M. Barlotti
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“Esercizi di Algebra”
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Capitolo 1 Pag. 1
1. Soluzione degli esercizi su: iniettività e suriettività delle funzioni.
Esercizio 1.1
Sia c l’insieme dei numeri primi, e sia Y l’insieme dei sottoinsiemi finiti di c (dunque:
X − Y se e soltanto se X è un insieme finito di numeri primi).
Sia 0 : ÏÖ!, "× Ä Y la funzione che ad ogni numero naturale non inferiore a # associa
l’insieme dei suoi fattori primi.
Si dica, motivando la risposta, se 0 è iniettiva e/o suriettiva.
Soluzione La funzione 0 è iniettiva se e soltanto se
0 (B) œ 0 (C )
Ê
BœC
aB, C − ÏÖ!, "× .
Tuttavia, affinché due numeri abbiano la stessa immagine è sufficiente che abbiano gli
stessi fattori primi, così (ad esempio) ' e "# hanno la stessa immagine ma non sono lo stesso
numero: 0 (') œ Ö#, $× œ 0 ("#) . Pertanto, 0 non è iniettiva.
Invece 0 è suriettiva: per ogni Ö:" , :# , :$ , á , :5 × − Y, posto
8 ³ :" † : # † : $ † á † : 5
si ha infatti
0 (8) œ 0 (:" † :# † :$ † á † :5 ) œ Ö:" , :# , :$ , á , :5 × .
Esercizio 1.2
Sia k ³ Ö", #, $, %, &×. Si dica, motivando la risposta, quali delle seguenti sono funzioni
k Ä k , precisando per ciascuna di esse (in caso affermativo) se è iniettiva e/o suriettiva:
( 3)
0 definita dalle condizioni:
0 (%) ³ %, 0 (#) ³ $, 0 (") ³ %, 0 (#) ³ ", 0 ($) ³ #, 0 (%) ³ &, 0 (&) ³ " ;
(33)
1 definita dalle condizioni: 1($) ³ ", 1(%) ³ #, 1(") ³ %, 1(&) ³ $, 1(#) ³ " ;
(333)
2 definita dalle condizioni: 2(#) ³ ", 2($) ³ %, 2(") ³ &, 2(%) ³ #, 2(&) ³ $ .
(3@)
3 definita dalle condizioni: 3(#) ³ $, 3($) ³ ", 3(%) ³ &, 3(#) ³ $, 3(&) ³ # .
Soluzione La 0 non è una funzione k Ä k , perché all’elemento % associa sia %
che & .
La 1 è una funzione k Ä k , ma non è iniettiva (perché 1(#) œ 1($)) né suriettiva
(perché & non è immagine di alcun elemento).
La 2 è una funzione k Ä k , iniettiva e suriettiva (quindi è una corrispondenza
biunivoca).
La 3 non è una funzione k Ä k , perché all’elemento " non associa niente.
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Capitolo 1 Pag. 2
Esercizio 1.3
È data la funzione f : p così definita:
#
Ú
Ý 8
#
f(8) ³ Û
Ý
Ü $8 #
se 8 è pari
se 8 è dispari
Si dica, motivando la risposta, se f è iniettiva, se f è suriettiva, se f è biiettiva.
Soluzione Per stabilire se f è iniettiva, valutiamo se è vera l’implicazione
f(8) œ f(7) Ê 8 œ 7 .
Dobbiamo distinguere tre casi.
8#
7#
Se 7, 8 sono entrambi pari, f(8) œ f(7) significa che # œ # , dunque
8# œ 7#
8# 7# œ !
a8 7ba8 7b œ !
Poiché 8, 7 − , non può essere 8 7 œ ! (tranne il caso in cui 8 œ 7 œ !), dunque deve
essere 8 7 œ !, ossia 8 œ 7 . Quindi l’implicazione considerata è vera se 7, 8 sono
entrambi pari.
Se 7, 8 sono entrambi dispari, f(8) œ f(7) significa che $8 # œ $7 #, dunque
$8 œ $7
8 œ 7.
Quindi l’implicazione considerata è vera se 7, 8 sono entrambi dispari.
Se infine 8 è pari (8 œ #2 con 2 − ) e 7 è dispari (7 œ #5 " con 5 − ),
8#
f(8) œ f(7) significa che # œ $8 #, dunque
a#2b#
œ $(#5 ") #
#
%2#
# œ '5 "
#2# œ '5 " .
Ma il primo membro è un numero pari, mentre il secondo membro è un numero dispari;
dunque non può mai essere f(8) œ f(7) con 8 pari e 7 dispari. Essendo falsa la premessa, se
8 è pari e 7 è dispari l’implicazione considerata è dunque vera.
Si è così visto che l’implicazione
f(8) œ f(7) Ê 8 œ 7
è vera per ogni scelta di 8 e 7 in , quindi si è provato che f è iniettiva.
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Capitolo 1 Pag. 3
Invece f non è suriettiva, perché (ad esempio) $ non è immagine di nessun numero
8#
naturale 8 . Infatti se 8 è pari $ œ f(8) significa # œ $, ossia 8# œ ' ; ma noi sappiamo che
' non è il quadrato di alcun numero naturale. Se invece 8 è dispari, $ œ f(8) significa
$8 # œ $, ossia 38 œ 5 ; ma noi sappiamo che & non è multiplo di $ .
Poiché f non è suriettiva, certamente non è biiettiva.
Esercizio 1.4
È data la funzione f : {$, &, (, *, "!} Ä {$, &, ), "!} così definita:
f($) ³ ),
f(&) ³ "!,
f(() ³ ),
f(*) ³ &,
f("!) ³ $ .
Si dica, motivando la risposta, se f è iniettiva, suriettiva e/o biiettiva.
Soluzione Poiché f($) œ f(() œ ) (e $ Á (), f non è iniettiva (e quindi nemmeno
biiettiva). Poiché ogni elemento di {$, &, ), "!} è immagine di almeno un elemento di {$, &, (,
*, "!} (infatti, $ œ f("!), & œ f(*), ) œ f($) e "! œ f(&)), f è suriettiva.
Esercizio 1.5
È data la funzione f : p così definita:
#
Ú
Ý 8
%
f ( 8) ³ Û
Ý
Ü $8 1
se 8 è pari
se 8 è dispari
Si dica, motivando la risposta, se f è iniettiva, se f è suriettiva, se f è biiettiva.
Soluzione Per stabilire se f è iniettiva, valutiamo se è vera l’implicazione
f (8) œ f (7) Ê 8 œ 7 .
Dobbiamo distinguere tre casi.
Se 7, 8 sono entrambi pari, f (8) œ f (7) significa che
8#
7#
œ
%
% , dunque
8# œ 7#
8# 7# œ !
a8 7ba8 7b œ !
Poiché 8, 7 − , non può essere 8 7 œ ! (tranne il caso in cui 8 œ 7 œ !), dunque deve
essere 8 7 œ !, ossia 8 œ 7 . Quindi l’implicazione considerata è vera se 7, 8 sono
entrambi pari.
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Capitolo 1 Pag. 4
Se 7, 8 sono entrambi dispari, f (8) œ f (7) significa che $8 " œ $7 ", dunque
$8 œ $7
8 œ 7.
Quindi l’implicazione considerata è vera se 7, 8 sono entrambi dispari.
Se infine 8 è pari (8 œ #2 con 2 − ) e 7 è dispari (7 œ #5 " con 5 − ),
8#
f (8) œ f (7) significa che % œ $7 ", dunque
a#2b#
œ $(#5 ") "
%
%2#
% œ '5 #
2# œ '5 # .
In particolare, 2# ´ # (mod '). Ma un controllo diretto sui possibili valori di 2# (mod ')
mostra che tale congruenza è falsa per ogni valore di 2 : infatti, se 2 ³ ! è 2# œ !; se 2 ³ " è
2# œ "; se 2 ³ # è 2# œ %; se 2 ³ $ è 2 # ´ $ (mod '); se 2 ³ % è 2 # ´ % (mod '); e se
2 ³ & è 2# ´ " (mod '). Dunque l’implicazione considerata è vera anche se 7, 8 sono uno
pari e l’altro dispari.
Si è così visto che l’implicazione
f (8) œ f (7) Ê 8 œ 7
è vera per ogni scelta di 8 e 7 in , quindi si è provato che f è iniettiva.
Invece f non è suriettiva, perché (ad esempio) $ non è immagine di nessun numero
8#
naturale 8 . Infatti se 8 è pari $ œ f (8) significa % œ $, ossia 8# œ "# ; ma noi sappiamo
che "# non è il quadrato di alcun numero naturale. Se invece 8 è dispari, $ œ f (8) significa
$8 " œ $, ossia 38 œ % ; ma noi sappiamo che % non è multiplo di $ .
Poiché f non è suriettiva, certamente non è biiettiva.
Esercizio 1.6
Sia k ³ Ö", #, $, %, &×. Si dica, motivando la risposta, quali delle seguenti sono funzioni
k Ä k , precisando per ciascuna di esse (in caso affermativo) se è iniettiva e/o suriettiva:
( 3)
0 definita dalle condizioni: 0 (%) ³ &, 0 ($) ³ %, 0 (") ³ #, 0 (#) ³ $, 0 (&) ³ # ;
(33)
1 definita dalle condizioni: 1(") ³ %, 1(#) ³ #, 1($) ³ ", 1(#) ³ #, 1(&) ³ $ ;
(333)
2 definita dalle condizioni: 2(3) ³ ", 2(4) ³ %, 2(2) ³ &, 2(5) ³ #, 2(1) ³ $ ;
(3@)
3 definita dalle condizioni:
3(%) ³ ", 3(#) ³ %, 3(") ³ &, 3(#) ³ $, 3($) ³ &, 3(%) ³ ", 3(&) ³ # .
Soluzione La 0 è una funzione k Ä k , ma non è iniettiva (perché 0 (") œ 0 (&))
né suriettiva (perché " non è immagine di alcun elemento).
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Capitolo 1 Pag. 5
La 1 non è una funzione k Ä k , perché all’elemento % non associa niente.
La 2 è una funzione k Ä k , iniettiva e suriettiva (quindi è una corrispondenza
biunivoca).
La 3 non è una funzione k Ä k , perché all’elemento # associa sia $ che % .
Esercizio 1.7
È data la funzione f : {$, &, (, *, "!} Ä {$, &, ), "!} così definita:
f($) ³ "!,
f(&) ³ ),
f(() ³ &,
f(*) ³ ),
f("!) ³ $ .
Si dica, motivando la risposta, se f è iniettiva, suriettiva e/o biiettiva.
Soluzione Poiché f(&) œ f(*) œ ) (e & Á *), f non è iniettiva (e quindi nemmeno
biiettiva). Poiché ogni elemento di {$, &, ), "!} è immagine di almeno un elemento di {$, &, (,
*, "!} (infatti, $ œ f("!), & œ f((), ) œ f(*) e "! œ f($)), f è suriettiva.
Esercizio 1.8
È data la funzione f : p così definita:
#
Ú
Ý 8
#
f(8) ³ Û
Ý
Ü $8 #
se 8 è pari
se 8 è dispari
Si dica, motivando la risposta, se f è iniettiva, se f è suriettiva, se f è biiettiva.
Soluzione Per stabilire se f è iniettiva, valutiamo se è vera l’implicazione
f(8) œ f(7) Ê 8 œ 7 .
Dobbiamo distinguere tre casi.
8#
7#
Se 7, 8 sono entrambi pari, f(8) œ f(7) significa che # œ # , dunque
8# œ 7#
8# 7# œ !
a8 7ba8 7b œ !
Poiché 8, 7 − , non può essere 8 7 œ ! (tranne il caso in cui 8 œ 7 œ !), dunque deve
essere 8 7 œ !, ossia 8 œ 7 . Quindi l’implicazione considerata è vera se 7, 8 sono
entrambi pari.
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Capitolo 1 Pag. 6
Se 7, 8 sono entrambi dispari, f(8) œ f(7) significa che $8 # œ $7 #, dunque
$8 œ $7
8 œ 7.
Quindi l’implicazione considerata è vera se 7, 8 sono entrambi dispari.
Se infine 8 è pari (8 œ #2 con 2 − ) e 7 è dispari (7 œ #5 " con 5 − ),
8#
f(8) œ f(7) significa che # œ $8 #, dunque
a#2b#
œ $(#5 ") #
#
%2#
# œ '5 &
#2# œ '5 & .
Ma il primo membro è un numero pari, mentre il secondo membro è un numero dispari;
dunque non può mai essere f(8) œ f(7) con 8 pari e 7 dispari. Essendo falsa la premessa, se
8 è pari e 7 è dispari l’implicazione considerata è dunque vera.
Si è così visto che l’implicazione
f(8) œ f(7) Ê 8 œ 7
è vera per ogni scelta di 8 e 7 in , quindi si è provato che f è iniettiva.
Invece f non è suriettiva, perché (ad esempio) % non è immagine di nessun numero
8#
naturale 8 . Infatti se 8 è pari % œ f(8) significa # œ %, ossia 8# œ ) ; ma noi sappiamo che
) non è il quadrato di alcun numero naturale. Se invece 8 è dispari, % œ f(8) significa
$8 # œ %, ossia 38 œ # ; ma noi sappiamo che # non è multiplo di $ .
Poiché f non è suriettiva, certamente non è biiettiva.
Esercizio 1.9
È data la funzione f : {#, %, ', ), *} Ä {#, %, (, *} così definita:
f(#) ³ (,
f(%) ³ *,
f(') ³ (,
f()) ³ %,
f(*) ³ # .
Si dica, motivando la risposta, se f è iniettiva, suriettiva e/o biiettiva.
Soluzione Poiché f(#) œ f(') œ ( (e # Á '), f non è iniettiva (e quindi nemmeno
biiettiva).
Poiché ogni elemento di {#, %, (, *} è immagine di almeno un elemento di {#, %, ', ), *}
(infatti, # œ f(*), % œ f()), ( œ f(#) e * œ f(%)), f è suriettiva.
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Capitolo 1 Pag. 7
Esercizio 1.10
È data la funzione f : p così definita:
#
Ú
Ý 8
se 8 è pari
#
f(8) ³ Û
Ý
Ü $8
se 8 è dispari
Si dica, motivando la risposta, se f è iniettiva, se f è suriettiva, se f è biiettiva.
Soluzione Per stabilire se f è iniettiva, valutiamo se è vera l’implicazione
f(8) œ f(7) Ê 8 œ 7 .
Dobbiamo distinguere tre casi.
8#
7#
Se 7, 8 sono entrambi pari, f(8) œ f(7) significa che # œ # , dunque
8# œ 7#
8# 7# œ !
a8 7ba8 7b œ !
Poiché 8, 7 − , non può essere 8 7 œ ! (tranne il caso in cui 8 œ 7 œ !), dunque deve
essere 8 7 œ !, ossia 8 œ 7 . Quindi l’implicazione considerata è vera se 7, 8 sono
entrambi pari.
Se 7, 8 sono entrambi dispari, f(8) œ f(7) significa che $8 œ $7, dunque 8 œ 7 .
Quindi l’implicazione considerata è vera se 7, 8 sono entrambi dispari.
Se infine 8 è pari (8 œ #2 con 2 − ) e 7 è dispari (7 œ #5 " con 5 − ),
8#
f(8) œ f(7) significa che # œ $8, dunque
a#2b#
œ $(#5 ")
#
%2#
# œ '5 $
#2# œ '5 $ .
Ma il primo membro è un numero pari, mentre il secondo membro è un numero dispari;
dunque non può mai essere f(8) œ f(7) con 8 pari e 7 dispari. Essendo falsa la premessa, se
8 è pari e 7 è dispari l’implicazione considerata è dunque vera.
Si è così visto che l’implicazione
f(8) œ f(7) Ê 8 œ 7
è vera per ogni scelta di 8 e 7 in , quindi si è provato che f è iniettiva.
Invece f non è suriettiva, perché (ad esempio) % non è immagine di nessun numero
8#
naturale 8 . Infatti se 8 è pari % œ f(8) significa # œ %, ossia 8# œ ) ; ma noi sappiamo che
) non è il quadrato di alcun numero naturale. Se invece 8 è dispari, % œ f(8) significa $8 œ % ;
ma noi sappiamo che % non è multiplo di $ .
Poiché f non è suriettiva, certamente non è biiettiva.
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Capitolo 1 Pag. 8
Esercizio 1.11
È data la funzione f : {#, %, ', ), *} Ä {#, %, (, *} così definita:
f(#) ³ *,
f(%) ³ (,
f(') ³ %,
f()) ³ (,
f(*) ³ # .
Si dica, motivando la risposta, se f è iniettiva, suriettiva e/o biiettiva.
Soluzione Poiché f(%) œ f()) œ ( (e % Á )), f non è iniettiva (e quindi nemmeno
biiettiva). Poiché ogni elemento di {#, %, (, *} è immagine di almeno un elemento di {#, %, ',
), *} (infatti, # œ f(*), % œ f('), ( œ f(%) e * œ f(#)), f è suriettiva.
Esercizio 1.12
È data la funzione f : p così definita:
#
Ú
Ý 8
%
f ( 8) ³ Û
Ý
Ü $8 #
se 8 è pari
se 8 è dispari
Si dica, motivando la risposta, se f è iniettiva, se f è suriettiva, se f è biiettiva.
Soluzione Per stabilire se f è iniettiva, valutiamo se è vera l’implicazione
f (8) œ f (7) Ê 8 œ 7 .
Dobbiamo distinguere tre casi.
Se 7, 8 sono entrambi pari, f (8) œ f (7) significa che
8#
7#
œ
%
% , dunque
8# œ 7#
8# 7# œ !
a8 7ba8 7b œ !
Poiché 8, 7 − , non può essere 8 7 œ ! (tranne il caso in cui 8 œ 7 œ !), dunque deve
essere 8 7 œ !, ossia 8 œ 7 . Quindi l’implicazione considerata è vera se 7, 8 sono
entrambi pari.
Se 7, 8 sono entrambi dispari, f (8) œ f (7) significa che $8 # œ $7 #, dunque
$8 œ $7
8 œ 7.
Quindi l’implicazione considerata è vera se 7, 8 sono entrambi dispari.
Se infine 8 è pari (8 œ #2 con 2 − ) e 7 è dispari (7 œ #5 " con 5 − ),
8#
f (8) œ f (7) significa che % œ $7 #, dunque
a#2b#
œ $(#5 ") #
%
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Capitolo 1 Pag. 9
%2#
% œ '5 &
2# œ '5 & .
In particolare, 2# ´ & (mod '). Ma un controllo diretto sui possibili valori di 2# (mod ')
mostra che tale congruenza è falsa per ogni valore di 2 : infatti, se 2 ³ ! è 2# œ !; se 2 ³ " è
2# œ "; se 2 ³ # è 2# œ %; se 2 ³ $ è 2 # ´ $ (mod '); se 2 ³ % è 2 # ´ % (mod '); e se
2 ³ & è 2# ´ " (mod '). Dunque l’implicazione considerata è vera anche se 7, 8 sono uno
pari e l’altro dispari.
Si è così visto che l’implicazione
f (8) œ f (7) Ê 8 œ 7
è vera per ogni scelta di 8 e 7 in , quindi si è provato che f è iniettiva.
Invece f non è suriettiva, perché (ad esempio) $ non è immagine di nessun numero
8#
naturale 8 . Infatti se 8 è pari $ œ f (8) significa % œ $, ossia 8# œ "# ; ma noi sappiamo
che "# non è il quadrato di alcun numero naturale. Se invece 8 è dispari, $ œ f (8) significa
$8 # œ $, ossia 38 œ " ; ma noi sappiamo che " non è multiplo di $ .
Poiché f non è suriettiva, certamente non è biiettiva.
