Numeri interi, razionali e reali

Luca Lussardi
Appunti di Analisi I
Numeri interi, razionali e reali
L’insieme dei numeri naturali è certamente troppo povero per la Matematica. È necessario quindi
ampliarlo e arricchirlo.
I numeri interi
L’operazione di somma è ben definita nell’insieme N; si ha che, per esempio, se n ≤ m allora
esiste uno ed un solo p ∈ N tale per cui n + p = m; tale p si denota anche con p = m − n.
Tuttavia ciò non è più vero se n > m. I numeri interi tornano utili per porre rimedio a tale
inconvenienza; l’insieme dei numeri interi, denotato con Z, è definito come l’insieme N unito
all’insieme dei cosidetti numeri negativi, ovvero l’insieme dato da {−1, −2, −3, . . . }: si ha quindi
Z = N ∪ {−1, −2, −3, . . . }.
Nell’insieme Z è anzitutto ben definita l’operazione di somma, estensione della somma tra numeri
naturali.
Esempio: Risulta −1 + 4 = 3, oppure ancora −5 + 2 = −3.
Ben definito è anche il prodotto tra due numeri interi, seguendo la cosidetta regola dei segni
che fornisce il segno del prodotto tra due numeri interi, una volta noto il segno dei due fattori.
Più precisamente la regola dei segni si può riassumere, formalmente, come segue:
+·+=+
+ ·− = −
− ·+ = −
− ·− = +.
Esempio 2: Risulta 3 · (−6) = −18, od ancora −2 · (−1) = 2 (i numeri senza segno sono da
considerarsi, per convenzione, positivi).
In base a quanto detto, in Z esiste un’ulteriore operazione ben definita, che è la differenza:
in Z l’operazione z − p ha infatti sempre un risultato, e precisamente z − p = q se e solo se
z = p + q.
I numeri razionali
Un’altra operazione che crea problemi è l’inversione del prodotto: se p, q ∈ Z non è detto che
esista un numero intero r tale per cui si abbia p = q · r. Per dare una soluzione a questo problema
si introducono i numeri razionali, ovvero i numeri della forma p/q (le cosidette frazioni), dove p
e q sono due numeri interi, con q 6= 0.
In realtà il passaggio all’insieme Q non è cosı̀ indolore come può sembrare: va fatta attenzione
al fatto che diverse coppie di numeri interi possono corrispondere allo stesso numero razionale
(due frazioni possono essere equivalenti): allo scopo si pone
p2
p1
=
⇐⇒ p1 q2 = p2 q1 .
q1
q2
www.matematicamente.it
1
Luca Lussardi
Appunti di Analisi I
L’insieme dei numeri razionali Q è quindi definito come l’insieme delle coppie di numeri interi
(p, q), con q 6= 0, a patto di identificare tra loro certe coppie di numeri interi, e precisamente
quelle coppie che verificano l’identità precedente.
In Q vengono estese le operazioni di somma e prodotto ponendo:
p1
p2
p1 q2 + p2 q1
+
=
,
q1
q2
q1 q2
p1 p2
p1 p2
=
.
q1 q2
q1 q2
(spesso viene omesso il simbolo di · per denotare il prodotto). È chiaro, per costruzione, che il
problema dell’estensione dell’operazione di divisione viene completamente risolto in Q.
I numeri reali
L’estensione che completa, ma non in maniera definitiva, il quadro è quella che conduce all’insieme
dei numeri reali: l’insieme dei numeri razionali infatti non è ancora sufficiente a descrivere certe
proprietà necessarie per il seguito. L’idea che conduce alla definizione dell’insieme R è ancora
una volta quella di estendere certe operazioni che non hanno un risultato in Q, ad esempio non
esiste un numero razionale q tale che q · q = 2. In questo caso, però, si segue l’impostazione
assiomatica dell’insieme dei numeri reali, elencando le regole di calcolo che valgono nell’insieme
R (e quindi, a maggior ragione, anche in N, Z e Q): per ogni x, y, z ∈ R valgono le seguenti
proprietà:
1) x + y = y + x.
2) (x + y) + z = x + (y + z).
3) x(y + z) = xy + xz.
4) Esistono 0 e 1 numeri reali tali che per ogni x reale si ha x + 0 = x e x · 1 = x.
5) Per ogni x reale esiste −x reale tale che x+(−x) = 0 e, se x 6= 0, esiste x−1 tale che xx−1 = 1.
6) Esiste un sottoinsieme di R, denotato con R+ tale per cui si abbia: x, y ∈ R+ =⇒ x + y ∈ R+
e xy ∈ R+ ; inoltre si ha che per ogni x reale vale solo una delle seguenti: x ∈ R+ , x = 0,
−x ∈ R+ .
7) Sia A ⊆ R tale per cui esista M ∈ R con x ≤ M per ogni x ∈ A; allora esiste y ∈ R tale per
cui si ha x ≤ y per ogni x ∈ A e inoltre si ha che per ogni ε > 0 esiste x ∈ A con x > y − ε.
Le proprietà 1-5 sono semplici regole di calcolo, già verificate per gli insiemi precedentemente
considerati; la proprietà 6 è un’assiomatizzazione dell’ordinamento totale in R: infatti l’insieme
R+ prende le veci dell’insieme dei numeri reali positivi. La proprietà veramente caratterizzante
l’insieme dei numeri reali è la condizione 7, detta anche proprietà dell’estremo superiore. Tornando all’esempio del numero q tale per cui si ha q · q = 2 si ha che, ponendo
A = {x ∈ R : x · x ≤ 2}
l’insieme A verifica le condizioni richieste al punto 7; si può verificare che l’elemento y ∈ R
postulato dalla condizione 7 soddisfa y · y = 2.
Valore assoluto
Sia x ∈ R; si denota con |x| il cosidetto valore assoluto o modulo di x, e si ha, per definizione,
x
x≥0
|x| =
−x x < 0.
www.matematicamente.it
2
Luca Lussardi
Appunti di Analisi I
Una delle proprietà più importanti del valore assoluto è la disuguaglianza triangolare la quale
afferma che per ogni x, y ∈ R si ha
|x + y| ≤ |x| + |y|.
Potenza e radice
A partire dall’operazione di prodotto si definisce anche la potenza di un numero reale x, a
esponente intero: x0 = 1, xn = xxn−1 per n ∈ N con n ≥ 1, mentre xn = (x−1 )−n se n ∈
{−1, −2, −3, . . . }, con x 6= 0, essendo x−1 = 1/x.
Invertendo l’operazione di potenza ad esponente 2 si ottiene la radice quadrata di un numero
reale√positivo: dato x ∈ R+ esiste uno ed un solo y ∈ R+ tale che y 2 = x; tale y viene denotato
con x e viene detto radice quadrata di x.
La generalizzazione della potenza ad esponente intero porta al concetto di potenza ad esponente
razionale ponendo
√
xm/n = n xm
per ogni x ≥ 0 reale, ed m, n ∈ N con n 6= 0.
È possibile infine definire (mediante risultati di densità dell’insieme Q nell’insieme R) anche
la potenza ad esponente reale qualunque, purchè a base positiva, ovvero potenze del tipo xa ,
con x > 0 e a ∈ R. Le potenze ad esponente reale verificano le stesse proprietà operatoriali
soddisfatte dalle potenze ad esponente intero.
www.matematicamente.it
3