Testo e svolgimento della seconda prova in itinere

Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 1
Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti
Tema n 1
Es.
Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o n di matricola)_______________________________
n d’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Studio dei punti di non derivabilità. Della seguente funzione
f (x) = (sin x) arctan
p
1
3
+ arctan x2
x
1
si chiede di:
a. Determinare l’insieme di de…nizione.
b. Se in qualche punto in cui f non è de…nita esiste il limite …nito, prolungarla per
continuità.
c. Della funzione così prolungata, stabilire dove è derivabile, calcolare la derivata dove
esiste, individuare e studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire cioè se si tratta di
punti angolosi, di cuspide, di ‡esso a tangente verticale...).
1
2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il
gra…co. E’ richiesto in particolare: insieme di de…nizione, limiti alla frontiera
dell’insieme di de…nizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata
prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali
punti di non derivabilità, concavità e ‡essi.
f (x) = x2
3x
2
log jxj :
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se
necessario, degli strumenti del calcolo di¤erenziale (teorema di De L’Hospital /
formula di Taylor MacLaurin).
2x2 + 6x
lim
x!1
cos
2x
1=3
2
2
sin ( x)
:
4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giusti…cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
1
X
n sin
n=1
1
n
sin
cos
p1
n
3
1
n
sin
p
n
5. Calcolare il seguente integrale inde…nito:
Z
x2
dx:
2
x + 3x 10
6. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale generalizzato, giusti…cando le proprie a¤ermazioni in base ai criteri studiati.
a:
Z
1
f (x) dx; b:
0
f (x) =
sin x
p :
(1 ex ) x
Z
+1
f (x) dx, dove (in entrambi i casi)
1
4
Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 1
Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti
Tema n 2
Es.
Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o n di matricola)_______________________________
n d’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Problemi di massimo e minimo. Impostare e risolvere col calcolo
di¤ erenziale il seguente problema di massimo. Determinare il rettangolo di area
massima (e determinarne l’area) tra quelli che hanno un vertice sul gra…co della
funzione
p
5
f (x) = a4 x; per x 2 [0; a] ;
un vertice in (a; 0), e lati paralleli agli assi coordinati. (a è una costante positiva
avente le dimensioni di una lunghezza). Si raccomanda di fare una …gura per
impostare il problema.
5
2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il
gra…co. E’ richiesto in particolare: insieme di de…nizione, limiti alla frontiera
dell’insieme di de…nizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata
prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali
punti di non derivabilità, concavità e ‡essi.
f (x) = ex x2 + 2x
6
3 :
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se
necessario, degli strumenti del calcolo di¤erenziale (teorema di De L’Hospital /
formula di Taylor MacLaurin).
2
arcsin x2
6
:
lim
x!1 (log x) tan ( x)
4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giusti…cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
1
X
(2n)!
n2n
n=1
7
5. Calcolare il seguente integrale inde…nito:
Z
3x 5
dx:
2
x + 10x + 27
6. Calcolare il seguente integrale de…nito:
Z
4
sin2 (2x) cos2 xdx:
0
8
Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 1
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A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti
Tema n 3
Es.
Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o n di matricola)_______________________________
n d’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Studio dei punti di non derivabilità. Della seguente funzione
f (x) = arcsin
x2
1
2=3
+ jx
3j
si chiede di:
a. Determinare l’insieme di de…nizione.
b. Stabilire dove la funzione è derivabile, calcolare la derivata dove esiste, individuare
e studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire cioè se si tratta di punti angolosi, di
cuspide, di ‡esso a tangente verticale...).
9
2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il
gra…co. E’ richiesto in particolare: insieme di de…nizione, limiti alla frontiera
dell’insieme di de…nizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata
prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali
punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda; dire,
in base alle altre informazioni raccolte, qual è il minimo numero di punti di
‡esso che f deve avere, coerentemente allo studio condotto.
f (x) = log
x (x 1)
:
x+1
10
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se
necessario, degli strumenti del calcolo di¤erenziale (teorema di De L’Hospital /
formula di Taylor MacLaurin).
tan x
Sh x x cos x
:
lim
x!0 sin x
x Ch x
Th x
4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giusti…cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
1
X
n cos (n ) + log n + 1
n2 + log n
n=1
11
5. Calcolare il seguente integrale inde…nito e sempli…care l’espressione
ottenuta:
Z p 2
x +4
dx:
x2
6. Discutere la convergenza o meno dei seguenti integrali generalizzati, giusti…cando le proprie a¤ermazioni in base ai criteri studiati.
Z 1
Z +1
a:
f (x) dx; b:
f (x) dx, dove (in entrambi i casi)
0
1
1 e x
f (x) = p
:
x log (1 + x)
12
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Tema n 4
Es.
Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o n di matricola)_______________________________
n d’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Problemi di massimo e minimo. Impostare e risolvere col calcolo
di¤ erenziale il seguente problema di minimo. Determinare il punto P , sul gra…co
della funzione
f (x) = x3=2
che ha distanza minima da Q
(4; 0) (e determinare tale distanza minima,
sempli…cando l’espressione ottenuta). Si raccomanda di fare una …gura per
impostare il problema.
13
2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il
gra…co. E’ richiesto in particolare: insieme di de…nizione, limiti alla frontiera
dell’insieme di de…nizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata
prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali
punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda.
f (x) = x2=3 x2
14
4x + 3
1=3
:
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se
necessario, degli strumenti del calcolo di¤erenziale (teorema di De L’Hospital /
formula di Taylor MacLaurin).
cos x2
e
lim
x!0 2x
log (1 + x)
x2
4
tan x
:
4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giusti…cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
1
X
n
( 1)
n=1
15
n sin n1
:
n+1
5. Calcolare il seguente integrale de…nito:
Z 2 p
4 x2
dx:
p
x2
2
6. Calcolare il seguente integrale de…nito:
Z e
2
x3 (log x) dx:
1
Si chiede di determinare (e scrivere esplicitamente) per prima cosa la primitiva, e successivamente calcolare l’integrale de…nito, sempli…cando l’espressione
ottenuta.
16
Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 1
Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti
Svolgimento Tema n 1
Es.
Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
1. Studio dei punti di non derivabilità. Della seguente funzione
p
1
3
f (x) = (sin x) arctan + arctan x2 1
x
si chiede di:
a. Determinare l’insieme di de…nizione.
b. Se in qualche punto in cui f non è de…nita esiste il limite …nito, prolungarla per continuità.
c. Della funzione così prolungata, stabilire dove è derivabile, calcolare la
derivata dove esiste, individuare e studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire cioè se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di ‡esso a tangente
verticale...).
a. La funzione è de…nita per x 6= 0.
b. Per x ! 0; f (x) ! 0 + arctan ( 1) = 4 , in particolare si può de…nire
con continuità in tutto R.
c. Per x 6= 0; 1; 1 la f è certamente derivabile, e vale
1
1
2x
1
x2
+ sin x
+
1
2=3
2=3
x
1 + x2
1 + (x2 1)
3 (x2 1)
1
2x
sin x
1
= (cos x) arctan
:
+
x x2 + 1 1 + (x2 1)2=3 3 (x2 1)2=3
f 0 (x) = (cos x) arctan
lim f 0 (x) =
x!0
2
quindi x = 0 è un punto angoloso.
lim f 0 (x) = +1
x!1
quindi x = 1 è un punto di ‡esso a tangente verticale, ascendente.
lim f 0 (x) =
x! 1
1
quindi x = 1 è un punto di ‡esso a tangente verticale, discendente.
2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il
gra…co. E’ richiesto in particolare: insieme di de…nizione, limiti alla frontiera
17
dell’insieme di de…nizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata
prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali
punti di non derivabilità, concavità e ‡essi.
f (x) = x2
3x
log jxj :
De…nita per x 6= 0:
Per x ! 0; f (x)
log jxj ! +1: x = 0 asintoto verticale.
Per x ! 1; f (x)
x2 ! +1 con crescita sopralineare (senza asintoto
obliquo).
L’argomento del modulo si annulla per x = 0 e x = 3: La funzione è certamente derivabile per x 6= 0; x 6= 3 (e certamente non è derivabile in x = 0, dove
non è de…nita né prolungabile con continuità).
f 0 (x) = (2x
3) sgn x2
3x
1
=
x
1
x
2x 3
2x + 3
per x < 0; x > 3
per 0 < x < 3:
1
x
Per x ! 3+ ; f (x) ! 3 31 = 83
Per x ! 3 ; f (x) ! 3 13 = 10
3
quindi x = 3 punto angoloso (di non derivabilità) e di minimo relativo.
Segno di f 0 :
Per x < 0; x > 3;
1
2x2
f 0 (x) = 2x 3
=
x
p
3
17
x < 0; x > 3
4
3x
x
1
0 per
intervalli in cui f è crescente.
p
In particolare, x = 3 4 17 è punto di minimo relativo.
Per 0 < x < 3;
f 0 (x) =
1
2
2x + 3
x
1
=
x
2x2 + 3x
x
1
0 per
1
intervallo in cui f è crescente.
In particolare, x = 21 punto di minimo relativo, x = 1 punto di massimo
relativo.
Derivata seconda:
f 00 (x) =
2 + x12 per x < 0; x > 3
2 + x12 per 0 < x < 3:
Segno di f 00 :
Per x < 0; x > 3; f 00 (x) > 0:
18
Per 0 < x < 3;
2x2 + 1
x2
1
p
2
f 00 (x) =
x
0 per
In particolare, x = p12 è punto di ‡esso.
Gra…co qualitativo:
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se
necessario, degli strumenti del calcolo di¤erenziale (teorema di De L’Hospital /
formula di Taylor MacLaurin).
lim
cos
x!1
2x
2x2 + 6x
lim
x!1
cos
2x
2
1=3
2x2 + 6x
2
sin ( x)
:
2
1=3
2
=
sin ( x)
0
:
0
Applichiamo De L’Hospital:
2x2 + 6x
2
lim
x!1
2
sin
2
sin
4x+6
3(2x2 +6x)2=3
2
sin ( x) + cos
5
3
= lim
x!1
2x
1=3
2x
2x2 + 6x
2x
1=3
sin ( x) + cos
cos ( x)
2
2x
cos ( x)
=
0
0
Applichiamo ancora De L’Hospital:
lim
x!1
=
5
3
5
3
2
2
10
12
=
2
cos
2x
sin ( x)
4x+6
3(2x2 +6x)2=3
2
sin
25
18 2
19
2x
cos ( x)
2
cos
2x
sin ( x)
e questo è il limite cercato.
4 Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giusti…cando
con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
1
X
n sin
n=1
1
n
sin
cos
1
n
p1
n
sin
p
n
Dagli sviluppi di MacLaurin (1=n ! 0) si ha:
n sin
1
n
cos
1
n
1
1
1
+o
1
+o
6n3
n3
2n2
1
1
1
1
=1
1+ 2 +o
+o
2
2
6n
n
2n
n2
1
1
1
= 2 +o
:
2
3n
n
3n2
1
n2
1
n
=n
sin
1
p
n
1
p
n
quindi
n sin
1
n
sin
cos
p1
n
1
n
sin
p
n
n sin
1
n
sin
cos
p1
n
1
n
1
3n2
p1
n
=
1
;
3n3=2
serie che converge perché serie armonica generalizzata con esponente = 3=2 >
1: Allora per il criterio del confronto asintotico la serie converge assolutamente,
e per il criterio della convergenza assoluta converge (semplicemente).
5. Calcolare il seguente integrale inde…nito:
Z
x2
dx:
2
x + 3x 10
3x + 10
3x + 10
x2
=1+ 2
=1+
x2 + 3x 10
x + 3x 10
(x 2) (x + 5)
3x + 10
a
b
=
+
con
(x 2) (x + 5)
x 2 x+5
a+b= 3
a = 74
5a 2b = 10
b = 25
7
Z
Z
x2
4 1
25 1
dx =
1+
dx
x2 + 3x 10
7x 2
7 x+5
4
25
= x + log jx 2j
log jx + 5j + c:
7
7
20
6. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale generalizzato, giusti…cando le proprie a¤ermazioni in base ai criteri studiati.
a:
Z
1
f (x) dx; b:
0
Z
+1
f (x) dx,
1
dove (in entrambi i casi)
f (x) =
(1
sin x
p :
ex ) x
La funzione f (x) è continua in (0; +1), eventualmente illimitata in x = 0.
Per x ! 0+ ;
1
x
p = p ;
f (x)
x x
x
R1
integrabile, perciò l’integrale generalizzato 0 f (x) dx converge per il criterio
del confronto asintotico (l’integranda è negativa in un intorno destro di zero).
Per x ! +1;
1
1
p
p x;
jf (x)j
x
j1 e j x
xe
integrabile all’in…nito perché tende a zero con velocità più che esponenziale.
Perciò per il criterio dellaR convergenza assoluta e quello del confronto asintotico,
+1
l’integrale generalizzato 1 f (x) dx converge.
21
Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 1
Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti
Svolgimento Tema n 2
Es.
Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
1. Problemi di massimo e minimo. Impostare e risolvere col calcolo
di¤ erenziale il seguente problema di massimo. Determinare il rettangolo di area
massima (e determinarne l’area) tra quelli che hanno un vertice sul gra…co della
funzione
p
5
f (x) = a4 x; per x 2 [0; a] ;
un vertice in (a; 0), e lati paralleli agli assi coordinati. (a è una costante positiva
avente le dimensioni di una lunghezza). Si raccomanda di fare una …gura per
impostare il problema.
L’area è
A (x) = (a
x) f (x) = (a
x)
p
5
a4 x; per x 2 [0; a] :
La funzione è non negativa e si annulla agli estremi, dunque deve avere un
massimo positivo in (0; a) : Calcoliamo
p
5
p
p
1
a4
5
5
0
4
4
A (x) =
a x + (a x) a
=
(a 6x) 0 per
4=5
4=5
5x
5x
a
:
x
6
p
a
Dunque il rettangolo di area massima ha un vertice in a6 ; 5 a4 a6 = a6 ; p
e
5
6
l’area massima è
r
a 5 4a
5
a
5 2
a
= a
a = a p
= p
a :
A
5
6
6
6
6
6
656
2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il
gra…co. E’ richiesto in particolare: insieme di de…nizione, limiti alla frontiera
dell’insieme di de…nizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata
prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali
punti di non derivabilità, concavità e ‡essi.
f (x) = ex x2 + 2x
22
3 :
De…nita in R. x2 + 2x 3 = j(x 1) (x + 3)j quindi f (x) = 0 in x =
1; x = 3; punti in cui ci aspettiamo punti angolosi.
Poiché f (x)
0 sempre, i punti in cui si annulla, x = 1; x = 3, sono di
minimo assoluto.
+1
Per x ! 1; f (x) x2 ex !
0+
f è derivabile per x 6= 1; x 6= 3; e risulta:
per x < 3; x > 1;
f 0 (x) = ex x2 + 2x
p
x
2
5; x
0
= ex x2 + 2x
p
2 + 5;
3
3 + 2x + 2 = ex x2 + 4x
1
0 per
che negli intervalli considerati signi…ca che f è crescente per
p
x
2
5; x > 1
e decrescente per
in particolare x = 2
Per 3 < x < 1;
p
2
p
5
x<
3;
5 è punto di massimo relativo.
f 0 (x) = ex x2 + 4x
p
p
2
5 x
2+ 5
1
0 per
che nell’intervallo considerato signi…ca che f è crescente per
p
3<x
2+ 5
e decrescente per
2+
p
p
5
x < 1;
in particolare x = 2 + 5 è punto di massimo relativo.
Studiamo i punti di non derivabilità:
lim f 0 (x) =
4e
lim f 0 (x) =
4e
x! 3
x!1
3
perciò x = 3; x = 1 sono punti angolosi (e di minimo relativo e assoluto).
La derivata seconda esiste per x 6= 3; x 6= 1 ed è:
per x < 3; x > 1;
f 00 (x) = ex x2 + 4x
p
x
3
6; x
0
= ex x2 + 4x
p
3 + 6;
1
1 + 2x + 4 = ex x2 + 6x + 3
che negli intervalli considerati signi…ca che f è concava verso l’alto per
p
x
3
6; x > 1
23
0 per
e verso il basso per
p
In particolare, x = 3
Per 3 < x < 1;
3
p
6
x<
3:
6 è punto di ‡esso.
f 00 (x) = ex x2 + 6x + 3
p
p
3
6 x
3+ 6
0 per
che nell’intervallo considerato signi…ca che f è concava verso l’alto per
p
3<x
3+ 6
e verso il basso per
in particolare x = 3 +
Gra…co qualitativo:
p
3+
p
6
x < 1;
6 è punto di ‡esso.
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se
necessario, degli strumenti del calcolo di¤erenziale (teorema di De L’Hospital /
formula di Taylor MacLaurin).
2
arcsin x2
6
lim
:
x!1 (log x) tan ( x)
2
lim
x!1
arcsin x2
0
6
=
:
(log x) tan ( x)
0
Per x ! 1;
log x
tan ( x) =
(x
1)
sin ( x)
cos ( x)
24
sin ( x)
perciò
2
lim
x!1
2
arcsin x2
arcsin x2
6
6
= lim
:
x!1
(log x) tan ( x)
(x 1) sin ( x)
Calcoliamo questo limite col teorema di De L’Hospital.
2 arcsin
lim
x
2
q1
2 1
6
(sin ( x) + (x
x!1
x!1
1) cos ( x))
x
2
arcsin
= lim
x2
4
6
(sin ( x) + (x
p2
3
=
1) cos ( x))
0
:
0
Applichiamo ancora De L’Hospital:
lim
x!1
Il limite cercato è
p2 q 1
32 1
2
(2 cos ( x)
1
3
x2
4
(x
1) sin ( x))
=
p2 p1
3 3
2
=
1
:
3
:
4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giusti…cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
1
X
(2n)!
n2n
n=1
Serie a termini positivi, applichiamo il criterio del rapporto.
n2n
(2n + 2) (2n + 1) n2n
=
2n
2
(2n)!
(n + 1) (n + 1)
4
4
! 2 < 1;
=
2n
1 2n
e
(n + 1) n2
1+ n
an+1
(2n + 2)!
=
2n+2
an
(n + 1)
4n2 n2n
perciò la serie converge.
5. Calcolare il seguente integrale inde…nito:
Z
3x 5
dx:
x2 + 10x + 27
Z
3x 5
3
dx =
x2 + 10x + 27
2
=
Z
2x + 10
dx
x2 + 10x + 27
3
log x2 + 10x + 27
2
25
20
Z
1
2
(x + 5) + 2
20
x+5
p arctan
p
2
2
dx
+c
6. Calcolare il seguente integrale de…nito:
Z
4
sin2 (2x) cos2 xdx:
0
Z
4
2
2
sin (2x) cos xdx =
0
Z
4
0
1
=
2
Z
4
Z
cos (2x) + 1
dx
2
Z
1 4
sin2 (2x) dx +
sin2 (2x) cos (2x) dx:
2 0
sin2 (2x)
4
0
sin2 (2x) dx = (2x = t)
0
=
Z
2
sin2 t
0
(dove si è usato l’integrale de…nito notevole
Z
4
sin2 (2x) cos (2x) dx =
0
R
dt
1
=
2
2
2
0
4
=
sin2 tdt =
sin3 (2x)
3 2
4 ).
4
=
0
8
1
6
quindi
Z
0
4
sin2 (2x) cos2 xdx =
1
2
8
+
26
1 1
1
3 +4
=
+
=
:
2 6
16 12
48
Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 1
Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti
Svolgimento Tema n 3
Es.
Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
1. Studio dei punti di non derivabilità. Della seguente funzione
x2
f (x) = arcsin
2=3
1
+ jx
3j
si chiede di:
a. Determinare l’insieme di de…nizione.
b. Stabilire dove la funzione è derivabile, calcolare la derivata dove esiste,
individuare e studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire cioè se si tratta
di punti angolosi, di cuspide, di ‡esso a tangente verticale...).
a. De…nita per
x
1 1; x2 2;
x2
1
2=3
1
2
p
2
x2
1, cioè 0
x
p
1
2=3
1; 1
2:
p
Nei due punti di arresto x =
2 l’argomento di arcsin vale 1 e mi aspetto che
la funzione non sia derivabile. L’argomento di arcsin vale 1 anche per x = 0:
Mi aspetto non derivabilità anche nei punti in cui x2 1 = 0, cioè per x = 1
(per la presenza della potenza a esponente 2=3). Notare che il punto x = 3 in
cui si annulla l’argomento del modulopcade fuori p
dall’insieme di de…nizione.
b. f è certamente derivabile se
2 < x < 2; x 6= 1, e in tal caso vale
(poiché nell’insieme di de…nizione è jx 3j = 3 x)
f 0 (x) = q
quindi x =
p
1
1
(x2
1)
3 (x2
1)
1=3
f 0 (x) = +1
lim
p
x! 2
2 è punto d’arresto a tangente verticale.
lim
p
x!
quindi x =
2
4=3
p
+
f 0 (x) =
2
1
2 è punto d’arresto a tangente verticale.
lim f 0 (x) =
x!1
27
1
2x
1:
quindi x = 1 è punto di cuspide verso il basso.
lim f 0 (x) =
x! 1
1
quindi x = 1 è punto di cuspide verso il basso.
Per x ! 0;
q
2
1
1
(x2
4=3 3 (x2
1)
perciò per x ! 0 ;
1)
1=3
q
3 1
2x
2
p
3
f 0 (x) !
4x
1
=
4 2
3x
4x
q
=
3 43 x2
2 x
p
3 jxj
1;
e x = 0 è punto angoloso.
Gra…co (NON era richiesto):
2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il
gra…co. E’ richiesto in particolare: insieme di de…nizione, limiti alla frontiera
dell’insieme di de…nizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata
prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali
punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda; dire,
in base alle altre informazioni raccolte, qual è il minimo numero di punti di
‡esso che f deve avere, coerentemente allo studio condotto.
f (x) = log
x (x 1)
:
x+1
De…nita per x 6= 0; 1; 1:
Per x ! 0; x ! 1 l’argomento del logaritmo tende a 0+ e f (x) ! 1:
Per x ! 1; l’argomento del logaritmo tende a +1 e f (x) ! +1:
x = 0; x = 1; x = 1 asintoti verticali.
Per x ! 1; f (x) log jxj ! +1 con crescita sottolineare (senza asintoto
obliquo).
28
Dove è de…nita la funzione è anche derivabile e si ha:
f (x) = log jxj + log jx
1j
log jx + 1j
x2 1 + x2 + x
1
1
1
+
=
x x 1 x+1
x (x2 1)
2
x + 2x 1
=
0 per:
x (x2 1)
p
p
2 x < 1; 0 < x
1 + 2; x > 1:
f 0 (x) =
1
x2
x
In questi intervalli
la f (x) è crescente.
p
x = 1 p2 punto di minimo relativo;
x = 1 + 2 punto di massimo relativo.
Gra…co qualitativo:
f deve avere almeno un punto di ‡esso in
1; 1
p
2 e uno in ( 1; 0) :
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se
necessario, degli strumenti del calcolo di¤erenziale (teorema di De L’Hospital /
formula di Taylor MacLaurin).
Sh x x cos x
tan x
lim
:
x!0 sin x
x Ch x
Th x
lim
x!0
Sh x
sin x
x cos x
x Ch x
29
tan x
0
:
=
Th x
0
tan x
Th x
x
=1
x
Sh x
x cos x =
x+
sin x
x Ch x =
x
f (x)
2 3
3x
2 3
3x
x3
+ o x3
6
x3
+ o x3
6
1 2
x + o x2
2
1
x 1 + x2 + o x2
2
x 1
= x3
= x3
1 1
+
+ o x3
6 2
1 1
+ o x3
6 2
1 = 1;
che è il limite cercato.
4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giusti…cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
1
X
n cos (n ) + log n + 1
n2 + log n
n=1
Spezziamo la serie così:
1
1
1
X
X
n
log n + 1
n cos (n ) + log n + 1 X
n
=
(
1)
+
:
2
2
n + log n
n + log n n=1 n2 + log n
n=1
n=1
La prima serie converge per il criterio di Leibniz. Infatti
n
n2 + log n
n
1
=
n2
n
che è positivo e in…nitesimo. Per veri…care la monotonia, consideriamo
f (x) =
x2
x
+ log x
e calcoliamo
f 0 (x) =
x2 + log x
x 2x +
1
x
2
(x2 + log x)
x2 + log x
=
1
2
(x2 + log x)
x2
=
x4
1
<0
x2
0
perciò per x ! +1
n è f (x)
o < 0 de…nitivamente e f (x) decrescente de…nitin
vamente; quindi n2 +log n è de…nitivamente decrescente, e per il criterio di
Leibniz
1
X
n
n
( 1) 2
converge.
n
+
log n
n=1
La seconda serie è a termini positivi. Studiamo:
log n + 1
n2 + log n
log n
1
< 3=2
n2
n
30
2 3
x
3
2 3
x
3
P 1
p n ! 0: Poiché
perché log
converge in quanto serie armonica generalizzata
n
n3=2
con = 3=2 > 1; per il criterio del confronto asintotico e il criterio del confronto,
1
X
log n + 1
converge.
2 + log n
n
n=1
Pertanto la serie di partenza converge in quanto somma di due serie convergenti.
5. Calcolare il seguente integrale inde…nito e sempli…care l’espressione
ottenuta:
Z p 2
x +4
dx:
x2
Z p
x2 + 4
dx = (x = 2 Sh t)
x2
Z p
Z
Z
4 Sh2 t + 4
2 Ch t
Ch2 t
2
Ch
tdt
=
2
Ch
tdt
=
dt
4 Sh2 t
4 Sh2 t
Sh2 t
Z
0
1
= Ch t
dt = (per parti)
Sh t
Z
Ch t
+ Sh t
Sh t
Ch t
+t+c
Sh t
q
=
=
1+
=
p
=
x2
4
x
2
1
Sh t
+ SettSh
dt
x
+c
2
x
4 + x2
+ SettSh + c:
x
2
6. Discutere la convergenza o meno dei seguenti integrali generalizzati, giusti…cando le proprie a¤ermazioni in base ai criteri studiati.
Z 1
Z +1
a:
f (x) dx; b:
f (x) dx,
0
1
dove (in entrambi i casi)
f (x) = p
1 e x
:
x log (1 + x)
La funzione f (x) è continua in (0; +1), eventualmente illimitata in x = 0.
Per x ! 0+ ;
x
1
f (x) p
=p ;
x x
x
31
R1
integrabile, perciò l’integrale generalizzato 0 f (x) dx converge per il criterio
del confronto asintotico (l’integranda è positiva in tale intorno).
Per x ! +1;
1
1
>
f (x) p
x
x log x
perché
p
x
! +1 per x ! +1:
log x
Perciò Rper il criterio del confronto e del confronto asintotico l’integrale general+1
izzato 1 f (x) dx diverge.
32
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1
Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti
Svolgimento Tema n 4
Es.
Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
1. Problemi di massimo e minimo. Impostare e risolvere col calcolo
di¤ erenziale il seguente problema di minimo. Determinare il punto P , sul gra…co
della funzione
f (x) = x3=2
che ha distanza minima da Q
(4; 0) (e determinare tale distanza minima,
sempli…cando l’espressione ottenuta). Si raccomanda di fare una …gura per
impostare il problema.
La distanza è
D (x) = d
x; x3=2 ; (4; 0) =
q
(x
2
4) + x3 per x
0
(insieme di de…nizione di f (x)).
2 (x 4) + 3x2
D0 (x) = q
2
2 (x 4) + x3
3x2 + 2x
8
x
0 per
0
2; x
4
:
3
Nell’intervallo (0; +1) questo signi…ca che f (x) è crescente per x
è punto di minimo. Quindi
!
3=2
4 4
P
;
3 3
s
2
3
4
4
16
Dmin =
4 +
= p :
3
3
3 3
4
3;
ex=
4
3
2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il
gra…co. E’ richiesto in particolare: insieme di de…nizione, limiti alla frontiera
dell’insieme di de…nizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata
33
prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali
punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda.
f (x) = x2=3 x2
De…nita in R.
Per x ! 1; f (x)
obliquo).
4x + 3
1=3
:
x4=3 ! +1 con crescita sopralineare (senza asintoto
f (x) = x2=3 (x
1)
1=3
(x
3)
1=3
perciò f (x) = 0 per x = 0; x = 1; x = 3; ci aspettiamo punti di ‡esso a tangente
verticale in x = 1; x = 3; e punto di cuspide in x = 0. Fuori da questi 3 punti f
è certamente derivabile e si ha:
f 0 (x) =
=
2
x2
3x1=3
2 x2
0<x
4x + 3
1=3
+ x2=3
4x + 3 + x (2x
3x1=3
(x2
4)
2=3
4x + 3)
p
p
3+ 3
3
3
;x
2
2
1
3 (x2
=
4x + 3)
2 2x2
3x1=3
(x2
2=3
(2x
6x + 3
4x + 3)
2=3
4)
0 per
(esclusi x = 1; x = 3 in cui non esiste f 0 ). In questi intervalli f è crescente, in
particolare:
x = 0 punto
di minimo relativo
p
x = 3 2 3 punto di massimo relativo
p
x = 3+2 3 punto di minimo relativo.
Inoltre:
2
Per x ! 0 ; f 0 (x)
! 1; perciò x = 0 punto di cuspide,
x1=3 32=3
discendente.
2
Per x ! 1 ; f 0 (x)
! 1; perciò x = 1 punto di ‡esso a
3 22=3 (x 1)2=3
tangente verticale, discendente.
2
Per x ! 3 ; f 0 (x)
! +1; perciò x = 1 punto di ‡esso a
31=3 22=3 (x 3)2=3
tangente verticale, ascendente.
34
Gra…co qualitativo:
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se
necessario, degli strumenti del calcolo di¤erenziale (teorema di De L’Hospital /
formula di Taylor MacLaurin).
cos x2
e
lim
x!0 2x
log (1 + x)
cos x2
e
lim
x!0 2x
log (1 + x)
cos
x
2
e
x2
4
=
2x
log (1 + x)
1
2
=1
x2
4
x
2
2
tan x
x2
4
tan x
x
=
:
0
:
0
x2
+ o x2
4
x2
x2
=
+ o x2
:
8
8
+ o x2
x2
+ o x2
8
tan x = 2x
x2
4
1
x2
+ o x2
2
+ x + o x2
x, il suo sviluppo al second’ordine è x + o x2 )
(poiché tan x è dispari e tan x
=
x2
+ o x2
2
e
f (x)
x2
8
x2
2
che è il limite cercato.
35
x2
2
=
1
;
4
4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giusti…cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
1
X
n
( 1)
n=1
Poiché
n sin n1
n+1
n sin
n sin n1
:
n+1
1
n
n
1
n
=
n
1
la successione bn = n+1n è a termini de…nitivamente positivi e tende a zero. La
serie perciò è a segni alterni, con termine generale in…nitesimo. Per applicare
il criterio di Leibniz dobbiamo veri…care che fbn g è almeno de…nitivamente
monotona decrescente. Posto
f (x) =
x sin x1
;
x+1
calcoliamo
f 0 (x) =
=
=
sin x1 + x cos x1
1
x2
(x + 1)
(x + 1)
x sin x1
2
cos x1 + sin x1
(x + 1)
1
1
x cos x
cos x1 + sin x1
(x + 1)
x sin x1
1
x
cos x1
x sin x1
2
1
< 0;
x2
2
perciò per x ! +1 è f 0 (x) < 0 de…nitivamente, f (x) decrescente de…nitivamente, e fbn g è de…nitivamente monotona decrescente. Per il criterio di Leibniz
la serie di partenza converge.
5. Calcolare il seguente integrale de…nito:
Z 2 p
4 x2
dx:
p
x2
2
Z
2
p
2
p
4 x2
dx = (x = 2 sin t)
x2
Z 2 p
4 4 sin2 t
=
2 cos tdt
4 sin2 t
4
Z 2
Z 2
cos2 t
=
dt
=
cos t
f
sin2 t
4
4
=
=1
1
cos t
sin t
4
:
36
2
4
Z
2
sin t
4
1
sin t
g0
1
dt
sin t
0
dt
6. Calcolare il seguente integrale de…nito:
Z e
2
x3 (log x) dx:
1
Si chiede di determinare (e scrivere esplicitamente) per prima cosa la primitiva, e successivamente calcolare l’integrale de…nito, sempli…cando l’espressione
ottenuta.
Z
2
x30 (log x) dx
f
g
Z 4
x log x
x4
2
(log x)
2
dx =
4
4
x
Z
x4
1
2
=
(log x)
x30 log xdx
f
4
2
g
Z
4
1 x4
x4 dx
x
2
(log x)
log x
= (per parti)
4
2
4
4 x
4
4
4
x
x
x
2
=
(log x)
log x +
+c
4
8
32
= (per parti)
Z
1
e
2
x3 (log x) dx =
x4
2
(log x)
4
e4
=
4
e4
e4
+
8
32
37
x4
x4
log x +
8
32
e
1
1
5e4 1
=
:
32
32