4^ SA A

A.S. 2014-2015
CLASSE IV SAA
PROGRAMMA DI MATEMATICA
Prof. Andrea Zavaglia
 ESPONENZIALI E LOGARITMI
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La funzione esponenziale e le sue principali proprietà.
La funzione logaritmica e le sue principali proprietà. Proprietà dei logaritmi e cambio di base.
Alcune questioni che conducono naturalmente all’introduzione del numero e: capitalizzazione
continua; tangente alla curva logaritmica; problemi di crescita.
Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche.
 NUMERI REALI
 Cenno agli insiemi infiniti (numerabili e non numerabili).
 Cenno ai numeri algebrici e trascendenti.
 ELEMENTI DI GEOMETRIA DELLO SPAZIO
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Posizioni reciproche di rette e piani: parallelismo, perpendicolarità, angoli fra piani; il teorema delle
tre perpendicolari; proiezione centrale di un piano su un piano parallelo.
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Solidi: principio di Cavalieri; volumi di coni (generalizzati) e cilindri (generalizzati); volume della
sfera; poliedri e relazione di Eulero.
 COMPLEMENTI DI STATISTICA ED ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO E CALCOLO DELLE
PROBABILITÀ
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Elementi di calcolo combinatorio: permutazioni; disposizioni semplici e con ripetizione;
combinazioni; coefficiente binomiale.
Teoria elementare delle probabilità: eventi; caratteristiche principali delle misure di probabilità;
eventi indipendenti e probabilità condizionata; uso dei grafi ad albero; il teorema di Bayes.
Variabili aleatorie semplici: valore medio, varianza e scarto quadratico medio; proprietà
fondamentali del valore medio e della varianza; esempi di variabili aleatorie semplici.
La distribuzione binomiale e la distribuzione ipergeometrica: Il processo di Bernoulli e la
distribuzione binomiale; valore medio di una variabile aleatoria con distribuzione binomiale;
varianza di una variabile aleatoria con distribuzione binomiale; campionamento senza reimmissione
e distribuzione ipergeometrica.
 MATRICI E SISTEMI LINEARI
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Matrici e determinanti: introduzione: matrici con entrate in
(o
); somma di matrici e
moltiplicazione di uno scalare per una matrice (definizione e proprietà); matrice trasposta; vettori
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riga e vettori colonna; prodotto di matrici (definizione e proprietà); determinante di una matrice
quadrata: calcolo del determinante di una matrice con il metodo di Laplace; proprietà e significato
geometrico del determinante. matrice inversa: condizione di esistenza della matrice inversa di una
matrice quadrata; calcolo della matrice inversa.
Applicazioni lineari: lo spazio vettoriale n (definizione e prime proprietà); sottospazi; sottospazio
generato da n vettori; vettori linearmente dipendenti e indipendenti; insiemi di generatori e basi;
teorema fondamentale sulle basi e sue conseguenze; dimensione di un sottospazio; la base
standard di n ; applicazioni lineari f : n  m : definizione e conseguenze immediate; immagine
e nucleo di una applicazione lineare; teorema sulle controimmagini di un vettore rispetto a una
applicazione lineare; matrice di una applicazione lineare f : n  m .
Sistemi lineari: forma matriciale di un sistema lineare e ricerca delle soluzioni di un sistema lineare
vista come ricerca delle controimmagini di un vettore rispetto a una applicazione lineare; soluzione
dei sistemi lineari: il metodo di Cramer; cenno al metodo di Gauss-Jordan. Interpretazione
geometrica dell’insieme delle soluzioni di un sistema lineare.
 INTRODUZIONE ALL’ANALISI MATEMATICA
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Elementi di topologia della retta reale estesa: gli insiemi * e
(definizione e interpretazione
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geometrica); ordinamento in
; algebrizzazione parziale dei simboli  e  ; intervalli; intorni,
punti interni e di accumulazione; intorni destri e sinistri; proprietà fondamentali degli intorni.
Limiti di funzioni reali di variabile reale: definizione topologica di limite; casi particolari e definizione
 - ; limiti destri e sinistri; teorema di unicità del limite; teorema della permanenza del segno;
teorema del confronto; limiti di somme, prodotti e quozienti di funzioni; forme di indecisione; limiti
di funzioni composte; limiti alla frontiera delle funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche.
Funzioni continue: funzioni continue in un punto e in un insieme; continuità da destra e da sinistra;
funzioni discontinue e tipi di discontinuità; somme, prodotti, quozienti e composte di funzioni
continue; continuità delle funzioni elementari; teorema di Bolzano-Darboux e teorema di
Weierstrass.
Calcolo dei limiti: limiti di funzioni polinomiali (generalizzate) e dei loro rapporti; il simbolo ~ di
uguaglianza asintotica (definizione e proprietà); limiti a  di somme e differenze di funzioni
irrazionali. La relazione 1  1/ x   e per x   e le sue conseguenze immediate. Le relazioni:
x
sin  ( x)  ( x) ,
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tan  ( x)  ( x) ,
1  cos2  ( x) 
  ( x) 
2
/ 2,
(1  ( x))k  1 k ( x) ,
e ( x )  1  ( x) , ln(1   ( x)) ( x) (con  ( x) infinitesimo non nullo).
Primi studi di funzione: asintoti di una funzione; condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza
dell’asintoto obliquo; grafici “probabili” di semplici funzioni.
Testo: Bergamini, Trifone, Barozzi, Manuale Blu 2.0 di Matematica – Conf. 4