Politecnico di Bari – Dicatech A.A. 2015/2016 Analisi Matematica I

Politecnico di Bari – Dicatech A.A. 2015/2016
Analisi Matematica I – Prova scritta – 19 febbraio 2016 – Traccia A
Cognome
No Matricola
Nome
Nello svolgimento di tutti gli esercizi richiesti, i passaggi ed i risultati devono essere giustificati.
1)
Studiare la funzione e tracciarne un grafico qualitativo
x+1
f (x) = (1 − x)e x−3 .
Lo studio della convessità non è richiesto.
2)
Calcolare il seguente integrale indefinito
Z
3 log x − 1
dx.
(log x − log x + 7)x
2
3)
Risolvere la seguente equazione nel piano complesso
√
(1 − i)2 (z 4 − 2i) + 2 3i + 2 = 0.
4)
Sia {an }n∈N una successione di numeri reali. Dire, giustificando le risposte, quali delle seguenti affermazioni
sono vere e quali false:
(a) se {an }n∈N è una successione limitata, allora esiste lim an ;
n→+∞
(b) se lim an = l e an > 1, per ogni n ∈ N, allora l > 1;
n→+∞
(c) se {an }n∈N è una successione crescente, allora esiste lim an in R;
n→+∞
(d) se {an }n∈N è una successione strettamente decrescente, allora lim an = −∞.
n→+∞
5)
Sia A ⊂ R e f : A → R. Dire, giustificando le risposte, quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false:
(a) se x0 ∈ A è un punto di minimo per f , allora il grafico di f ha tangente orizzontale in (x0 , f (x0 ));
(b) se f è derivabile e f 0 (x) = 0, per ogni x ∈ A, allora f è costante;
(c) se A = [2, 3] e f è monotona crescente, allora f è limitata;
(d) se f è derivabile e f 0 (x) > 0, per ogni x ∈ A, allora f non ha punti di minimo.
6)
Dare la definizione di derivabilità in un punto e in un insieme.
Enunciare e provare il teorema che collega la derivabilità e la continuità.
Provare che D sin x = cos x, per ogni x ∈ R.
Politecnico di Bari – Dicatech A.A. 2015/2016
Analisi Matematica I – Prova scritta – 19 febbraio 2016 – Traccia B
Cognome
No Matricola
Nome
Nello svolgimento di tutti gli esercizi richiesti, i passaggi ed i risultati devono essere giustificati.
1)
Studiare la funzione e tracciarne un grafico qualitativo
x+1
f (x) = (x − 1)e x−3 .
Lo studio della convessità non è richiesto.
2)
Calcolare il seguente integrale indefinito
Z
(5 cos x + 3) sin x
dx.
cos2 x + 3 cos x + 8
3)
Risolvere la seguente equazione nel piano complesso
(1 + i)2 (z 4 + 3i) + 4 − 2i = 0.
4)
Sia {an }n∈N una successione di numeri reali. Dire, giustificando le risposte, quali delle seguenti affermazioni
sono vere e quali false:
(a) se {an }n∈N è una successione limitata, allora esiste lim an ;
n→+∞
(b) se lim an = l e an < 1, per ogni n ∈ N, allora l < 1;
n→+∞
(c) se {an }n∈N è una successione decrescente, allora esiste lim an in R;
n→+∞
(d) se {an }n∈N è una successione strettamente crescente, allora lim an = +∞.
n→+∞
5)
Sia A ⊂ R e f : A → R. Dire, giustificando le risposte, quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false:
(a) se x0 ∈ A è un punto di massimo per f , allora il grafico di f ha tangente orizzontale in (x0 , f (x0 ));
(b) se f è derivabile e f 0 (x) = 0, per ogni x ∈ A, allora f è costante;
(c) se A = [−1, 7] e f è monotona decrescente, allora f è limitata;
(d) se f è derivabile e f 0 (x) < 0, per ogni x ∈ A, allora f non ha punti di massimo.
6)
Dare la definizione di derivabilità in un punto e in un insieme.
Enunciare e provare il teorema che collega la derivabilità e la continuità.
Provare che D cos x = − sin x, per ogni x ∈ R.
Politecnico di Bari – Dicatech A.A. 2015/2016
Analisi Matematica I – Prova scritta – 19 febbraio 2016 – Traccia C
Cognome
No Matricola
Nome
Nello svolgimento di tutti gli esercizi richiesti, i passaggi ed i risultati devono essere giustificati.
1)
Studiare la funzione e tracciarne un grafico qualitativo
x−1
f (x) = (1 + x)e x+3 .
Lo studio della convessità non è richiesto.
2)
Calcolare il seguente integrale indefinito
Z
(4 sin x + 7) cos x
dx.
sin2 x + sin x + 6
3)
Risolvere la seguente equazione nel piano complesso
(1 + i)2 (z 3 + 5i) + 14 − 4i = 0.
4)
Sia {an }n∈N una successione di numeri reali. Dire, giustificando le risposte, quali delle seguenti affermazioni
sono vere e quali false:
(a) se {an }n∈N è una successione limitata, allora esiste lim an ;
n→+∞
(b) se lim an = l e an > 2, per ogni n ∈ N, allora l > 2;
n→+∞
(c) se {an }n∈N è una successione crescente, allora esiste lim an in R;
n→+∞
(d) se {an }n∈N è una successione strettamente decrescente, allora lim an = −∞.
n→+∞
5)
Sia A ⊂ R e f : A → R. Dire, giustificando le risposte, quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false:
(a) se x0 ∈ A è un punto di minimo per f , allora il grafico di f ha tangente orizzontale in (x0 , f (x0 ));
(b) se f è derivabile e f 0 (x) = 0, per ogni x ∈ A, allora f è costante;
(c) se f è monotona crescente e A = [−4, −1], allora f è limitata;
(d) se f è derivabile e f 0 (x) < 0, per ogni x ∈ A, allora f non ha punti di minimo.
6)
Dare la definizione di derivabilità in un punto e in un insieme.
Enunciare e provare il teorema che collega la derivabilità e la continuità.
Provare che D sin x = cos x, per ogni x ∈ R.
Politecnico di Bari – Dicatech A.A. 2015/2016
Analisi Matematica I – Prova scritta – 19 febbraio 2016 – Traccia D
Cognome
No Matricola
Nome
Nello svolgimento di tutti gli esercizi richiesti, i passaggi ed i risultati devono essere giustificati.
1)
Studiare la funzione e tracciarne un grafico qualitativo
x+3
f (x) = (1 + x)e x−1 .
Lo studio della convessità non è richiesto.
2)
Calcolare il seguente integrale indefinito
Z
(3ex − 4)ex
dx.
e2x − 3ex + 7
3)
Risolvere la seguente equazione nel piano complesso
√
(1 − i)2 (z 3 − 2) + 2i − 6 3 = 0.
4)
Sia {an }n∈N una successione di numeri reali. Dire, giustificando le risposte, quali delle seguenti affermazioni
sono vere e quali false:
(a) se {an }n∈N è una successione limitata, allora esiste lim an ;
n→+∞
(b) se lim an = l e an < 2, per ogni n ∈ N, allora l < 2;
n→+∞
(c) se {an }n∈N è una successione decrescente, allora esiste lim an in R;
n→+∞
(d) se {an }n∈N è una successione strettamente crescente, allora lim an = +∞.
n→+∞
5)
Sia A ⊂ R e f : A → R. Dire, giustificando le risposte, quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false:
(a) se x0 ∈ A è un punto di minimo per f , allora il grafico di f ha tangente orizzontale in (x0 , f (x0 ));
(b) se f è derivabile e f 0 (x) = 0, per ogni x ∈ A, allora f è costante;
(c) se f è monotona decrescente e A = [3, 8], allora f è limitata;
(d) se f è derivabile e f 0 (x) > 0, per ogni x ∈ A, allora f non ha punti di massimo.
6)
Dare la definizione di derivabilità in un punto e in un insieme.
Enunciare e provare il teorema che collega la derivabilità e la continuità.
Provare che D cos x = − sin x, per ogni x ∈ R.