Resistori, condensatori,
induttori e reti equivalenti
Indice
1. I parametri, i componenti, le reti equivalenti
i circuiti elettrici ed i parametri;
i componenti
i parametri parassiti
le reti equivalenti a parametri concentrati.
2. Il resistore
la rete equivalente generale del resistore;
la rete equivalente per le basse frequenze;
la costante di tempo
3. Il condensatore
la rete equivalente generale del condensatore;
la rete equivalente per le basse frequenze;
il fattore di dissipazione
4. L'induttore
la rete equivalente generale dell'induttore;
la rete equivalente per le basse frequenze;
il fattore di merito Q
5. Conclusioni
1. I parametri, i componenti,
le reti equivalenti
I circuiti elettrici ed i parametri
Il comportamento dei circuiti elettrici viene studiato teoricamente tramite l'uso di un opportuno modello matematico in cui vengono
considerati i valori dei parametri "resistenza", "capacità" e "induttanza".
Dall'elettrotecnica è ben noto che l'espressione che lega la differenza di potenziale fra due nodi alla corrente che circola nel ramo che li
collega ha l'espressione:
RAB, LAB, e CAB, sono rispettivamente la resistenza, la induttanza e la capacità del ramo interposto fra i nodi A e B. E' il valore di questi
parametri a stabilire il legame fra la corrente, la sua derivata ed il suo integrale e la tensione elettrica in gioco.
Nel caso in cui si possano considerare i segnali elettrici applicati al circuito come sinusoidali è possibile studiare il comportamento del
circuito mediante la soluzione di un problema immagine realizzato mediante la trasformazione di Steinmetz in cui le "impedenze fasoriali"
costituiscono la base delle equazioni algebriche che legano tensioni e correnti.
I componenti
Una volta ottimizzato il comportamento teorico del circuito è possibile procedere alla sua realizzazione mediante i "componenti",
dispositivi fisici che vengono utilizzati per localizzare fra i vari nodi del circuito reale le impedenze desiderate.
Il resistore è il componente a cui si ricorre per introdurre il valore desiderato di resistenza così come l'induttore ed il condensatore sono
usati per la induttanza e la capacità.
I parametri parassiti
Purtroppo, a causa della loro realtà fisica, i componenti non risultano caratterizzati dal solo parametro principale (quello per cui vengono
inseriti nel circuito), ma presentano inevitabilmente anche parametri resistivi e reattivi indesiderati che vengono indicati come "parametri
parassiti".
L'effetto dei parametri parassiti altera il comportamento dei componenti che si discostano da quello dell'elemento ideale che vorrebbero
realizzare. Maggiore è la frequenza a cui il componente si trova a lavorare, tanto più sensibile è l'effetto dei parametri parassiti.
Le reti equivalenti a parametri concentrati.
Le reti equivalenti a parametri concentrati servono per cercare di dare un modello matematico del componente reale al fine di rendere più
fedele lo studio preliminare condotto mediante la risoluzione e la ottimizzazione del modello del circuito.
Le reti equivalenti di un componente vengono costruite in base a considerazioni sulla fisica dei fenomeni che determinano la nascita dei
parametri parassiti. Questo modo di procedere porta però alla definizione di reti equivalenti "fisiche" relativamente onerose da studiare in
cui molti rami spesso si trovano in parallelo fra loro. Sotto l'aspetto elettrico potrebbe allora essere conveniente sviluppare delle reti
equivalenti più semplici che permettono di modellare il componente in un ristretto campo di frequenze. Queste reti equivalenti "elettriche"
sono composte da una resistenza ed una reattanza (induttiva o capacitiva) e lo studio del circuito in cui vengono inserite risulta
estremamente più agevole.
2. Il resistore
Il resistore viene realizzato in base a tre principali tecnologie:
a filo metallico
buona precisione e stabilità in temperatura
elevata potenza dissipabile
elevati valori dei parametri parassiti reattivi!
ad impasto
modesta precisione e stabilità in temperatura
bassa potenza dissipabile
bassi valori dei parametri parassiti reattivi
a strato
buona precisione e stabilità in temperatura
bassa potenza dissipabile
bassi valori dei parametri parassiti reattivi!
La rete equivalente generale del resistore;
I fenomeni che hanno luogo nel resistore (difficoltà che incontrano i portatori di carica a muoversi entro il reticolo cristallino del metallo,
fenomeno di autoinduzione del campo magnetico provocato dal moto delle cariche, capacità dovuta alla differenza di potenziale che esiste
fra i diversi punti dell'elemento resistivo percorso da corrente) portano alla costruzione di una rete equivalente fisica del tipo:
In caso di regime sinusoidale alla rete equivalente sopra riportata corrispondono la impedenza e la ammettenza equivalente:
Come si può notare la parte reale del denominatore della impedenza e del numeratore della ammettenza si annullano alla pulsazione
La rete equivalente per le basse frequenze;
Se sviluppiamo la espressione della impedenza equivalente nel campo di frequenza per cui risulta
possiamo scrivere:
Inseriamo una seconda restrizione per il campo di frequenze stabilendo che
e troviamo:
Se ricordiamo la prima ipotesi possiamo ulteriormente semplificare l'espressione:
che corrisponde alla rete equivalente semplificata:
In modo analogo si può sviluppare l'espressione della ammettenza per giungere ad una espressione semplificata (valida in un campo di
frequenza limitato superiormente):
che corrisponde alla rete equivalente semplificata:
La costante di tempo
La costante di tempo quantifica la purezza del resistore ed è definita come:
Un resistore ideale, avendo il solo parametro resistenza, avrebbe costante di tempo nulla.
La conoscenza del valore della costante di tempo permette di stabilire lo sfasamento che, in regime sinusoidale, esiste fra l'onda di
tensione applicata al resistore e l'onda di corrente che vi scorre:
3. Il condensatore
Come per il resistore, anche per il condensatore possiamo citare tre principali tecnologie realizzative:
a facce piane con dielettrico buona precisione e stabilità in temperatura
gassoso
bassissimo valore della capacità realizzabile
bassi valori dei parametri parassiti!
a film avvolto
modesta precisione e stabilità in temperatura e nel tempo
elevati valori della capacità e della tensione di lavoro
relativamente bassi valori dei parametri parassiti
elettrolitico
modesta precisione e stabilità in temperatura e nel tempo
elevatissimi valori della capacità
alti valori dei parametri parassiti!
La rete equivalente generale del condensatore
I fenomeni che hanno luogo nel condensatore (difficoltà che incontrano i portatori di carica a muoversi entro il reticolo cristallino del
metallo che costituisce le armature, fenomeno di autoinduzione del campo magnetico provocato dal moto delle cariche, polarizzazione
ciclica del dielettrico interposto fra le armature e resistività del dielettrico non infinita) portano alla costruzione di una rete equivalente
fisica del tipo:
La induttanza L' tiene conto della autoinduzione provocata dal movimento delle cariche nei reofori e nelle armature mentre R' rappresenta
le corrispondenti perdite per effetto Joule. R'c schematizza il passaggio di cariche attraverso il dielettrico che non è un isolante perfetto
mentre R'd tiene conto delle perdite per la polarizzazione del dielettrico interposto fra le armature ad opera del campo elettrico (alternato).
In caso di regime sinusoidale alla rete equivalente sopra riportata corrisponde la impedenza equivalente:
Per sviluppare questa espressione della impedenza equivalente del condensatore si può innanzitutto introdurre un nuovo parametro R'' che
rappresenta la resistenza equivalente di R'c e R'd : con questa sostituzione è possibile esprimere la impedenza equivalente mettendo in
evidenza la parte reale e immaginaria:
È poi possibile studiare l'andamento della impedenza equivalente sopra riportata al variare della pulsazione di lavoro. Per operare più
semplicemente è possibile introdurre una ipotesi semplificativa. Se infatti si pone
allora si può esprimere la impedenza equivalente del condensatore come:
La presenza di una coppia di parametri induttivo e capacitivo determina un comportamento risonante alla pulsazione
a cui si annullano gli effetti reattivi ed il condensatore si comporta come un elemento puramente resistivo.
La espressione della impedenza equivalente sopra riportata può essere ricondotta a quella di una rete composta dalla serie di una resistenza
e di una "capacità" (che vedremo essere variabile) con alcune semplici manipolazioni che portano ad esprimere la parte reale come:
e la parte immaginaria come:
Ulteriori manipolazioni effettuate sostituendo nella espressione sopra riportata la espressione della pulsazione di risonanza portano a
scrivere:
da cui si perviene alla espressione della "capacità apparente" Ca
Si può quindi affermare che, nei limiti di validità della ipotesi sopra riportata per la pulsazione, la impedenza equivalente del condensatore
può essere espressa come:
a cui può essere fatta corrispondere la seguente rete equivalente:
In questa rete compare una capacità Ca che risulta funzione della pulsazione di lavoro; lo studio della funzione Ca al variare della
pulsazione porta a tracciare il seguente grafico (qualitativo):
Come si può ben vedere il valore di Ca è fortemente influenzato dalla pulsazione di lavoro quando il rapporto fra tale pulsazione di lavoro
e quella di risonanza è maggiore di 0,5. Se il rapporto è poi maggiore di 1 la capacità apparente Ca asume un valore negativo, sinonimo di
un comportamento in cui i parametri parassiti induttivi hanno il sopravvento sul parametro utile ed il condensatore si comporta come un
induttore.
Allo scopo di limitare la dipendenza della capacità apparente Ca dalla pulsazione di lavoro si limita il campo di funzionamento dei
condensatori a quelle pulsazioni che risultano minori di 0,1 volte la pulsazione di risonanza.
La rete equivalente per le basse frequenze
Limitando la validità del modello a quel campo di frequenze per cui si può ritenere costante il valore della capacità apparente Ca è
possibile usare una rete equivalente a parametri concentrati e fissi per modellare il comportamento del condensatore reale. Si possono
allora costruire due reti equivalenti: la rete eq. "serie" e quella "parallelo". La rete eq. serie è costituita da una resistenza Rs di valore pari
alla resistenza R della rete equivalente generale sviluppata nel paragrafo precedente connessa in serie ad una capacità Cs di valore pari alla
capacità C presentata dal condensatore per le frequenze nulle.
In maniera duale è possibile ricavare una rete equivalente "parallelo".
Per il calcolo dei parametri Rp e Cp che compaiono nella rete "parallelo" si può operare come segue.
Dato che impedenza ed ammettenza del dispositivo sono indipendenti dalla scelta del modello si può affermare che deve risultare:
indipendentemente dal modello (cioé: dalla rete equivalente) in base al quale si calcolano impedenza ed ammettenza.
Eguagliando pertanto le espressioni della ammettenza della rete "parallelo" e la impedenza della rete "serie" si ottiene:
Separando ed esplicitando le incognite si ricavano poi le due espressioni:
e
Si deve poi notare che, nei condensatori reali, si ha sempre:
pertanto si ricava:
e
Si può quindi affermare che, mentre il valore della capacità apparente ( Cp o Cs ) risulta pressoché indipendente dal tipo di rete equivalente
scelta, il valore della resistenza parassita ( Rp o Rs ) è fortemente influenzato dalla scelta effettuata.
Il fattore di dissipazione
Il parametro utilizzato per qualificare la purezza di un condensatore è il "fattore di dissipazione", rapporto fra i valori della potenza attiva
dissipata nel dispositivo e la corrispondente potenza reattiva impegnata: nei condensatori reali questo rapporto è molto basso e,
solitamente, risulta compreso fra 10-4 e 10-3. Il fattore di dissipazione prende anche il nome di "tan delta" (all'inglese) - simbolo
- ed
il suo valore corrisponde alla tangente trigonometrica del complemento a
dell'angolo di sfasamento fra le onde (sinusoidali) di
tensione e corrente.
Se si disponesse di un condensatore "ideale", cioé "puro", in regime sinusoidale la corrente sarebbe in quadratura in anticipo sulla tensione
ed il valore di
sarebbe nullo. La presenza di perdite all'interno del condensatore (joule, polarizzazione del dielettrico, passaggio di
cariche attraverso il dielettrico, ...) determina una diminuzione dello sfasameno e la nascita di una componente attiva della corrente che fa
aumentare il valore del fattore di dissipazione.
Le espressioni del fattore di dissipazione in funzione dei parametri delle due diverse reti equivalenti per la b.f. sono:
e
4. L'induttore
Gli induttori sono realizzati secondo due principali tecnologie:
avvolti in aria
buona precisione e stabilità in temperatura
basso valore della induttanza realizzabile
bassi valori dei parametri parassiti
elevata sensibilità ai campi e.m. esterni!
avvolti su nucleo
modesta precisione e stabilità in temperatura
ferromagnetico
elevati valori della induttanza
non trascurabile mancanza di linearità
elevati valori dei parametri parassiti
Gli induttori usati negli strumenti di misura sono del tipo avvolto in aria e vengono schermati per ridurre la sensibilità ai campi magnetici
esterni.
La rete equivalente generale dell'induttore
I fenomeni che hanno luogo nell'induttore possono essere schematizzati mediante una rete equivalente "fisica" del componente:
in cui L rappresenta il parametro "utile", R' tiene conto della potenza dissipata per effetto Joule nell'avvolgimento percorso da corente, C'
rappresenta la capacità parassita provocata dalla differenza di potenziale che siste fra le diverse spire dell'avvolgimento mentre R'd
schematizza le perdite nell'isolante/dielettrico che le separa garantendo l'isolamento fra esse. R'c tiene conto delle perdite provocate dalle
"correnti di Foucault" indotte nel nucleo ed R'i rappresenta le potenza impegnata per la isteresi che compare durante la magnetizzazione
(alternata) del nucleo stesso.
Data la modesta intensità della caduta di tensione su R' che si ha nei componenti reali è possibile fare uso di una rete leggermente
modificata che consente di semplificare in modo sensibile i calcoli che dovranno essere condotti per giungere alle reti elettriche
semplificate da usare in bassa frequenza.
Così come per il condensatore, anche per l'induttore si può individuare una pulsazione di risonanza il cui valore risulta:
A pulsazioni superiori a quella di risonanza ha il sopravvento la capacità parassita ed il componente assume un comportamento
resistivo/capacitivo. Per evitare che il parametro utile risulti poi fortemente influenzato dalla pulsazione di lavoro anche gli induttori, così
come è stato detto per i condensatori, vengono fatti lavorare in un campo limitato superiormente dalla pulsazione di risonanza divisa per
10.
Se si indica con La la induttanza apparente che il componente presenta è possibile graficare il suo andamento al variare della pulsazione
ottenendo un grafico simile a quello della capacità apparente del condensatore:
La rete equivalente per le basse frequenze
La più semplice rete equivalente per le basse frequenze di un induttore reale è del tipo "serie":
con parametri che possono essere determinati con procedimento simile a quello adottato per il condensatore.
Può essere inoltre determinata una rete equivalente di tipo "parallelo":
Il fattore di merito Q
Il parametro utilizzato per quantificare la purezza dell'induttore è il "fattore di merito" - simbolo Q - che rappresenta il rapporto fra la
potenza reattiva impegnata dall'induttore e quella attiva dissipata:
Quanto più è alto il valore del fattore di merito, tanto maggiore è la purezza dell'induttore; valori consueti sono compresi fra 10 e alcune
centinaia.
5. Conclusioni
Il comportamento di un componente può essere modellato mediante una rete equivalente a parametri concentrati allo scopo di prevedere attraverso l'uso di strumenti matematici- quale sarà il suo comportamento una volta inserito in un circuito.
Minore è il campo di frequenza in cui il modello è valido, minore il numero di parametri che compaiono, più semplice è la loro
determinazione sperimentale.
Per la misurazione dei parametri dei componenti si usano "metodi di misura" diversi a seconda del campo di frequenza in cui si desidera
individuare il valore dei parametri: in continua si può usare la inserzione volt-amper-metrica (più semplice da realizzare e veloce) oppure
il ponte di Wheatstone (caratterizzato da una minore incertezza), in alternata a bassa frequenza si può usare il ponte di Schering o un altro
ponte simile (De Sauty oppure Wien) per componenti con reattanza capacitiva oppure i ponti di Hay, Owen o Maxwell per componenti
con reattanza induttiva. Alle frequenze superiori al centinaio di kHz si deve ricorrere ai metodi a sostituzione per compensare l'effetto
delle capacità parassite.
