Geometria - Teoria - Teoremi dell`algebra lineare

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TEOREMI DELL’ALGEBRA LINEARE
L’algebra lineare è quella branca della matematica che si occupa di studiare vettori e spazi
vettoriali, nochè i sistemi lineari: questi elementi sono governati da regole relativamente
semplici che richiedono, tuttavia, una formalità abbastanza pesante. In particolare è
possibile individuare i due teoremi fondamentali di questa disciplina nel “teorema di
Rouché-Capelli” e nella “regola di Cramer”: tramite questi due teoremi è infatti possibile
risolvere agevolmente qualsiasi tipo di sistema lineare.
Il Teorema di Rouché-Capelli
Si consideri il sistema di equazioni lineari a coefficienti reali (in realtà il teorema ha
validità anche nel caso di coefficienti complessi), con 𝑥 ∈ ℝ𝑛 e con 𝑏 ∈ ℝ𝑚 :
𝑎1,1 𝑥1 + 𝑎1,2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1,𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎2,1 𝑥1 + 𝑎2,2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2,𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮
⎨
⎩𝑎𝑚,1 𝑥1 + 𝑎𝑚,2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚,𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
⎧
Il sistema è rappresentato fedelmente dalla matrice (completa) dei coefficienti:
𝑎1,1
(𝐴|𝑏) = � ⋮
𝑎𝑚,1
⋯ 𝑎1,𝑛
⋱
⋮
⋯ 𝑎𝑚,𝑛
𝑏1
⋮ �
𝑏𝑚
Il teorema di Rouché-Capelli afferma che esistono soluzioni per il sistema se e solo se il
rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta:
𝑅𝑔(𝐴|𝑏) = 𝑅𝑔(𝐴|0) = 𝑅𝑔(𝐴)
Inoltre, se esistono soluzioni, queste formano un sottospazio affine di ℝ𝑛 di dimensione
𝑛 − 𝑅𝑔(𝐴): è immediato che se il sistema ha un numero di incognite pari al numero di
equazioni linearmente indipendenti, allora il suddetto sistema ammette soluzione ed è
anche unica.
La regola di Cramer
Un sistema di equazioni lineari può essere rappresentato usando moltiplicazione fra
matrici come:
𝐴 × 𝑥⃗ = 𝑏�⃗
dove A è una matrice e x, b sono due vettori. Se A è una matrice quadrata (cioè il numero
di incognite del sistema è pari al numero di equazioni) ed è anche invertibile
(determinante diverso da zero cioè rango della matrice uguale al numero di incognite), il
teorema di Rouché-Capelli asserisce che il sistema ha esattamente una soluzione.
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In questo caso, la regola di Cramer fornisce un algoritmo per calcolare la soluzione (x 1 , …,
x n ) usando il determinante nel modo seguente:
𝑥𝑖 =
det(𝐴𝑖 )
det(𝐴)
dove A i è la matrice formata sostituendo la i-esima colonna di A con il vettore b dei termini
noti. Notiamo che la condizione di invertibilità di A garantisce che il denominatore det(A)
sia diverso da zero, e quindi che l'espressione descritta abbia sempre senso.
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