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MATEMATICA GENERALE - Programma del corso M – Z
G. Mastroleo
PARTE PRIMA
Conoscenze preliminari
Insiemi. Logica.
Relazioni. Funzioni. Equazioni. Operazioni e strutture.
Numeri naturali. Numeri interi. Numeri razionali. Numeri reali. Confronto tra numeri reali. Continuità del
campo dei numeri reali. Potenza e radice ennesima di un numero reale. Il campo dei numeri reali.
“ampliamento” di Q. Rappresentazione geometrica dei numeri reali. Numeri complessi.
R
Algebra elementare
Monomi. Polinomi. Prodotti notevoli. Divisione di polinomi.
Scomposizoni. Frazioni algebriche.
Equazioni lineari. Sistemi lineari.
Radicali. Potenza a esponente razionale. Radicali algebrici.
Equazioni di secondo grado. Equazioni di grado superiore al secondo. Equazioni irrazionali. Sistemi algebrici
non lineari.
Geometria analitica
Coordinate cartesiane. La retta. Circonferenza. Parabola. Ellisse. Iperbole.
Funzioni elementari
Funzione esponenziale. Funzioni logaritmiche. Funzioni e formule goniometriche. Identità ed equazioni
goniometriche.
Disequazioni
Disequazioni razionali. Disequazioni irrazionali. Disequazioni esponenziali e logaritmiche. Disequazioni
goniometriche. Applicazioni delle disequazioni. Disequazioni in due variabili.
Testi consigliati per
la prima parte:
Bianchi M., Scaglianti L., (2010). Precorso di Matematica, ed.
CEDAM, oppure un qualsiasi testo universitario. Dispense
integrative.
PARTE SECONDA
Lo spazio numerico R
Il campo dei numeri reali. Valore assoluto e distanza euclidea. Insiemi di numeri reali. Estremo superiore e
inferiore di un insieme di numeri reali. Relazioni fra punto e insieme. Insiemi aperti. Insiemi chiusi.
Complemento. Insiemi numerabili.
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Funzioni in R
Definizioni. Rappresentazioni di una funzione. Proprietà di alcune funzioni. Grafici notevoli di funzioni
elementari. Trasformazioni elementari del grafico di funzioni. Funzione composta. Determinazione del
dominio. Funzioni inverse. Funzioni goniometriche inverse.
Limiti delle funzioni di una variabile
Introduzione al concetto di limite di una funzione. Limite finito di una funzione in un punto. Limite infinito di
una funzione in un punto. Limite destro e limite sinistro di una funzione in un punto. Limiti di una funzione
all'infinito. Definizione generale e unitaria di limite. Teoremi fondamentali sui limiti. Infinitesimi. Operazioni
sui limiti. Forme indeterminate.
Funzioni continue
Definizioni. Continuità delle funzioni elementari. Funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato.
Continuità delle funzioni composte. Continuità delle funzioni inverse. Due limiti fondamentali. Limiti
notevoli. Infinitesimi. Infiniti. Punti di discontinuità di una funzione.
Derivate
Introduzione al concetto di derivata. Derivata di una funzione in un punto. Calcolo della derivata in un punto.
Continuità e derivabilità. Significato geometrico della derivata. Funzione derivata. Derivate di funzioni
elementari. Teoremi sulle derivate. Derivata di una funzione composta. Derivata logaritmica. Derivata della
funzione inversa. Tabelle di derivazione. Derivate di ordine superiore. Significati “economici”.
Calcolo differenziale
Teorema di teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange.Teorema di De
L'Hospital. Approssimazione delle funzioni per mezzo di polinomi. Formula di Taylor e di Mac Laurin.
Estremi. Studio di funzione
Introduzione. Massimi e minimi assoluti e relativi. Condizione necessaria per l'esistenza di estremi relativi
(Teorema di Fermat). Condizioni sufficienti per l'esistenza di estremi relativi. Applicazioni all'Economia.
Massimi e minimi assoluti. Convessità e concavità. Punti di flesso. Asintoti. Studio di una funzione.
Funzioni in R2
Lo spazio numerico R2. Spazi numerici reali a n dimensioni. Funzioni reali di due variabili reali. Dominio
delle funzioni in R2. Limite di una funzione in R2. Funzioni continue.
Calcolo differenziale in R2
Derivate parziali delle funzioni di due variabili. Interpretazione geometrica. Funzioni marginali ed elasticità
parziali. Derivate parziali di ordine superiore. Sulle derivate seconde miste. Teorema di SCHWARZ. Massimi
e minimi delle funzioni di due variabili. Condizioni per l'esistenza di estremi. Massimi e minimi vincolati in
R2. Massimo e minimo assoluto di una funzione di due variabili. Ottimizzazione.
Testi consigliati per
la seconda parte:
Torriero A., Scovenna M., Scaglianti L., (2009). Manuale di
Matematica, ed. CEDAM, oppure un qualsiasi testo universitario.
Per le esercitazioni: Scovenna M., Grassi R., (2013). Esercizi di
Matematica, ed. CEDAM, oppure un qualsiasi testo (vanno bene
anche i testi di scuola superiore ma con un adeguato livello di
difficoltà).