Programma di Geometria ed Algebra

Programma di Geometria ed Algebra
Corso di Laurea Ingegneria Meccanica
Anno Accademico 2009-20010
Prof.ssa Maria Rosaria Celentani
1. Strutture algebriche e polinomi
Cenni di Teoria degli Insiemi. Prodotto cartesiano. Cenni sulle applicazioni. Strutture Algebriche:
Semigruppi, Gruppi, Anelli, Campi. Esempi: ℕ\{0, }ℤ,ℚ, ℝ, ℂ.
2. Spazi vettoriali
Spazi Vettoriali su un campo K e loro proprietà elementari. Lo spazio vettoriale numerico ℝn e lo
spazio vettoriale delle matrici. Dipendenza ed indipendenza lineare di un sistema di vettori.
Dipendenza di un vettore da un sistema. Sistemi di generatori e spazi vettoriali finitamente generati.
Basi, Teorema di caratterizzazione delle basi (con dim.), componenti di un vettore, Lemma di
Steinitz, equipotenza delle basi. Dimensione di uno spazio vettoriale. Estrazione di una base da un
sistema di generatori, estensione a base di un sistema di vettori indipendente. Sottospazi di uno
spazio vettoriale. Sottospazi generati da sottoinsiemi. Somme somme dirette di sottospazi. Formula
di Grassmann.
3. Matrici, determinanti e sistemi lineari
Operazioni sulle matrici. Matrici invertibili. Operazioni elementari e matrici elementari. Matrici a
scala. Algoritmo di Gauss-Jordan. Rango di una matrice. Sottomatrici. Determinanti e loro
principali proprietà. Teorema degli orlati. Metodi per il calcolo del determinante. Teorema di Binet.
Metodi per il calcolo dell'inversa di una matrice. Nozione di sistema lineare su un campo. Sistemi
compatibili. Ricerca delle soluzioni di un sistema. Teorema di Rouché-Capelli (con dim.). Teoremi
di unicità. Sistemi equivalenti e sistemi in forma normale. Regola di Cramer. I sistemi omogenei: il
sottospazio delle soluzioni. Relazione tra l'insieme delle soluzioni di un sistema ed il sottospazio
delle soluzioni del sistema omogeneo associato. Sistemi parametrici.
3. Applicazioni lineari, endomorfismi e diagonalizzazione
Applicazioni lineari e loro proprietà elementari. Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare.
Equazione dimensionale. Monomorfismi, epimorfismi, isomorfismi. Caratterizzazione degli
automorfismi di uno spazio vettoriale finitamente generato. Applicazione lineare associata ad una
matrice e matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a basi fissate. Matrici associate alle
applicazioni lineari. Matrice del cambio di base. Endomorfismi: autovalori, autovettori, autospazi.
Polinomio caratteristico e caratterizzazione degli autovalori. Molteplicità algebrica e geometrica di
un autovalore e loro relazioni. Diagonalizzabilità di un endomorfismo e di una matrice. Teorema
Spettrale.
4. Geometria analitica nel piano e nello spazio
Spazi vettoriali euclidei. Il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale di due vettori in uno spazio
vettoriale. Sottospazi ortogonali. Basi ortonormali. Il processo di ortonormalizzazione di GramSchmidt. Riferimenti cartesiani monometrici ortogonali. Rappresentazione parametrica ed equazioni
cartesiane di rette e piani (nel piano e nello spazio). Vettore direzionale di una retta. Fasci di rette in
un piano Condizioni di parallelismo ed orogonalità. Posizioni reciproche tra rette e piani.
Ampliamento proiettivo del piano e coordinate omogenee. Le coniche: classificazione
Testi Consigliati
∙ L. Lomonaco, un’introduzione all’algebra lineare, Aracne
∙ M.Castellano, Elementi di geometria analitica
∙ S. Lipschutz-M. Lipson, Algebra lineare, McGraw-Hill
∙ C. Ciliberto, Algebra lineare, Boringhieri