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Geometria, C.d.L. Ingegneria Edile-Architettura
Programma dettagliato, A.A. 2012-2013
(1) Operazioni su insiemi. Strutture algebriche: gruppoidi e gruppi.
(2) Strutture algebriche: anelli e campi. Divisori dello zero. Caratteristica di
un anello. n-ple. L’anello dei polinomi.
(3) Relazioni d’equivalenza su insiemi. L’anello Zn . Caratteristica di un
anello. Matrici: prime definizioni.
(4) Prodotto righe per colonne. L’anello delle matrici quadrate: diagonali
principale e secondaria di una matrice quadrata; simbolo di Kronecker;
matrice identica; matrici diagonali. Matrici triangolari alte e basse. Anello
delle matrici quadrate; gruppo lineare di ordine n; gruppo ortogonale di
ordine n.
(5) Matrici ridotte e trasformazioni elementari. Invertibilit di una matrice.
L’inversa di una matrice 2x2. Permutazioni: prime definizioni.
(6) Segno di una permutazione. Determinante di una matrice quadrata e sue
propriet. Teorema di Binet. Determinante della matrice inversa. Determinante di una matrice ortogonale. Determinante di una matrice triangolare.
Sottomatrice, minore, minore complementare. Calcolo del determinante:
regola di Sarrus; metodo di Gauss; Teorema di Laplace.
(7) Teorema di Laplace generalizzato. Determinante ed esistenza della matrice inversa. Metodi di calcolo dell’inversa di una matrice: metodo dei
complementi algebrici; metodo delle due matrici affiancate. Proprietà delle
matrici ortogonali. Sottostrutture algebriche e morfismi. Esempi.
(8) Spazi e sottospazi vettoriali. Definizioni ed esempi. Sistemi di generatori.
Chiusura lineare.
(9) Esempi di chiusura e non chiusura rispetto a somma e prodotto per scalare
di sottoinsiemi di noti spazi vettoriali; esempi di generatori (e non).
(10) Dipendenza e indipendenza lineare. Base di uno spazio vettoriale e sue
principali propriet. Basi canoniche. Dimensione di uno spazio vettoriale.
Teorema del completamento ad una base.
(11) Base ordinata. Componenti di un vettore. Somma e intersezione di
sottospazi vettoriali. Relazione di Grassmann.
(12) Trasformazioni lineari (definizione ed esempi). Endomorfismi, isomorfismi,
automorfismi. Nucleo e Immagine di una trasformazione lineare. Teorema
fondamentale delle trasformazioni lineari. Equazione dimensionale per le
trasformazioni lineari. Esempi.
(13) Matrici associate ad un trasformazione lineare rispetto a due basi ordinate
date. Matrice canonicamente associata ad una trasformazione lineare.
Matrice associata alla composizione di due trasformazioni lineari. Matrice
associata all’inverso di un isomorfismo.
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(14) Indipendenza lineare delle righe e delle colonne di una matrice quadrata
e sua regolarit. Rango di una matrice. Teorema di Kronecker. Prime
definizioni sui sistemi lineari.
(15) Matrice incompleta e matrice completa. Sistemi lineari omogenei. Sistemi lineari possibili. Spazio vettoriale delle soluzioni di un sistema lineare
omogeneo e calcolo della sua dimensione. Spazio delle soluzioni di un sistema lineare come traslato dello spazio vettoriale delle soluzioni del sistema
lineare omogeneo associato. Metodi di risoluzione sistemi: Teorema di
Rouch-Capelli; Teorema di Cramer; Formula di Leibniz-Cramer.
(16) Trasformazioni riga e sistemi lineari equivalenti. Sistemi lineari minimi. Risoluzione di sistemi lineari tramite il Teorema di Cramer e tramite
riduzione di Gauss.
(17) Rappresentazioni di sottospazi vettoriali: rappresentazione cartesiana e
parametrica.
(18) Cambiamento di base e matrice del cambiamento di base. Equazioni algebriche. Radici di un polinomio: algoritmo della divisione; Teorema
di Ruffini. Equazioni algebriche a coefficienti reali e complessi; Teorema
fondamentale dell’algebra; Teorema di Harriot-Cartesio.
(19) Autovalori ed autospazi di un operatore lineare. Autovettori. Similitudine
di matrici. Polinomio caratteristico e sue principali propriet. Molteplicit
algebrica e geometrica di un autovalore.
(20) Diagonalizzazione per similitudine. Basi spettrali e teorema spettrale.
Caso di n autovalori distinti. Diagonalizzabilit di matrici simmetriche
reali.
(21) Spazi vettoriali euclidei: prodotto scalare; norma di un vettore e loro
propriet. Esempi di prodotti scalari su diversi spazi vettoriali. Coseno
dell’angolo tra due vettori. Basi ortonormali: definizioni e metodo di
ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.
(22) Proprietà delle basi ortonormali. Trasformazioni ortogonali. Complemento ortogonale.
(23) Spazi euclidei: definizione ed esempi. Vettori liberi Sistemi di riferimento
cartesiano. Cambiamento del sistema di riferimento. Sottospazi euclidei.
Giacitura di un sottospazio euclideo.
(24) Esempi di sottospazi euclidei. Affine dipendenza e indipendenza. Mutue posizioni tra alcuni sottospazi euclidei (retta-retta, retta-iperpiano,
iperpiano-iperpiano).
(25) Rappresentazioni cartesiane e parametriche di sottospazi euclidei. Coefficienti direttori di una retta. Equazione frazionaria di una retta. Condizioni di parallelismo e ortogonalità tra rette, iperpiani, retta-iperpiano.
(26) Distanza euclidea tra punti e punto-iperpiano. Proiezione ortogonale di
un punto su un sottospazio euclideo. Simmetria centrale e ortogonale.
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(27) Lo spazio euclideo. Rappresentazioni di rette e piani. Parallelismo e
ortogonalità tra rette, piani, retta-piano. Fasci di piani.
(28) Distanze tra sottospazi dello spazio euclideo standard. Prime definizioni
su forme bilineari e quadratiche.
(29) Congruenza di matrici simmetriche. Diagonalizzazione per congruenza.
Forme canoniche: segnatura; Principio d’inerzia di Sylvester. Forme e
matrici definite. Criterio di Sylvester.
(30) Le coniche come luoghi geometrici: coniche degeneri e non degeneri. Matrici associate ad una conica del piano euclideo. Discriminante e sue
proprietà. Coniche a centro.
(31) Riduzione a forma canonica delle coniche. Classificazione delle coniche.
(32) Le quadriche dello spazio euclideo: principali proprietà; discriminante;
mutue posizioni quadrica-retta e quadrica-piano. Riduzione a forma canonica delle quadriche. Classificazione delle quadriche.
(33) Coniche e quadriche non degeneri: piani principali, assi e vertici; riduzione a forma canonica; osservazioni su coniche e quadriche di rotazione e
autovalori delle matrici associate.
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