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Matricola
Esame Scritto Matematica Generale (1/4/2006)
Compito C
Domanda teorica (Punti 5)
Dare la definizione di "funzione iniettiva", "funzione suriettiva" e "funzione biiettiva".
Risposta
La funzione f : A ! ! " ! si dice "iniettiva" se #a,b $A : f (a) = f (b) % a = b. Ovvero
equivalentemente se #a,b $A : a & b % f (a) & f (b).
La funzione si dice "suriettiva" se #b $! 'a $A : b = f (a).
La funzione si dice biiettiva se e` iniettiva e suriettiva.
Domanda 1 (punti 5)
Scrivere la formula di Taylor di ordine 3 con punto iniziale x0 = 0 per la funzione:
f (x) =
1 (1! x )
xe
2
Risposta
f (x) =
1
1
1
E(x)
ex ! ex 2 + ex 3 + E(x) con lim 3 = 0
x"0 x
2
2
4
Domanda 2 (punti 5)
Studiare, al variare di ! "!, la compatibilita` del seguente sistema:
$x + y = !
&
%x + ! y = 0
&x # y = 1
'
Risposta
Il sistema e` incompatibile per ogni ! "!.
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Domanda 3 (punti 5)
Individuare gli eventuali massimi e minimi della funzione
f (x, y) = 2x 2 + xy ! 3y 2
sotto il vincolo
g(x, y) = x + y + 2
Risposta
" 7 3%
Il punto $ ! , ' e` un punto di massimo vincolato.
# 2 2&
Domanda 4 (punti 5)
Determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza e gli eventuali massimi e minimi di
f (x) = e x x 2 ! 1
Risposta
Il punto x =
!1 ! 5
e` punto di massimo relativo. Non ci sono punti di minimo relativo.
2
Domanda 5 (punti 5)
Risolvere il seguente integrale definito:
" 1 x2
( $# 3 xe !
1
0
x
x2 + 1
%
'& dx
Risposta
1
1 ! 2 + (e ! 1)
6
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