1 prima settimana

ISTITUZIONI DI MATEMATICA per SFP, a.a.2011/12
DIARIO DELLE LEZIONI
1
prima settimana
Che cosa sono i numeri naturali: impariamo a contare.
Richiami: insiemi prodotto, relazioni tra due insiemi, funzioni tra due insiemi, funzioni iniettive
suriettive, corrispondenze biunivoche. Immagine e preimmagine. Esempi. Gli insiemi dei segmenti
iniziali In {1, .., n} ⊂ N. Insiemi a cardinalit finita e gli insiemi infinito-numerabili. Un insieme é
infinito se e solo se esiste un suo sotto insieme proprio che é in corrispondenza biunivoca con esso.
L’uso della parola ”equipotente”. Procedimento diagonale per costruire corrispondenze biunivoche
tra un insieme numerabile ed N.
Insieme delle parti e cardinalitá, cardinalitá di infinito non numerabile.
Assiomi di Peano sui numeri naturali.
Principio di induzione.
Riflessione: il primo approccio ai numeri nella scuola d’infanzia, i bambini scoprono gli assiomi di
Peano.
Proposta: progettare una attivitá didattica per una classe prima con e senza la scatola dei regoli
sul tema della corrispondenza biunivoca: ”tanti quanti?”
Proposta n.2: progettare una attvitá didattica per una classe prima sul tema ”i numeri sono
infiniti” (ad esempio, giocare con le parole e le cantilene, pensare ad una attivitá motoria)
1.1
Note
– Giuseppe Peano (1858-1932, professore dell’Universitá di Torino)
– L’albergo di Hilbert (1862-1943, professore all’universitá di Gottinga)
In un hotel con infinite stanze, tutte occupate, come ospitare un qualsiasi numero di altri
viandanti?
Se arriva un singolo nuovo ospite, basta spostare tutti i clienti nella camera successiva.
Se arrivano infiniti nuovi ospiti insieme, si sposta ogni ospite nella stanza con numero doppio
rispetto a quello abitato, e si dispongono i nuovi ospiti nelle camere con i numeri dispari.
– Dati due insiemi X e Y , si indica con Y X l’insieme di tutte le funzioni da X a Y . Se
Y = 2 = {0, 1} , 2X é l’insieme di tutte le funzioni da X a {0, 1}. Qaunti elementi ha 2X ,
ovvero che cardinalitá ha 2X ?
Esempio: sia X = {rosa, cuore}, una funzione f da X a 2 é: f (rosa) = 0, f (cuore) = 0,
una altra funzione g é: g(rosa) = 0, g(cuore) = 1, poi h(rosa) = 1, h(cuore) = 0, e anche
l(rosa) = 1, l(cuore) = 1. Per la rosa ho due scelte, una volta scelta la destinazione di
rosa,ho ancora due scelte per la destinazione di cuore: in totale ho 2x2 scelte. In generale,
se X ha n elementi allora per costruire una funzione da X a {0, 1} devo considerare per
ciascuno degli n elementi 2 scelte possibili, in totale ho 2x2x2.. = 2n scelte possibili, quindi
|2X | = 2n .
– La funzione caratteristica
Dato un sottoinsieme A dell’insieme X, la funzione caratteristica di A quella funzione da X
all’insieme {0, 1} che sull’elemento x vale 1 se x appartiene ad A, e vale 0 altrimenti.
Si costruisce una biiezione tra 2X e l’insieme P(X) delle parti di X identificando una funzione
in 2X con l’insieme preimmagine corrispondente a 1.
Che cardinalitá ha P(X)? Siccome P(X) e 2X sono insiemi in corrispondenza biunivoca,
allora hanno la stessa cardinalitá. E’ piú facile contare gli elementi di 2X che quelli di P(X),
pertanto si deduce che |P(X)| = |2X | = 2n .
1
1.2
Esercizi
– Costruire un esempio di funzione iniettiva, uno di funzione suriettiva, uno di funzione né
iniettiva né suriettiva.
– Costruire un esempio di funzione iniettiva ma non suriettiva tra l’insieme dei numeri dispari
e l’insieme dei numeri pari.
– Costruire un esempio di funzione suriettiva ma non iniettiva tra l’insieme dei numeri dispari
e l’insieme dei numeri pari.
– Costruire un esempio di funzione iniettiva ma non suriettiva tra due insiemi; modificando il
codominio, costruire da questa una seconda funzione che sia biiettiva.
– Dimostrare che l’insieme dei numeri pari e quello dei numeri naturali sono equipotenti.
– Dimostrare che l’insieme dei numeri pari e quello dei numeri naturali sono equipotenti.
– Dimostrare che l’insieme dei numeri pari e quello dei numeri dispari sono equipotenti.
– Dimostrare che l’insieme dei numeri interi e quello dei numeri naturali sono equipotenti
(suggerimento: contare per diagonali!).
– Dimostrare che l’insieme dei vertici di una pavimentazione infinita a mattonelle quadrate (si
chiama ”reticolo”) é numerabile.
– Scrivere esplicitamente l’insieme delle parti di X = {1, 2, .., 4}.
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