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Università “Roma Tre” – L. Chierchia
Esponenziali e potenze
(1/11/2016)
Vogliamo definire e discutere le principali proprietà di potenze con base positiva ed esponente
reale.
1. Potenze con base reale maggiore di 1 ed esponente reale positivo
In questa sezione le “basi” a, b sono numeri reali maggiore di 1; gli “esponenti” x, y numeri
reali positivi.
(1) Ricordiamo alcune proprietà delle potenze con esponente razionale:
se t > 0, t ∈ Q, allora at > 1;
a0 := 1;
t < 0 e t ∈ Q, allora at = 1/a−t < 1;
t, s in Q, allora: t < s se e solo se at < as .
(2) Sia
E := {y = at | t ∈ Q e 0 < t < x} .
Per la densità dei razionali in R possiamo trovare t ∈ Q con 0 < t < x e dunque at ∈ E 6= ∅.
Per la proprietà archimedea, esiste n ∈ N con n > x; dunque se y = at ∈ E con t < x
razionale, si ha t < x < n e at < an , ossia an è un maggiorante di E. Possiamo dunque
definire il numero reale
ax := sup E .
Da tale definizione e da (1) segue immediatamente che ax > 1.
(3) Sia {tn } una successione di numeri razionali positivi tale che1 tn % x. Allora atn % ax .
Dimostrazione Da (1) segue che la successione atn è strettamente crescente e poiché tn < x per
ogni n, atn < ax . Sia ε > 0. Dalla definizione di estremo superiore segue che esiste t ∈ Q, 0 < t < x
tale che at > ax − ε. Poichè tn % x, esiste N > 0 tale che t < tn < x per ogni n > N . Quindi, se
n > N , ax > atn > at > ax − ε, il che implica la tesi.
(4) ax+y = ax ay .
Dimostrazione Siano {sn } e {tn } successioni crescenti di razionali positivi tali che sn % x e tn % y.
Allora sn + tn % x + y e, per l’algebra dei limiti e le proprietà delle potenze con esponente razionali:
(3)
(3)
ax+y = lim asn +tn = lim asn atn = lim asn lim atn = ax ay .
1 Il simbolo “t
n % x” (rispettivamente “tn & x”) significa che la successione tn tende a x e che è
strettamente crescente cioè, tn < tn+1 per ogni n. (risp., strettamente decrescente, tn > tn+1 per ogni
n)
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(5) Se x < y, allora ax < ay .
Dimostrazione
(4)
ay = a(y−x)+x = ay−x ax > ax ,
essendo ay−x > 1 (vedi (2)).
(6) (ab)x = ax bx .
Dimostrazione Sia {tn } una successione strettamente crescente di razionali positivi tale che tn % x.
Per l’algebra dei limiti e le proprietà delle potenze con esponente razionali:
(3)
(3)
(ab)x = lim(ab)tn = lim atn btn = lim atn ) lim btn = ax bx .
(7) Se {an } è una successione strettamente crescente di reali maggiori di 1 tale che an % a,
allora axn % ax .
Dimostrazione Sia bn := a/an . Allora bn & 1. Sia (proprietà archimedea) N ∈ N tale che N > x.
Allora, per l’algebra dei limiti,
(5)
1 < bxn < bN
n → 1 ,
e quindi, per il teorema del confronto (e la monotonia di bxn ) , bxn & 1 e:
(6)
axn =
ax
% ax .
bxn
(8) Se {xn } è una successione strettamente crescente di reali positivi tale che xn % x, allora
axn % ax .
Dimostrazione Sia {tn } una successione strettamente crescente di razionali positivi tale che2 tn % x
e tn < xn . Allora, per (5), atn < axn < ax e la tesi segue da (3) e dal teorema del confronto.
(9) ax
y
= axy .
Dimostrazione Siano {sn } e {tn } successioni crescenti di razionali positivi tali che sn % x e
t
tn % y. Allora, per (3), asm % ax e, per ogni n fissato, per (7), asm n % (ax )tn (qui il limite è
per m → +∞) e quindi, per l’algebra dei limiti e le proprietà delle potenze con esponente razionale,
(3)
(8)
t y (3)
t (7)
= lim axtn = axy .
ax = lim ax n = lim lim asm n = lim lim asm tn
n
n
m
n
m
n
2. Potenze con base reale maggiore di 1 ed esponente reale
In questa sezione le “basi” a, b sono numeri reali maggiore di 1; gli “esponenti” x, y numeri
reali.
1
(10) Se x ∈ R e x < 0 definiamo ax := −x .
a
Da tale definizione segue che3
ax · a−x = 1 ,
∀x∈R.
(11) ax+y = ax ay per ogni x, y ∈ R.
2 Si
prendano, ad esempio, tn razionali tali che 0 < t1 < x1 e, per ogni n ≥ 2, xn−1 < tn < xn .
1. (Si considerino i due casi x > 0 e x < 0).
3 Esercizio
(∗)
3
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Dimostrazione Bisogna considerare i vari casi. Il caso x, y > 0 è stato in considerato in (4). Se
x, y < 0, allora
(10)
ax+y = a−(|x|+|y|) =
(4)
(10)
1
1
= |x| |y| = a−|x| · a−|y| = ax · ay .
a|x|+|y|
a ·a
Se x < 0 < y e |x| ≤ y, allora
(4)
a|x| ax+y = a|x| ay−|x| = a|x|+y−|x| = ay
e dunque, moltiplicando a sinistra e destra per a−|x| , per (10), si ha che
ax+y = a−|x| ay = ax ay .
Infine, il caso x < 0 < y e y < |x|, si riduce al precedente ponendo x0 = −y e y 0 = −x ed osservando
che x0 < 0 < y 0 e che |x0 | < y 0 .
I prossimi tre risultati derivano facilmente dalle definizioni date e la loro verifica viene lasciata
per esercizio4 .
(12) ax < ay per ogni x < y numeri reali.
(13) (ab)x = ax bx per ogni x ∈ R.
(14) ax
y
= axy per ogni x, y ∈ R.
3. Potenze con base reale positiva ed esponente reale
In questa sezione le “basi” a, b sono numeri reali tra 0 ed 1 (esclusi); gli “esponenti” x, y
numeri reali.
(15) Per 0 < a < 1 e x ∈ R poniamo ax :=
1
(∗)
= (a−1 )−x .
(a−1 )x
È facile verificare che anche in questo caso valgono le proprietà (11), (13) e (14) (Esercizio 3). Ad esempio,
ax+y = (a−1 )−(x+y) = (a−1 )−x−y = (a−1 )−x · (a−1 )−y = ax · ay .
Si noti, però, che,
(16) se x < y allora ax > ay .
Dimostrazione ax > ay è equivalente, per (11), a ax−y > 1, ma ax−y = (a−1 )y−x > 1 essendo
a−1 > 1 e y − x > 0.
4. Funzioni esponenziali e potenze reali
Se fissiamo una base a > 0, a 6= 1, la funzione x ∈ R 7→ ax > 0 prende il nome di funzione
esponenziale con base a.
Di tale funzione abbiamo dimostrato che valgono le seguenti proprietà, per ogni x, y ∈ R:
y
(i) ax+y = ax ay ,
(ii) ax = axy ,
4 Esercizio
2. Per la verifica di (14) bisognerà considerare i vari casi x < 0 < y e x, y < 0.
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(iii) se a > 1, x → ax è (strettamente) crescente, mentre se 0 < a < 1, x → ax è (strettamente)
decrescente.
Dal limite notevole lim bn = +∞ con b > 1 segue facilmente (Esercizio 4) la quarta proprietà
fondamentale degli esponenziali (che vale per ogni a > 0 con a 6= 1), e cioè:
sup ax = +∞ ,
R
inf ax = 0 .
R
(iv)
Se fissiamo un numero α ∈ R, possiamo invece considerare la funzione x ∈ (0, ∞) 7→ xα > 0
che prende il nome di potenza con esponente reale α.
Di tale funzione sappiamo che è crescente se5 α > 0 (in tal caso si può definire 0α = 0 e
considerare la funzione sul dominio [0, +∞)) e decrescente se α < 0. Inoltre, per α 6= 0, vale
anche (Esercizio 5)
sup xα = +∞ ,
inf xα = 0 ,
(0,+∞)
(0,+∞)
(nel caso α > 0, l’estremo inferiore è un minimo raggiunto per x = 0).
5 Infatti,
xα > y α è equivalente a (x/y)α > 1.
