Il condensatore mostrato in figura è carico alla tensione 0, quando l

Il condensatore mostrato in figura è carico alla tensione 𝑉0 , quando l’interruttore,
all’istante 𝑡 = 0, si chiude sul resistore 𝑅. Si determini l’andamento temporale
della tensione 𝑣𝐶 (𝑡) per 𝑡 > 0.
Dopo la commutazione dell’interruttore, detta 𝑖(𝑡) la corrente che circola nella
maglia costituente il circuito, si può scrivere
−𝑣𝐶 (𝑡) + 𝑅𝑖(𝑡) = 0 , ∀𝑡 > 0 .
Ora, se per semplicità si omette la dipendenza dal tempo delle diverse grandezze
in gioco e si ricorda che la caratteristica del condensatore impone che
𝑖 = −𝐶
𝑑𝑣𝐶
,
𝑑𝑡
la corrente può anche essere eliminata, ottienendo l’equazione differenziale
𝑅𝐶
𝑑𝑣𝐶
+ 𝑣𝐶 = 0 .
𝑑𝑡
Si tratta di un’equazione del primo ordine, omogenea ed a coefficienti costanti, la
cui soluzione si può ottenere separando le variabili
𝑣𝐶 (𝑡)
𝑑𝑣𝐶
𝑑𝑡
𝑑𝑣𝐶
1 𝑡
𝑣𝐶 (𝑡)
𝑡
=−
→ ∫
=−
∫ 𝑑𝑡 → ln |
,
|=−
𝑣𝐶
𝑅𝐶
𝑣𝐶
𝑅𝐶 0
𝑉0
𝑅𝐶
𝑉0
in cui si è fatto uso della condizione iniziale assegnata, cioè 𝑣𝐶 (0) = 𝑉0 .
Esplicitando rispetto alla tensione sul condensatore, si può scrivere
|
𝑣𝐶 (𝑡)
𝑡
| = exp (− ) ,
𝑉0
𝑅𝐶
da cui discende, eliminando il valore assoluto, data la positività della funzione
esponenziale, l’andamento richiesto
𝑣𝐶 (𝑡) = 𝑉0 exp (−
𝑡
) , per 𝑡 > 0 .
𝑅𝐶
In altri termini, la tensione 𝑣𝐶 (𝑡) si attenua a partire dal valore iniziale 𝑉0 , di cui
conserva il segno durante tutta la sua evoluzione.
𝑣𝐶 (𝑡)
𝑉0
0
𝑡
𝑅𝐶
Per controllare la bontà della soluzione ottenuta, dal momento che l’energia
inizialmente immagazzinata nel condensatore vale
1
𝑈𝐶 (0) = 𝐶𝑉02 ,
2
si può determinare l’energia complessivamente assorbita dal resistore
1 ∞ 2
𝑉02 ∞
2𝑡
𝑉02 𝑅𝐶
2𝑡 ∞ 1 2
𝑈𝑅 = ∫ 𝑣𝐶 (𝑡) 𝑑𝑡 =
∫ exp (− ) 𝑑𝑡 =
exp (− )] = 𝐶𝑉0
[−
𝑅 0
𝑅 0
𝑅𝐶
𝑅
2
𝑅𝐶 0
2
e constatarne l’uguaglianza con quella inizialmente messa a disposizione dal
condensatore. La quantità
𝜏 = 𝑅𝐶
Ha le dimensioni di un tempo, come non è difficile verificare, e viene detta
costante di tempo e rappresenta un’indicazione di massima del tempo che il
circuito impiegherà ad estinguere il transitorio.
Quando veniva eletto un nuovo papa, un cerimoniere, per ricordargli la caducità delle cose
terrene, dava fuoco ad uno stoppino posto in cima ad una canna d’argento, esclamando: Sancte
pater, sic transit gloria mundi. La gloria di questo mondo passa con la stessa rapidità con cui si
consuma lo stoppino. Pio III, appena uscito dal Conclave, restò talmente impressionato da
questa cerimonia che, già sofferente di gotta, morì dopo dieci giorni (18 ottobre 1503). Oggi
non è più così. Il vincitore del Giro d’Italia o del Festival di San Remo o la squadra che vince il
campionato di calcio sono celebrati da radio e televisione. L’anno dopo, nove italiani su dieci se
ne dimenticano. Sic transit.