1.a Funzioni

MATEMATICA
a.a. 2014/15
1a. Funzioni (II parte):
Funzioni iniettive, suriettive, bigettive.
Funzioni reali. Campo di esistenza. Funzioni pari e dispari
Funzione iniettiva
y=f(x)
y2
x1
x3
y1
x2
y6
X
Y
y3
x4
y5
x5
f(x1)=y6
f(x2)=y1
f(x3)=y5
f(x4)=y3
f(x5)=y4
y4
La funzione f è iniettiva poiché i punti del codominio sono raggiunti al più da
una freccia ma non è suriettiva poiché y2 non è raggiunto da nessuna freccia.
Funzione iniettiva
Stabilire se le seguenti funzioni con dominio R sono iniettive. Perché?
y = 3x + 2
2
y = 6x − 3
Funzione iniettiva
y = 3x + 2
2
y = 6x − 3
Funzione iniettiva
y
1
-2
Dominio= R,
Immagine= [0,+∞)
La funzione non è iniettiva.
x
Funzione surgettiva
y=f(x)
x3
y1
x2
x1
X
x5
x4
y2
Y
y4
y3
f(x1)=y2
f(x2)=y1
f(x3)=y2
f(x4)=y3
f(x5)=y4
La funzione f è surgettiva (suriettiva) poiché ogni punto del codominio è raggiunto
da almeno una freccia ma non è iniettiva poiché y2 è raggiunto da più di una
freccia.
Funzione biiettiva (biunivoca)
y=f(x)
x3
y1
x2
x1
y2
X
Y
y3
x4
y5
x5
y4
f(x1)=y2
f(x2)=y1
f(x3)=y3
f(x4)=y5
f(x5)=y4
La funzione f è sia suriettiva sia iniettiva; quindi f è bigettiva, quindi invertibile.
Se la funzione f : X → Y è biiettiva, si viene ad individuare una nuova funzione
g : Y → X tale che:
g(y) = x
f (x) = y
La funzione g si chiama funzione inversa e si indica f−1, per cui f−1: Y → X
Funzione inversa
f −1 : Y → X
x3
y1
x2
x1
y2
X
Y
x4
x5
y3
y5
y4
f−1(y1)=x2
f−1(y2)=x1
f−1(y3)=x3
f−1(y4)=x5
f−1(y5)=x4
Per determinare il grafico della funzione inversa è sufficiente invertire le frecce
dall’insieme Y all’insieme X.
Funzione biiettiva (biunivoca)
Una funzione f : D → C è BIUNIVOCA (bigettiva) se ogni y ∈ C è
immagine di uno ed un solo elemento x ∈ D.
ESEMPI:
1
( y −1)
2
è biunivoca: y ∈ R+ è immagine di x = y2
1. D = C =R, y = 2x+1 è biunivoca: y ∈ R è immagine di x =
2. D = C = R+,
y= x
Funzione biiettiva (biunivoca)
y=x
2
1. D = R-, C = R+,
y = x2 è biunivoca: y ∈ R+ è immagine di
2. D = R+, C = R,
y = x2 iniettiva ma non suriettiva: y<0 non è immagine di alcun x
3. D = R, C = R+,
y = x2 suriettiva ma non iniettiva: y = 4 è immagine di x = ±2.
x=− y
Funzioni reali
Di particolare interesse sono le funzioni f : D → C dove D ⊆ R e C ⊆ R .
Si tratta di funzioni in cui il dominio D sarà l’insieme R dei numeri reali (o un suo
sottoinsieme), di solito un intervallo (limitato o illimitato) o l’unione di un numero
finito di intervalli, e analogamente il codominio C sarà l’insieme R dei numeri reali o
di un suo sottoinsieme.
Esse sono dette funzioni di una variabile reale x e a valori y anch’essi reali su cui ci soffermeremo nello studio - ed in cui per convenzione x viene detta
variabile indipendente, mentre y viene detta variabile dipendente.
Il grafico di queste funzioni – con dominio e codominio contenuti nella retta reale si può rappresentare su un piano cartesiano (in R x R = R2)
I polinomi sono funzioni reali di variabile reale; lo sono anche le funzioni razionali, le
funzioni trigonometriche seno e coseno, come pure l’esponenziale e il logaritmo.
Tuttavia, mentre i polinomi, seno e coseno ed esponenziale sono definiti su tutto l’asse reale
(ossia hanno dominio uguale a R), le funzioni razionali e il logaritmo in generale non lo sono.
Funzioni reali
Il dominio di una funzione razionale non può contenere gli zeri del denominatore. Allo
stesso modo il logaritmo è definito solo quando l’argomento è strettamente positivo.
La seguente funzione è una funzione reale di una variabile reale?
x2 + 1
f ( x) = 2
x −1
Funzioni
Campo di esistenza
Definizione - Data una legge f su R chiamiamo campo di esistenza il più grande
insieme di R per cui tale legge è ben definita e lo indichiamo con CE(f ).
Ci si riferisce quindi al massimo insieme di punti sul quale la funzione è definita e
si può anche dire che tale insieme è il dominio più grande possibile su cui si può
considerare tale legge.
ESEMPIO 1. Determinare il campo di esistenza della funzione
y = 6x + 4
ESEMPIO 2. Determinare il campo di esistenza della funzione
y=
ESEMPIO 3. Determinare il campo di esistenza della funzione y =
ESEMPIO 4. Determinare il campo di esistenza della funzione
1
x+7
x − 2 + −x
y = log ( 3 + x )
Funzioni
Campo di esistenza
ESEMPIO 1. Determinare il campo di esistenza della funzione y = 6x + 4
Soluzione: le funzioni polinomiali sono definite per ogni x ∈R
ESEMPIO 2 Determinare il campo di esistenza della funzione y =
1
x+7
Soluzione: R \ {−7}
ESEMPIO 3. Determinare il campo di esistenza della funzione y = x − 2 + − x
Soluzione: affinché le due radici abbiano significato, i radicandi devono essere
entrambi non negativi: x − 2 ≥ 0 e −x ≥ 0 e tali condizioni si verificano per x ≥ 2 e x
≤ 0. Segue che la funzione non è definita per alcun valore di x.
ESEMPIO 4. Determinare il campo di esistenza della funzione y = log ( 3 + x )
Soluzione: La funzione log t è definita per valori positivi dell’argomento t>0 quindi
y = log ( 3 + x ) è definito per 3+x>0, cioè per x>-3. Scriveremo C.E.: (-3;+∞)
Funzioni
FUNZIONE PARI O DISPARI
Una funzione f : R → R si dice:
• PARI: se ∀x ∈ R
f(−x) = f(x)
In questo caso il grafico della funzione è simmetrico rispetto all’asse y
• DISPARI: se ∀x ∈R
f(−x) = −f(x)
In questo caso il grafico della funzione è simmetrico rispetto all’origine O
ESEMPI:
f ( x) = x2
f ( x) = x
f ( x) = x
f ( x) =
1
x
sono funzioni pari
sono funzioni dispari
Funzioni
FUNZIONE PARI O DISPARI
Dire se le seguenti funzioni sono pari o dispari (o né pari né dispari):
Funzione pari: f(−x) = f(x)
Funzione dispari: f(−x) = -f(x)
x
f ( x) =
2
1+ x
f ( x ) = 3x
3
f ( x ) = x + 2 x2
f ( x) = 2
− x2
FUNZIONE PARI
f ( x) = x
FUNZIONE DISPARI
2
il grafico della funzione è simmetrico
rispetto all’asse y
1
f ( x) =
x
il grafico della funzione è simmetrico rispetto
all’origine O