formulazione matriciale delle leggi di kirchhoff - Digilander

FORMULAZIONE MATRICIALE
DELLE LEGGI DI KIRCHHOFF
Matrice di incidenza
La matrice di incidenza nodi-lati [A] è una matrice rettangolare (n×l) che descrive analiticamente il
grafo orientato.
Assegnata una numerazione ai nodi ed ai lati del grafo, il generico elemento della matrice è definito
come segue:
1 se il lato j esce dal nodo i

ai , j = -1 se il lato j entra nel nodo i
0 se il lato j non ha alcun relazione di incidenza col nodo i

Viceversa qualsiasi matrice (n×l) avente la proprietà di contenere per ogni colonna un solo 1, un
solo -1 e tutti 0, rappresenta un grafo.
Formulazione matriciale della LKC
Dato un grafo con n nodi le LKC ai nodi si possono esprimere matricialmente come
[ A] a [ i ] = 0
in cui [ i ] = (i1 ,..., i l ) è il vettore colonna (l×1) delle correnti di lato.
Proprietà di indipendenza delle LKC
Per ogni grafo orientato connesso G con n nodi, le equazioni scritte per (n-1) nodi arbitrari
costituiscono un sistema di n-1 equazioni linearmente indipendenti.
Scelto un qualsiasi nodo di riferimento, se si elimina nella matrice [ A] a la riga corrispondente al
nodo di riferimento si ottengono (n-1) equazioni LKC indipendenti:
[ A].[i ] = 0
dove A è detta matrice di incidenza ridotta ed è di rango massimo cioè (n-1).
Scrittura di un insieme di LKT indipendenti
T
Scelto un nodo di riferimento, posto [ M ] = [ A] si ottengono l equazioni LKT indipendenti:
[V ] = [ M ][ e]
dove sono: V è il vettore colonna (l×1) delle tensioni di lato; e è il vettore colonna ( (n-1) × 1 )
dei potenziali di nodo rispetto al nodo di riferimento.
TEOREMA DI TELLEGEN
Dato un circuito arbitrario, sia G il suo grafo orientato avente l lati e n nodi. Si usino direzioni di
riferimento associate allora
∀ i soddisfacente la LKC
∀ v soddisfacente la LKT
[ v ] T [i] = 0
l
ossia
∑v
h =1
h
ih = 0
Dimostrazione
[ A].[i ] = 0 e [V ] = [ A] T [ e]
T
T
[V ] T [i ] = {[ A] T [ e]} [ i ] = [ e] T ([ A] T ) [ i ] = [ e] T {[ A][i ]} = 0
Per ipotesi:
{
}
Nota:
Il teorema fa riferimento solo al grafo, cioè alle proprietà topologiche ed è quindi indipendente dalla
natura degli elementi del circuito. Se [V] ed [i] appartengono allo stesso circuito e fanno
riferimento allo stesso istante allora il teorema può essere interpretato in chiave energetica in quanto
T
il prodotto [ v ] [ i ] rappresenta la potenza istantanea globalmente presente nella rete; in tal caso il
teorema esprime la conservazione della potenza istantanea (e quindi dell'energia) nel circuito.
ANALISI CIRCUITALE
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L'analisi di un circuito elettrico consiste nella determinazione del suo comportamento (descritto
da tutte le v, i), quando sono note le caratteristiche dei componenti, le modalità di
interconnessione e l'andamento temporale delle eccitazioni presenti.
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I metodi di analisi e la loro complessità dipendono dal tipo di componenti presenti e
dall'andamento temporale delle funzioni di eccitazione. E' utile distinguere le eccitazioni in
esterne (generatori ideali) ed interne (condizioni iniziali sugli elementi a memoria).
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In generale la soluzione del problema d'analisi per una rete comprendente l lati e n nodi cioè
l'individuazione delle funzioni [v , i ] per ciascun lato, richiede la scrittura di un sistema di 2l
equazioni in 2l incognite.
1) l-n+1 equazioni sono desumibili dalle LKT, n-1 dalle LKC che impongono entrambe vincoli
lineari omogenei alle grandezze.
2) le rimanenti l equazioni sono fornite dalle relazioni costitutive dei componenti.
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La natura dei lati e delle eccitazioni caratterizza il tipo di problema matematico che occorre
risolvere (algebrico, lineare, non lineare integro-differenziale etc.).
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Per particolari classi di reti (es. reti lineari RLC) è possibile dimostrare esistenza e unicità della
soluzione. In altri casi occorre invocare di volta in volta particolari proprietà dei componenti
affinché sia assicurata l'esistenza della soluzione, la sua unicità etc.
TEOREMA DI SOSTITUZIONE
Si consideri una rete arbitraria ( lineare o non lineare, tempo variante o invariante ) contenente un
certo numero di generatori indipendenti ed una sua porzione accessibile attraverso una porta (es. un
lato K non accoppiato ad altri lati della rete).
Si supponga che per le eccitazioni date la rete abbia soluzione unica per tutte le tensioni e correnti.
Sia
v
k
e
i
k
la soluzione relativa alla porta K.
Si sostituisca al resto della rete un generatore di tensione (corrente) indipendente la cui funzione sia
proprio
v
k
(t ) (rispettivamente
i
k
(t ) ).
Se la rete modificata per la presenza del generatore ammette ancora soluzione unica per ogni
tensione e corrente di lato allora queste tensioni e correnti sono uguali a quelle della rete originaria.
DIMOSTRAZIONE PER IL CASO DI UN LATO K
Sia
[v ,i ] la soluzione unica della rete originale allora [v ,i ] soddisfa LKT, LKC e tutte le leggi di
l
l
l
l
lato. La rete modificata ammette ancora una soluzione unica per ipotesi; dal momento che per tale
rete valgono ancora le stesse LKT e LKC precedenti nonché tutte le leggi di lato eccetto per il lato
K-esimo, e considerando che per tale lato è stato scelto un generatore avente come grandezza
impressa proprio
v (i ) , allora in virtù dell'unicità della soluzione le [v , i ]
k
k
l
l
della rete originaria e
modificata coincidono.
COMMENTI ED ESEMPI
Il teorema di sostituzione richiede che la rete modificata abbia soluzione unica, cioè che le condizioni
iniziali specificate e gli ingressi determinano tutte le tensioni e correnti dei lati in modo univoco.
Ciò è sempre verificato per reti lineari RLC (tempo invarianti e tempo varianti) eccetto che per alcuni
casi degeneri; lo stesso non può dirsi per reti non lineari.
Esempio:
DIODO TUNNEL CON CIRCUITO DI POLARIZZAZIONE