Programma del corso di
Analisi Matematica
a.a. 2012/13
1] Numeri reali
Rappresentazione decimale (cenni).
Estremo superiore, inferiore, massimo e minimo di sottoinsiemi di R.
2] Successioni
Definizione di successione, successione limitata, successione monotona.
Definizione di limite per una successione, limite per eccesso e per difetto.
Teorema di unicita’ del limite (*),Teorema della permanenza del segno (*), Teorema di
esistenza del limite per successioni monotone (*), Criterio della radice e del rapporto per
successioni(*). Teorema del confronto (o dei due carabinieri) per successioni (*) .
Limiti delle successioni elementari.
L’insieme dei numeri reali esteso R*: definizione delle operazioni.
Algebra dei limiti. Forme di indecisione.
Simboli di asintotico e o-piccolo.
Infiniti ed infinitesimi e loro confronto. Scala di infiniti.
Definizione del numero di Nepero e, e limiti che si deducono da e.
3] Serie
Definizione di serie numerica e di somma parziale n-esima.
Definizione di serie convergente/divergente/irregolare
Carattere della serie geometrica (*)
Condizione necessaria per la convergenza di una serie (*)
Regolarita’ delle serie a termini non negativi (*)
Per le serie a termini positivi:
Criterio del confronto (*), del confronto asintotico (*), della radice (*), del rapporto (*).
Definizione di serie assolutamente convergente.
La convergenza assoluta di una serie implica la convergenza di tale serie (*)
Criterio Di Leibniz per serie a termini si segno alterno.
4] Funzioni reali
Limiti e continuita’
Definizione di funzione, dominio, insieme immagine, controimmagine, grafico.
Funzione iniettiva, suriettiva, biunivoca, invertibile. Funzione pari, dispari.
Funzione composta, funzione inversa. Funzioni monotone. Relazione tra
monotonia in senso stretto e invertibilita’.
Estremo superiore ed inferiore di una funzione, massimo e minimo assoluto
di una funzione. Funzioni elementari: funzioni potenza, funzioni esponenziali e
logaritmiche, funzioni trigonometriche (sinx, cosx, tgx, artgx).
Topologia di R : definizione di intervallo e di intorno.
Definizione di limite. Limite da destra e da sinistra. Limite per eccesso e per difetto.
Collegamento tra limiti di successioni e limiti di funzioni.
Definizione di funzione continua. Classe di funzioni continue.
x
lim sin
1 (*)
x
x 0
Algebra dei limiti. Cambiamento di variabile nel calcolo dei limiti.
Infinitesimi e infiniti e loro confronto.
Classificazione delle discontinuita’.
Teoremi sulle funzioni continue: teorema di Weierstrass (controesempi),
degli zeri (controesempi), di Darboux (controesempi).
Asintoti (orizzontali, verticali, obliqui).
5] Calcolo differenziale
Definizione di derivata, derivata destra e sinistra. Significato geometrico della derivata ed
equazione della retta tangente. Punti di non derivabilita’:
punti angolosi, cuspidi, punti di flesso a tangente verticale.
Relazione tra derivabilita’ e continuita’(*). Derivata delle funzioni elementari.
Regole di derivazione. Derivate di ordine superiore.
Derivata di funzione composta, inversa. Teorema di De l’Hopital.
Condizione sufficiente di derivabilita’. Definizione di estremo relativo.
Teorema di Fermat (*) (controesempi). Teorema di Rolle (*) (controesempi).
Teorema di Lagrange (*) . Corollari del Teorema di Lagrange (*)(controesempi).
Ricerca dei punti di estremo relativo ed assoluto.
Polinomio di Taylor di ordine n.
Formula di Taylor con resto di Peano arrestata all’ordine n (dimostrazione per n 2)
Polinomio e formula di Mc-Laurin.
Applicazione della formula di Taylor al calcolo dei limiti.
Convessita’ e concavita’: caratterizzazione per funzioni derivabili e due volte derivabili.
Punti di flesso.
Studio di funzione.
6] Primitive
Definizione di primitiva di una funzione in un intervallo I.
Condizione sufficiente affinche’ f ammetta primitiva in I.
Caratterizzazione delle primitive (*).
Definizione di integrale indefinto, proprieta’ dell’integrale indefinito.
Metodi di integrazione: scomposizione, per parti, per sostituzione.
Integrazione delle funzioni razionali fratte con denominatore polinomio di grado non
superiore al terzo.
7] Integrale di Riemann
Definizione di partizione di un intervallo; di somma inferiore/superiore di una funzione
rispetto a una partizione; di raffinamento di una partizione.
Definizione di funzione R-integrabile, di integrale definito e sue proprieta’.
Criteri di integrabilita’.
Definizione della media integrale per una funzione R-integrabile e teorema della media
integrale per una funzione continua (*).
Definizione di funzione integrale.
Teorema fondamentale del calcolo integrale: Parte I (*), Parte II (*).
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I Teoremi contrassegnati con (*) sono intesi con dimostrazione.
