocità (conoscendo la velocità iniziale) e da questa la
traiettoria (conoscendo la condizione iniziale di partenza)
infatti dalla definizione
dv= a dt ovvero, usando incrementi finiti,
∆v=a ∆t → vf-vi=a (tf-ti) → vf= vi + a (tf-ti)
in modo analogo a quanto fatto con la velocità per ricavare la
traiettoria numericamente
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Generale
18
9
0 ≡ ti
1
2
4 ≡ tf
3
t
•Dividiamo l’intervallo temporale in n parti (nel nostro caso 4)
•Calcoliamo la velocità negli istanti 0,1,…,n: a0 ,a1 ,…,an
e sommiamo sui vari sottointervalli la quantità
vj-vj-1 = a (tj-tj-1) con j=0,…,n-1 otteniamo
vf= vi +Σj aj (tj-tj-1) dove l’indice di sommatoria j=0,..,n-1
se nei vari sottointervalli l’accelerazione non cambia molto (quindi
nel sottointervallo l’accelerazione media ~ accelerazione istantanea)
vf avrà un valore prossimo alla velocità finale. Da vj calcolo P.
v1
v2
vf ≡ v4
v3
vi ≡ v0
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Generale
19
Il processo diviene esatto se passiamo al limite per sottointervalli
tendenti a zero.
La sommatoria diviene un integrale
⌠f
vf= vi + a (t) dt
⌡i
o per t’<tf
⌠ t’
v(t’)= vi + a (t) dt
⌡t i
Partiamo dal nostro esempio di traiettoria bidimensionale
x= (-0.31 t2+ 7.2 t+28) m → vx=(-0.62 t + 7.2) m/s → ax= -0.62 m/s2
y= (0.22 t2 - 9.1 t+30) m → vy= (0.44 t - 9.1) m/s → ay= 0.44 m/s2
Esercizi: 1) data la traiettoria x=y=2t2-t di un corpo stabilire il tipo di curva nel
piano xy e la velocità ed accelerazione per t=0 e t=3 s.
2) Un secondo corpo sta eseguendo la traiettoria nel piano xy con la coordinata y=
t2-4t+1 mentre lungo x la sua velocità è costante e pari a vx=5 m/s. Trovare la
curva parametrica della traiettoria e l’accelerazione per t=2 s.
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Generale
20
10
Scomponiamo l’accelerazione in due vettori:
at
a
at è parallelo a v e quindi determina solo
un cambiamento della lunghezza
(modulo) di v
at dt
v
ar
v
•tangente alla traiettoria:
accelerazione tangenziale at
•perpendicolare alla tangente
alla traiettoria:
accelerazione radiale ar
ar dt
ar essendo perpendicolare a v determina
un solo cambiamento nella direzione di v
ma nessun cambiamento del modulo
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
21
Moti solo con accelerazione tangenziale
In questo caso v ed a sono sempre paralleli, v mantiene la sua direzione
e quindi la traiettoria (a cui v è tangente) è rettilinea. Scelto l’asse x
coincidente con la traiettoria (il verso sarà scelto in modo opportuno)
i vettori avranno solo componente x→ moto unidimensionale.
P=(x,0,0) v=(v,0,0) a=(a,0,0) quindi si possono considerare queste
quantità come semplici scalari (infatti la direzione è fissata, ma se si
ruota il sistema di riferimento e’ la componente di un vettore!) in cui
conta il modulo ed il segno (verso).
Moto uniformemente accelerato (accelerazione costante a=cost.)
In tal caso si integra questa costante per ottenere la velocità
⌠f
⌠f
vf= vi + a dt= vi +a dt= vi + a (tf - ti)
⌡i
⌡i
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
22
11
Si integra ancora per ottenere la posizione (supponiamo moto lungo x)
⌠f
xf= xi + v(t)
⌡i
⌠f
dt= xi + (vi + a (t - ti)) dt=
⌡i
= xi + vi (tf - ti)+½ a (tf - ti)2
Sono possibili delle ovvie semplificazioni :
•se scelgo l’origine nel punto iniziale xi =0
•se scelgo l’origine dei tempi nell’istante iniziale ti =0
Quindi xf =v tf +½ a tf2 e facendo cadere il pedice f
x =v t +½ a t2
(però bisogna ricordarsi che sono state fatte queste assunzioni)
vediamo delle utili formule che derivano da questo risultato
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
23
1D: a=cost
moto rettilineo uniformemente accelerato
1) v = v0+at
(v0 velocità iniziale a t=0, v velocità al tempo t)
2) x-x0 = v0t+½at2 (x0 posizione iniziale a t=0, x posizione al tempo t)
ricaviamo il tempo t dalla seconda equazione t=(v-v0)/a
e messo nella terza (x-x0 )= v0 (v-v0)/a +½a((v-v0)/a)2
a(x-x0 )= v0 (v-v0) +½(v-v0) 2 = v0 v-v0 2 +½(v 2 +v0 2-2v0 v)=½(v 2 -v0 2)
3) v 2 =v0 2+2 a(x-x0 )
x-x0 = ½ v0t+½ (v0+at)t = ½ v0t+½ vt = ½ (v0+v)t
dove ½ (v0+v) = vel. media
4) x-x0 == ½ (v0+v)t
v0 = v - at , x-x0 = (v - at )t+½at2 = vt- ½at2 in funzione della vel. Finale
5) x-x0 = vt- ½at2
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Generale
24
12
In 2D: per avere un moto in 2D occorre che a e v0 non siano paralleli
In particolare per la caduta dei gravi l’accelerazione è verticale e se
il moto ha una componente della velocità orizzontale esso avviene in
due dimensioni. Dal punto di vista cinematico abbiamo visto che esso
può essere trattato in modo indipendente lungo le due direzioni.
Nota: dal punto di vista dinamico questo potrebbe non essere vero:
ad es. se le accelerazioni (legate alle forze come vedremo in seguito)
dipendono dal modulo della velocità, la componente del moto x (o y)
sarà legata alla componente y (o x).
In generale il moto è di tipo parabolico essendo l’accelerazione costante
Esercizio: ricavare le seguenti quantità legate al moto di un proiettile
Gittata R= (v0 2 /g) sin (2 θ0) e massima quota h= (v0 sin (θ0)) 2 /(2g)
(g acc. di gravità, v0= vel. Iniziale, θ0 angolo di tiro)
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
25
Moti solo con accelerazione radiale
In questo caso v ed a sono sempre perpendicolari, il modulo di v rimane
costante ma v cambia sempre la sua direzione. Se supponiamo che anche
a sia costante in modulo, la traiettoria è una circonferenza ed il moto è
circolare uniforme. Scegliamo il piano xy coincidente con quello
della traiettoria.
I vettori avranno solo componente xy→ moto bidimensionale.
P=(x,y,0) v=(vx, vy,0) a=(ax, ay,0)
cerchiamo di trovare il legame
fra il modulo di a e di v.
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
26
13
∆v
Calcoliamo l’accelerazione media a = -----∆t
vA
A
rA θ
O
∆r
B
rB
rA
vB
O
θ
rB
I due triangoli sono
simili (v ⊥ r )
vA
θ
∆v
vB
Quindi | ∆v |: | ∆r |= | vA |:| rA | ma nel limite per ∆t→0
(cioè B→A) la corda | ∆r | si confonde con l’arco AB
AB= | rA | θ ma, essendo | v | costante, AB= | v | ∆t
| ∆v | | vA || vA | ∆t
| vA |2
v2
da cui |a | = ------= ------- --------=---------= ------∆t
| rA |
∆t
| rA |
r
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Generale
27
Nella descrizione del moto circolare uniforme (moto in 2D)
si introducono implicitamente le coordinate polari (r, θ)
x= r cos( θ )
y= r sin ( θ ) e derivando si ottiene
vx= -r sen( θ ) dθ/dt
vy= r cos ( θ ) dθ/dt e dθ/dt=ω velocita’ angolare
vx= -r ω sen( θ )
vy= r ω cos ( θ ) con modulo v= r ω
ax= -r ω2 cos( θ ) – r (dω/dt)sen(θ)
ay= -r ω2 sen ( θ ) + r (dω/dt)cos(θ) e dω/dt=α accel. angolare
Ora consideriamo (cos(θ) ,sen(θ)) e (-sen(θ) ,cos(θ)), sono due
versori tra loro perpendicolari, il primo e’ in direzione radiale e il
secondo in direzione tangenziale rispetto alla traiettoria.
L’accelerazione percio’ e’ la somma di 2 termini
(-r ω2 cos( θ ) , -r ω2 sen( θ ) ) acc.centripeta
(– r α sen(θ), r α cos(θ)) acc.tangenziale
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
28
14
Moto con accelerazione radiale e tangenziale
Nel caso più generale, in ogni punto P della traiettoria si determina
la circonf. osculatrice. Per trovarla si considerano altri due punti A B
r
A
P
O
B
e si calcola la circonferenza che passa
per APB (che è unica, a parte il caso di
traiettoria rettilinea in cui r→∞).
Facendo tendere A e B a P si ottiene la
circonferenza osculatrice come limite.
Conoscendo la velocità v in P ed il raggio r della circonf. osculatrice,
l’accelerazione radiale ha modulo |v|2/r e diretta da P al centro O
mentre l’accelerazione tangenziale è diretta come v e di modulo
d |v|/dt.
Esercizio con Matlab: data una curva generare la circ.osculatrice come
limite per A e B →P
G. Bracco - Appunti di Fisica
29
Generale
Consideriamo ancora l’accelerazione scomposta in comp.tang e radiale
e vediamo di ricavare analiticamente le relazioni già incontrate.
∆u
u(t+∆t)
∆θ
Ricordiamo che la derivata di un vettore
w=(x,y,z) in forma cartesiana è^
dw/dt=(dx/dt î + dy/dt ĵ + dz/dt k)
u(t)
Consideriamo un vettore u di modulo costante
e quindi anche un versore (|u |=1)
i) u•u=cost quindi d/dt (u•u)=0, dalla definizione di prodotto scalare
du/dt•u+ u•du/dt =2 u•du/dt=0 poiché è commutativo ma questo vuol
dire che la derivata du/dt è perpendicolare al vettore stesso.
^ |/∆t = ( ∆θ |u
^ |)/∆t = ∆θ /∆t
ii) Per un versore (∆θ è piccolo) d |∆u
nel limite per ∆t →0, d θ /dt = ω (velocità angolare).
^ versore di du/dt
^
^
Mettendo insieme i) e ii) d ^u /dt = ω n^ (n
normale a u)
^
^
Consideriamo ora la velocità v=v τ (τ vettore tangente al posto di u)
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
30
15
I versori τ^ e n^ definiscono un piano in 3D (piano osculatore). Definiamo
^ ^ ^
il vettore normale a tale piano b=τ×n,
detto vettore binormale.
Dal punto di vista cinematico,
conoscendo velocità ed acceleraz.
τ=v/v (versore tangente),
b=v ×a /(| v ×a |) e
n=b×τ (versore radiale centripeto).
L’accelerazione è scomponibile in
a=atτ+arn.
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Generale
31
Il vettore velocità angolare ω è perpendicolare al piano osculatore (la
direzione è quella dell’asse di rotazione istantaneo che determina la
rotazione di v e quindi ω è parallelo a b) con direzione definita dalla
regola della mano destra → (v n ω) formano una terna destra.
Consideriamo una traiettoria curvilinea la
velocità è v= v τ^ con τ^ tangente che varia da
^
n
punto a punto, da cui l’accelerazione
^
a=dv/dt=dv/dt τ^ + v d τ^ /dt =
τ
^
=dv/dt τ + v ω × ^τ
ω
ω
×
v
Circ. osculatrice
Il modulo di ω è |ω|= v/r con r=raggio
circ. osculatrice, infatti istantaneamente il
corpo si muove di moto circolare e quindi
la seconda componente v ω × τ è diretta
verso il centro della circ. osculatrice
e di modulo v v/r =v2/r → acc. centripeta
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
32
16
Questo modo di procedere deriva dalla rappresentazione intrinseca
della traiettoria:
definiamo una coordinata curvilinea s che misura la distanza
(rettificata) da un punto origine O (→ somma dei tratti tangenti
infinitesimi che misurano i cammini percorsi con segno + se nella
direzione positiva) e quindi la rappresentazione parametrica della
curva diviene
r= r(s) ovvero x=x(s) y=y(s) z=z(s)
precedentemente con la rappresentazione
cartesiana t era un parametro particolare,
s
il tempo, ora s è una distanza.
O
Alla rappresentazione intrinseca r= r(s) ovvero x=x(s) y=y(s) z=z(s)
aggiungiamo come varia s nel tempo s=s(t) (legge oraria)
in tal modo si è separata la dipendenza geometrica da quella temporale.
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
s
O
33
→
Rettificazione della curva
O
s
Il vettore tangente alla curva sarà dr/ds=(dx/ds, dy/ds, dz/ds)= ^u (= τ)
e si può dimostrare che questo è il versore (nel limite la corda dr
diviene uguale all’arco ds) tangente alla traiettoria.
Perciò la velocità v=dr/dt=(dr/ds) (ds/dt) si separa nel versore tangente
e nel modulo v=v ^u = ds/dt ^u (rappresentazione intrinseca della
velocità)
^
l’accelerazione da quanto visto prima è a=dv/dt=dv/dt u^ + v du/dt
=
^
^
^
^
2
2
2
=at u + v ω × u = d s/dt u + (ds/dt) /r n dove il versore n è stato
definito prima ed r è il raggio della circ. osculatrice nel piano
definito dai due versori (r definisce il raggio di curvatura della
traiettoria, 1/r è detta curvatura)
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
34
17
Queste relazioni permettono di classificare i moti
v= ds/dt ^u
a=d2s/dt2 u^ + (ds/dt)2/r n^
basandoci sull’equazione oraria
moti con ds/dt=costante
moti uniformi
2
2
moti con d s/dt =costante moti uniformemente accelerati
basandoci sulla geometria della traiettoria
moti rettilinei
moti circolari
r → ∞ (curvatura=0)
r=cost
La trattazione cartesiana e quella intrinseca sono equivalenti, inoltre si possono
usare altre rappresentazioni basate su differenti tipi di coordinate le più usate, oltre a
quella cartesiana, sono: polare in 2D, sferica e cilindrica in 3D
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
35
Esempio: come abbiamo visto nella descrizione del moto circolare
uniforme (moto in 2D) si introducono le coordinate polari (r, θ)
x= r cos( θ )
y= r sin ( θ ) ciò era particolarmente comodo perché r=cost. e il
moto viene descritto solo da θ (legato all’ascissa curvilinea s=r θ
ma r=cost e si tien conto automaticamente di questo vincolo)
questo premette di introdurre variabili angolari per descrivere il moto
anziché variabili lineari
posizione
x→θ
posizione angolare
velocità
dx/dt = v → dθ/dt = ω velocità angolare
accel.tangenziale dv/dt = a → dω/dt = α accelerazione angolare
ovviamente le quantità sono collegate dalle seguenti relazioni
x= r θ
v= r ω
at= r α e per le variabili angolari esistono
relazioni analoghe a quelle viste per x,v,a ad esempio
θ=(1/2) α t2+ ω 0 t+ θ0.
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
36
18
Moto circolare uniforme e moto armonico
θ
Consideriamo il moto di un punto su una circonferenza
di raggio r. La velocità sia in modulo constante.
Scegliamo un sistema di riferimento xy sul piano della
traiettoria con origine nel centro della circonferenza
Le equazioni nel tempo che descrivono la traiettoria sono
x= r cos(ωt + φ)
y= r sin (ωt + φ)
x2 + y2 = r2 (quadrato del modulo vettore posizione)
la costante ω (unità rad/s) è detta velocità angolare
mentre φ la fase iniziale.
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θ
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Il moto può anche essere descritto dalla variabile
angolare θ (angolo rispetto asse x) che varia nel tempo,
l’arco descritto è dato da r θ(t)
x= r cos(θ(t))
y= r sin (θ(t))
Assumendo un moto a velocita’ angolare costante
θ=ωt + φ. La velocità del moto sarà
(• indica la derivata rispetto al tempo)
•
•
x= -r sin(θ(t)) θ(t) = -r ωsin(ωt + φ)
•
•
y= r cos (θ(t)) θ(t) = r ωcos(ωt + φ)
•
da cui θ(t)= ω. Ma
• 2 •2
x + y = v2 (quadrato del modulo vettore velocità)
da cui |v| = r ω
e quindi anche v e’ costante.
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θ
Calcoliamo l’accelerazione
(• • indica derivata seconda rispetto al tempo)
••
x=
••
-r ω2 cos(ωt + φ)
y= -r ω2 sin(ωt + φ)
• •2
x + •y•2 = a2 (quadrato del modulo vettore accelerazione)
da cui |a| = ω2r = v2 /r (costante) (accel.tangeziale nulla).
Osserviamo che a è diretto verso il centro lungo il raggio
ed è quindi perpendicolare a v (acc. centripeta).
Nota: dopo un tempo T tale che ωT=2π le funzioni
riacquistano lo stesso valore ed il punto ha fatto un giro
T= periodo del moto da cui ω=2π / T. Si definisce
frequenza f=1/T (unità hertz Hz) il numero di giri fatti
al secondo ω=2π f.
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θ
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Consideriamo la proiezione del moto del punto lungo x
x= r cos(ωt + φ)
•
x= -r ωsin(ωt + φ)
••
x= -r ω2 cos(ωt + φ)
Questo moto si dice armonico e descrive molti fenomeni
oscillatori
esso soddisfa la seguente equazione differenziale
••
x + ω2 x = 0 equazione del moto armonico
ω è chiamata il tal caso pulsazione e la frequenza f è
il numero di oscillazioni (complete) del moto.
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Osservazione
θ
Le equazioni che descrivono la traiettoria del moto
circolare possono essere scritte come
x= r cos(ωt + φ)
y= r cos (ωt + φ + ½ π)= r sin (ωt + φ) od anche
x= r sin(ωt + φ)
y= r sin(ωt + φ + ½ π)
quindi il moto circolare può anche essere pensato
come la sovrapposizione di due moti armonici
lungo x e lungo y di uguale ampiezza e pulsazione
ma sfasati di ½ π.
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