Geometria, C.d.L. Ingegneria Edile-Architettura Programma dettagliato, A.A. 2012-2013 (1) Operazioni su insiemi. Strutture algebriche: gruppoidi e gruppi. (2) Strutture algebriche: anelli e campi. Divisori dello zero. Caratteristica di un anello. n-ple. L’anello dei polinomi. (3) Relazioni d’equivalenza su insiemi. L’anello Zn . Caratteristica di un anello. Matrici: prime definizioni. (4) Prodotto righe per colonne. L’anello delle matrici quadrate: diagonali principale e secondaria di una matrice quadrata; simbolo di Kronecker; matrice identica; matrici diagonali. Matrici triangolari alte e basse. Anello delle matrici quadrate; gruppo lineare di ordine n; gruppo ortogonale di ordine n. (5) Matrici ridotte e trasformazioni elementari. Invertibilit di una matrice. L’inversa di una matrice 2x2. Permutazioni: prime definizioni. (6) Segno di una permutazione. Determinante di una matrice quadrata e sue propriet. Teorema di Binet. Determinante della matrice inversa. Determinante di una matrice ortogonale. Determinante di una matrice triangolare. Sottomatrice, minore, minore complementare. Calcolo del determinante: regola di Sarrus; metodo di Gauss; Teorema di Laplace. (7) Teorema di Laplace generalizzato. Determinante ed esistenza della matrice inversa. Metodi di calcolo dell’inversa di una matrice: metodo dei complementi algebrici; metodo delle due matrici affiancate. Proprietà delle matrici ortogonali. Sottostrutture algebriche e morfismi. Esempi. (8) Spazi e sottospazi vettoriali. Definizioni ed esempi. Sistemi di generatori. Chiusura lineare. (9) Esempi di chiusura e non chiusura rispetto a somma e prodotto per scalare di sottoinsiemi di noti spazi vettoriali; esempi di generatori (e non). (10) Dipendenza e indipendenza lineare. Base di uno spazio vettoriale e sue principali propriet. Basi canoniche. Dimensione di uno spazio vettoriale. Teorema del completamento ad una base. (11) Base ordinata. Componenti di un vettore. Somma e intersezione di sottospazi vettoriali. Relazione di Grassmann. (12) Trasformazioni lineari (definizione ed esempi). Endomorfismi, isomorfismi, automorfismi. Nucleo e Immagine di una trasformazione lineare. Teorema fondamentale delle trasformazioni lineari. Equazione dimensionale per le trasformazioni lineari. Esempi. (13) Matrici associate ad un trasformazione lineare rispetto a due basi ordinate date. Matrice canonicamente associata ad una trasformazione lineare. Matrice associata alla composizione di due trasformazioni lineari. Matrice associata all’inverso di un isomorfismo. 1 (14) Indipendenza lineare delle righe e delle colonne di una matrice quadrata e sua regolarit. Rango di una matrice. Teorema di Kronecker. Prime definizioni sui sistemi lineari. (15) Matrice incompleta e matrice completa. Sistemi lineari omogenei. Sistemi lineari possibili. Spazio vettoriale delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo e calcolo della sua dimensione. Spazio delle soluzioni di un sistema lineare come traslato dello spazio vettoriale delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato. Metodi di risoluzione sistemi: Teorema di Rouch-Capelli; Teorema di Cramer; Formula di Leibniz-Cramer. (16) Trasformazioni riga e sistemi lineari equivalenti. Sistemi lineari minimi. Risoluzione di sistemi lineari tramite il Teorema di Cramer e tramite riduzione di Gauss. (17) Rappresentazioni di sottospazi vettoriali: rappresentazione cartesiana e parametrica. (18) Cambiamento di base e matrice del cambiamento di base. Equazioni algebriche. Radici di un polinomio: algoritmo della divisione; Teorema di Ruffini. Equazioni algebriche a coefficienti reali e complessi; Teorema fondamentale dell’algebra; Teorema di Harriot-Cartesio. (19) Autovalori ed autospazi di un operatore lineare. Autovettori. Similitudine di matrici. Polinomio caratteristico e sue principali propriet. Molteplicit algebrica e geometrica di un autovalore. (20) Diagonalizzazione per similitudine. Basi spettrali e teorema spettrale. Caso di n autovalori distinti. Diagonalizzabilit di matrici simmetriche reali. (21) Spazi vettoriali euclidei: prodotto scalare; norma di un vettore e loro propriet. Esempi di prodotti scalari su diversi spazi vettoriali. Coseno dell’angolo tra due vettori. Basi ortonormali: definizioni e metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. (22) Proprietà delle basi ortonormali. Trasformazioni ortogonali. Complemento ortogonale. (23) Spazi euclidei: definizione ed esempi. Vettori liberi Sistemi di riferimento cartesiano. Cambiamento del sistema di riferimento. Sottospazi euclidei. Giacitura di un sottospazio euclideo. (24) Esempi di sottospazi euclidei. Affine dipendenza e indipendenza. Mutue posizioni tra alcuni sottospazi euclidei (retta-retta, retta-iperpiano, iperpiano-iperpiano). (25) Rappresentazioni cartesiane e parametriche di sottospazi euclidei. Coefficienti direttori di una retta. Equazione frazionaria di una retta. Condizioni di parallelismo e ortogonalità tra rette, iperpiani, retta-iperpiano. (26) Distanza euclidea tra punti e punto-iperpiano. Proiezione ortogonale di un punto su un sottospazio euclideo. Simmetria centrale e ortogonale. 2 (27) Lo spazio euclideo. Rappresentazioni di rette e piani. Parallelismo e ortogonalità tra rette, piani, retta-piano. Fasci di piani. (28) Distanze tra sottospazi dello spazio euclideo standard. Prime definizioni su forme bilineari e quadratiche. (29) Congruenza di matrici simmetriche. Diagonalizzazione per congruenza. Forme canoniche: segnatura; Principio d’inerzia di Sylvester. Forme e matrici definite. Criterio di Sylvester. (30) Le coniche come luoghi geometrici: coniche degeneri e non degeneri. Matrici associate ad una conica del piano euclideo. Discriminante e sue proprietà. Coniche a centro. (31) Riduzione a forma canonica delle coniche. Classificazione delle coniche. (32) Le quadriche dello spazio euclideo: principali proprietà; discriminante; mutue posizioni quadrica-retta e quadrica-piano. Riduzione a forma canonica delle quadriche. Classificazione delle quadriche. (33) Coniche e quadriche non degeneri: piani principali, assi e vertici; riduzione a forma canonica; osservazioni su coniche e quadriche di rotazione e autovalori delle matrici associate. 3