α F s Teorema lavoro-energia Energia è un termine generale per

Lavoro Un concetto molto importante è quello di lavoro (di una forza)
La definizione di tale quantità scalare è
L=∫ F • dl (unità di misura joule J)
Il concetto di lavoro richiede che ci sia uno spostamento, questo a volte può
contrastare coll’uso comune di lavoro fatto: es. per mantenere sollevata (in quiete)
una valigia di 20 kg sicuramente compiamo uno sforzo (lavoro) ma dalla nostra
definizione, il lavoro meccanico è L=0 J !
Nel caso di una forza costante e di un cammino rettilineo si può semplificare
l’integrale
F
L=∫ F • dl = F • s = F s cos(α)
con l il cammino percorso e α l’angolo fra il
vettore forza ed il vettore spostamento.
Se α è minore di un angolo retto L>0
Se α è maggiore di un angolo retto L<0
α
s
Anche nel caso che ci si muova e si regga una valigia il lavoro compiuto è nullo:
la forza è verticale e lo spostamento orizzontale quindi F • s =0 J.
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Generale
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Energia è un termine generale per indicare la capacità di compiere
lavoro. Iniziamo a definire l’energia cinetica, ovvero un corpo può
compiere lavoro perché è dotato di movimento
K=½mv2 (stesse unità di misura del lavoro)
Teorema lavoro-energia
Utilizziamo la seconda legge di Newton
F • dl=ma • dl= ma • vdt = ma dt• v =m dv • v= d(½ m v2)
Quindi il lavoro (meccanico) determina una variazione
dell’energia cinetica.In termini finiti
L(i→f) = ΔK = Kf - Ki
Da osservare che questo teorema discende direttamente dalla 2a legge
di Newton e in molti casi permette di risolvere problemi in modo
semplice e diretto senza risolvere le equazioni (differenziali) di moto.
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Generale
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Potenza
La rapidità con la quale si riesce a compiere un certo lavoro
viene chiamata potenza.
Se nell’intervallo di tempo Δt viene eseguito il lavoro L
la potenza media sarà
P=L/ Δt (potenza media)
per intervalli sempre più brevi si arriva alla potenza istantanea
P=dL/dt=F • dl/dt =F • v (unità di misura watt W)
Questa quantità scalare è molto usata anche nel linguaggio
comune: es. la potenza di motore di automobile è 45 kW
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Forze conservative
Forze per le quali il lavoro su un cammino chiuso è nullo
L=∫ F • dl=0
A
questo vuol dire che
il lavoro tra due punti
risulta indipendente
dal cammino che
unisce i due punti
c
∫ F • dl= ∫ F • dl= ∫ F • dl= …
c
d
A
B
d
e
e
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Generale
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Preso un punto come riferimento (ricordarsi che esiste questa
condizione, si definisce la costante di integrazione!) il secondo
estremo dell’integrale B può essere spostato a piacere. Il lavoro
compiuto non dipende dal cammino ma solo dal punto B quindi
B
L= ∫ F • dl= f(B)=f(x,y,z) il lavoro è una funzione del punto B.
A
Si definisce come energia potenziale U la seguente funzione
B
U= -L = - ∫ F • dl (A è fissato ed è quindi funzione del punto B)
A
la variazione di energia potenziale fra due punti B e C corrisponde
al lavoro eseguito contro la forza fra questi due punti
C
ΔU=U(C)-U(B)= -L(B→C) = - ∫ F • dl
B
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Generale
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Consideriamo un percorso rettilineo lungo x, il lavoro di una forza
conservativa che dipende solo da x è
dU
U+cost =- ∫ F • dl= ∫ Fx dx da cui Fx= - ---- (vale in una dimensione)
dx
In generale l’energia potenziale dipenderà da x, y e z
^
e quindi F = -(∂U/∂x) î - (∂U/∂y) ĵ - (∂U/∂z) k
tale operazione è detta gradiente (grad) e si definisce l’operatore
vettoriale e differenziale nabla ∇=(∂/∂x) î + (∂/∂y) ĵ + (∂/∂z) k^
F = -∇U cioè la forza è l’opposto del gradiente dell’energia potenziale
(osservare che U è uno scalare mentre nabla formalmente un vettore,
il risultato è perciò un vettore, ma nabla senza U non ha alcun senso,
solo applicando a U si genera il vettore risultato)
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Generale
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Energia potenziale
Energia posseduta da un corpo in virtù della sua posizione.
Il lavoro svolto contro la forza conservativa viene immagazzinato
nell’energia potenziale.
Es. un corpo portato ad una certa altezza in quiete può produrre
lavoro se viene lasciato cadere ad una quota inferiore. Il lavoro
che facciamo per alzarlo non viene perso ma si recupera con la
caduta. Questo è il significato di forza conservativa.
Cadendo l’energia potenziale si trasforma in energia cinetica.
Quindi esiste un legame fra i vari tipi di energia.
Poiché dall’en. potenziale si ricava la forza, è in genere preferibile
calcolare U che è una quantità scalare e da U ricavare la forza.
Vedremo che questo sarà utile in elettromagnetismo per il calcolo
del campo elettrico.
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Forze conservative sono ad esempio:
forza elastica di una molla U=½kx2
mM
forza gravitazionale
U=-G ------- U=mgh
r
q1 q2
forza elettrica U= k ------r
Per queste ultime si è definito U(r→∞)=0
Esercizio:
Usando la definizione, calcolare l’energia potenziale delle
3 forze conservative.
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Energia meccanica
In meccanica, dal teorema lavoro-energia
L= ΔK ma in presenza di forze conservative
- ΔU = ΔK quindi Ui + Ki = Uf + Kf
la quantità E= U + K è perciò uguale (costante) all’inizio e alla
fine del moto.
E è l’energia totale (meccanica) del corpo e in presenza di forze
conservative vale la conservazione dell’energia totale ΔE=0.
Nel caso ci siano anche forze non conservative il lavoro può essere
separato in Lc+Lnc= ΔK - ΔU + Lnc = ΔK
Lnc = Δ(K+U)
da cui Lnc= ΔE cioè si ha una variazione dell’energia totale del
sistema causata dal lavoro delle forze non conservative.
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Generale
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Lnc oltre che essere legato alle forze di attrito, tien conto se su un
sistema abbiamo fatto del lavoro utilizzando forze esterne al
sistema: Per esempio se lanciamo una palla verso l’alto, il lavoro
muscolare viene ceduto alla palla che modifica sia il suo stato di
quiete (energia cinetica) sia la sua posizione (energia potenziale)
Da osservare che Lnc= ΔE implica che il lavoro fatto modifica
l’energia totale del sistema e la rapidità con cui questo avviene
permette di definire la potenza anche come
P= ΔE / Δt
e nel limite per Δt →0 P=dE/dt,
questo va interpretato nel seguente modo: se una qualche forma di
energia viene trasferita al sistema (scambio di energia) la
potenza indica la rapidità con cui avviene questo scambio di energia.
Es. curva di energia potenziale e moto limitato, punti di inversione del
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moto, forza.
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