Politecnico di Bari – Dicatech A.A. 2015/2016 Analisi Matematica I – Prova scritta – 19 febbraio 2016 – Traccia A Cognome No Matricola Nome Nello svolgimento di tutti gli esercizi richiesti, i passaggi ed i risultati devono essere giustificati. 1) Studiare la funzione e tracciarne un grafico qualitativo x+1 f (x) = (1 − x)e x−3 . Lo studio della convessità non è richiesto. 2) Calcolare il seguente integrale indefinito Z 3 log x − 1 dx. (log x − log x + 7)x 2 3) Risolvere la seguente equazione nel piano complesso √ (1 − i)2 (z 4 − 2i) + 2 3i + 2 = 0. 4) Sia {an }n∈N una successione di numeri reali. Dire, giustificando le risposte, quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false: (a) se {an }n∈N è una successione limitata, allora esiste lim an ; n→+∞ (b) se lim an = l e an > 1, per ogni n ∈ N, allora l > 1; n→+∞ (c) se {an }n∈N è una successione crescente, allora esiste lim an in R; n→+∞ (d) se {an }n∈N è una successione strettamente decrescente, allora lim an = −∞. n→+∞ 5) Sia A ⊂ R e f : A → R. Dire, giustificando le risposte, quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false: (a) se x0 ∈ A è un punto di minimo per f , allora il grafico di f ha tangente orizzontale in (x0 , f (x0 )); (b) se f è derivabile e f 0 (x) = 0, per ogni x ∈ A, allora f è costante; (c) se A = [2, 3] e f è monotona crescente, allora f è limitata; (d) se f è derivabile e f 0 (x) > 0, per ogni x ∈ A, allora f non ha punti di minimo. 6) Dare la definizione di derivabilità in un punto e in un insieme. Enunciare e provare il teorema che collega la derivabilità e la continuità. Provare che D sin x = cos x, per ogni x ∈ R. Politecnico di Bari – Dicatech A.A. 2015/2016 Analisi Matematica I – Prova scritta – 19 febbraio 2016 – Traccia B Cognome No Matricola Nome Nello svolgimento di tutti gli esercizi richiesti, i passaggi ed i risultati devono essere giustificati. 1) Studiare la funzione e tracciarne un grafico qualitativo x+1 f (x) = (x − 1)e x−3 . Lo studio della convessità non è richiesto. 2) Calcolare il seguente integrale indefinito Z (5 cos x + 3) sin x dx. cos2 x + 3 cos x + 8 3) Risolvere la seguente equazione nel piano complesso (1 + i)2 (z 4 + 3i) + 4 − 2i = 0. 4) Sia {an }n∈N una successione di numeri reali. Dire, giustificando le risposte, quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false: (a) se {an }n∈N è una successione limitata, allora esiste lim an ; n→+∞ (b) se lim an = l e an < 1, per ogni n ∈ N, allora l < 1; n→+∞ (c) se {an }n∈N è una successione decrescente, allora esiste lim an in R; n→+∞ (d) se {an }n∈N è una successione strettamente crescente, allora lim an = +∞. n→+∞ 5) Sia A ⊂ R e f : A → R. Dire, giustificando le risposte, quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false: (a) se x0 ∈ A è un punto di massimo per f , allora il grafico di f ha tangente orizzontale in (x0 , f (x0 )); (b) se f è derivabile e f 0 (x) = 0, per ogni x ∈ A, allora f è costante; (c) se A = [−1, 7] e f è monotona decrescente, allora f è limitata; (d) se f è derivabile e f 0 (x) < 0, per ogni x ∈ A, allora f non ha punti di massimo. 6) Dare la definizione di derivabilità in un punto e in un insieme. Enunciare e provare il teorema che collega la derivabilità e la continuità. Provare che D cos x = − sin x, per ogni x ∈ R. Politecnico di Bari – Dicatech A.A. 2015/2016 Analisi Matematica I – Prova scritta – 19 febbraio 2016 – Traccia C Cognome No Matricola Nome Nello svolgimento di tutti gli esercizi richiesti, i passaggi ed i risultati devono essere giustificati. 1) Studiare la funzione e tracciarne un grafico qualitativo x−1 f (x) = (1 + x)e x+3 . Lo studio della convessità non è richiesto. 2) Calcolare il seguente integrale indefinito Z (4 sin x + 7) cos x dx. sin2 x + sin x + 6 3) Risolvere la seguente equazione nel piano complesso (1 + i)2 (z 3 + 5i) + 14 − 4i = 0. 4) Sia {an }n∈N una successione di numeri reali. Dire, giustificando le risposte, quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false: (a) se {an }n∈N è una successione limitata, allora esiste lim an ; n→+∞ (b) se lim an = l e an > 2, per ogni n ∈ N, allora l > 2; n→+∞ (c) se {an }n∈N è una successione crescente, allora esiste lim an in R; n→+∞ (d) se {an }n∈N è una successione strettamente decrescente, allora lim an = −∞. n→+∞ 5) Sia A ⊂ R e f : A → R. Dire, giustificando le risposte, quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false: (a) se x0 ∈ A è un punto di minimo per f , allora il grafico di f ha tangente orizzontale in (x0 , f (x0 )); (b) se f è derivabile e f 0 (x) = 0, per ogni x ∈ A, allora f è costante; (c) se f è monotona crescente e A = [−4, −1], allora f è limitata; (d) se f è derivabile e f 0 (x) < 0, per ogni x ∈ A, allora f non ha punti di minimo. 6) Dare la definizione di derivabilità in un punto e in un insieme. Enunciare e provare il teorema che collega la derivabilità e la continuità. Provare che D sin x = cos x, per ogni x ∈ R. Politecnico di Bari – Dicatech A.A. 2015/2016 Analisi Matematica I – Prova scritta – 19 febbraio 2016 – Traccia D Cognome No Matricola Nome Nello svolgimento di tutti gli esercizi richiesti, i passaggi ed i risultati devono essere giustificati. 1) Studiare la funzione e tracciarne un grafico qualitativo x+3 f (x) = (1 + x)e x−1 . Lo studio della convessità non è richiesto. 2) Calcolare il seguente integrale indefinito Z (3ex − 4)ex dx. e2x − 3ex + 7 3) Risolvere la seguente equazione nel piano complesso √ (1 − i)2 (z 3 − 2) + 2i − 6 3 = 0. 4) Sia {an }n∈N una successione di numeri reali. Dire, giustificando le risposte, quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false: (a) se {an }n∈N è una successione limitata, allora esiste lim an ; n→+∞ (b) se lim an = l e an < 2, per ogni n ∈ N, allora l < 2; n→+∞ (c) se {an }n∈N è una successione decrescente, allora esiste lim an in R; n→+∞ (d) se {an }n∈N è una successione strettamente crescente, allora lim an = +∞. n→+∞ 5) Sia A ⊂ R e f : A → R. Dire, giustificando le risposte, quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false: (a) se x0 ∈ A è un punto di minimo per f , allora il grafico di f ha tangente orizzontale in (x0 , f (x0 )); (b) se f è derivabile e f 0 (x) = 0, per ogni x ∈ A, allora f è costante; (c) se f è monotona decrescente e A = [3, 8], allora f è limitata; (d) se f è derivabile e f 0 (x) > 0, per ogni x ∈ A, allora f non ha punti di massimo. 6) Dare la definizione di derivabilità in un punto e in un insieme. Enunciare e provare il teorema che collega la derivabilità e la continuità. Provare che D cos x = − sin x, per ogni x ∈ R.