Programma Definitivo di Analisi Matematica I

PROGRAMMA DEL CORSO DI
ANALISI MATEMATICA I
PER INGEGNERIA EDILE (J–Z)
A.A. 2014/2015
PROF. G. DI MEGLIO
Avvertenze
Nel seguente programma, molto dettagliato, ho elencato esaustivamente gli argomenti affrontati durante il corso di Analisi Matematica I che ho tenuto per Ingegneri
Edili nell’anno 2014/2015.
Per la presentazione del materiale a lezione ho seguito molto fedelmente gli appunti [M], gentilmente messi a mia disposizione dal prof. B. Messano, ai quali tutti i
riferimenti bibliografici rimandano.
Per le poche volte che ho deviato dal percorso, metto a disposizione degli studenti
alcune noticine scritte da me, nelle quali presento (con aggiunte1) il materiale così
come l’ho presentato a lezione.
Le note sono reperibili sul mio repository 2; la loro lettura, seppur vivamente consigliata, non è obbligatoria.
Una versione sintetica del programma è disponbibile sulla mia pagina web.docenti,
raggiungibile allo URL www.docenti.unina.it/guglielmo.di meglio.
Attenzione: Se non esplicitamente segnalato dal simbolo s.d. (senza dimostrazione), gli argomenti sono da studiarsi con dimostrazione.
I materiali reperibili nelle mie note sono preceduti da un asterisco (*).
Elementi di Teoria (Ingenua) degli Insiemi
Insiemistica. Definizione (ingegnua) di insieme; relazione di appartenenza, relazione d’inclusione; sottoinsiemi. Proprietà, implicazioni ed equivalenza; individuazione di sottoinsiemi attraverso proprietà caratteristiche. Operazioni con sottoinsiemi (unione, intersezione, differenza) e loro proprietà (iterativa, commutativa,
associativa, distributiva, etc. . . ). Coppie ordinate e prodotto cartesiano di insiemi;
rappresentazione grafica.
Relazioni tra Insiemi. Definizione di relazione; relazioni riflessive, simmetriche,
antisimmetriche e transitive; relazioni d’ordine e relazioni d’equivalenza.
Date: 4 febbraio 2015.
1
A volte di notevolissima entità. . .
2
Allo URL: wpage.unina.it/guglielmo.dimeglio.
1
2
PROF. G. DI MEGLIO
Funzioni tra Insiemi. Definizione di funzione; funzioni iniettive, suriettive e biiettive/invertibili; grafico e diagramma del grafico di una funzione; funzione inversa;
funzioni composte.
[M, Cap. 1]
I Numeri Reali
Definizione assiomatica del campo reale R. Assiomi algebrici; assiomi d’ordine, nozioni di massimo e minimo, di maggiorante e minorante, di insieme limitato
superiormente, di insieme limitato inferiormente e di insieme limitato; assioma di
completezza. Definizione di estremo superiore ed estremo inferiore; caratterizzazione degli estremi superiore ed inferiore.
Insiemi Numerici Notevoli. Insieme N dei numeri naturali; insieme Z dei numeri
interi; insieme Q dei numeri razionali e sua densità in R; densità di R in sé. Principio
d’Induzione Matematica e (*) sue applicazioni. Sottoinsiemi finiti ed infiniti; insiemi
numerabili; numerabilità di N, Z, Q; impossibilità di numerare R.
b intervalli (chiusi,
Intervalli e insiemi contigui. Insieme esteso dei reali (i.e, R);
aperti, semiaperti, limitati, non limitati); proprietà di connessione. Insiemi separati
e insiemi contigui di numeri reali; caratterizzazione degli insiemi contigui.
Rappresentazione del campo reale. La retta orientata come modello e rappresentazione dell’insieme dei numeri reali; rappresentazione di sottoinsiemi notevoli
(intervalli, insiemi finiti, insiemi numerici notevoli).
Ulteriori operazioni coi numeri reali. Valore assoluto e sue proprietà (positività, disuguaglianze triangolari, etc. . . ); elevamento a potenza (ad esponente
naturale, intero, razionale, reale) e sue proprietà; esponenziazione (con base a > 1
o 0 < a ≤ 1) e sue proprietà; logaritmo (con base a > 1 o 0 < a < 1) e sue
proprietà (logaritmo del prodotto, logaritmo del rapporto, logaritmo della potenza,
cambiamento di base).
[M, Cap. 2, §§ 2.1 – 2.8]; [DM1]
Le Funzioni Elementari
Proprietà notevoli delle funzioni reali di variabile reale. Limitatezza inferiore e superiore, monotònia e stretta monotònia, parità, disparità, periodicità.
Estremi inferiore e superiore, minimo e massimo di una funzione reale.
Funzioni elementari di base. La funzione valore assoluto; le funzioni potenza
n-esima e radice n-esima (con n ∈ N); le funzioni potenza ad esponente intero,
razionale e reale; la funzione esponenziale; la funzione logaritmo. Le proprietà
fondamentali di tali funzioni: insiemi di definizione ed immagini, intervalli di stretta
monotònia, estremi inferiori e superiori, massimi e minimi, parità e disparità.
Polinomi. Definizione di polinomio e suo grado. Operazioni tra polinomi: somma,
differenza, moltiplicazione, divisione. Regola di addizione dei gradi, algoritmo della
divisione. Radici di un polinomio; teorema di Ruffini. Fattorizzazione di alcuni
polinomi notevoli.
PROGRAMMA DI ANALISI I
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Funzioni circolari e loro inverse. Misura di un angolo in radianti; coseno, seno
e tangente di un angolo espresso in radianti; funzioni corrispondenti e loro proprietà
fondamentali (insiemi di definizione, immagini, periodicità, parità, disparità, formule trigonometriche). Inverse (locali) delle funzioni coseno, seno e tangente (cioè
arccos, arcsin ed arctan).
Funzioni iperboliche e loro inverse. Coseno, seno e tangente iperbolici di un
numero reale; funzioni corrispondenti e loro proprietà fondamentali (insiemi di definizione, immagini, parità, disparità, formule notevoli). Inverse (locali) delle funzioni coseno, seno e tangente iperbolici (cioè settcosh, settsinh e setttanh) e loro
espressione in termini di logaritmi e radicali.
Applicazioni. Risoluzione di equazioni e disequazioni elementari. Definizione di
funzione elementare; il problema della ricerca dell’insieme (massimale) di definizione di una funzione elementare composta.
[M, Cap. 2, §§ 2.9 e 2.10; Cap. 3; Cap. 10, § 10.7]
I Numeri Complessi
Il campo complesso. Forma cartesiana e forma algebrica dei numeri complessi: somma, differenza e prodotto; coniugato complesso e quoziente di due numeri
complessi. Rappresentazione cartesiana del campo complesso sul piano di Gauss.
Rappresentazione trigonometrica ed esponenziale. Riferimento polare nel
piano di Gauss; modulo, argomenti e forma trigonometrica dei numeri complessi;
passaggio dalla forma algebrica alla forma trigonometrica e viceversa. Operazioni
su numeri complessi in forma trigonometrica: prodotto e quoziente; potenza ad
esponente intero; radici n-esime complesse. Cenni sulla forma esponenziale dei numeri complessi.
[M, Cap. 4]
Successioni e loro Limiti
Nozioni di base. Definizione di successione. Definizione di limite; successioni
convergenti, divergenti, indeterminate, limitate, illimitate; esempi.
Teoremi sui limiti di successione. Teorema di unicità del limite. Ogni successione convergente è limitata ed ogni successione divergente è illimitata; controesempi. Teoremi di confronto; teorema dei carabinieri; teorema della permanenza
del segno; regolarità delle successioni monotòne. (*) Il numero e di Nepero (s.d.).
Operazioni sui limiti; forme indeterminate. Criterio di Cauchy per le successioni
(s.d.). Successioni estratte; teorema fondamentale sulle successioni estratte.
[M, Cap. 5, §§ 5.1 – 5.3 e 5.5]; [DM2]
Topologia della Retta Reale
Nozioni di base. Intorni di un punto. Definizione di punto di accumulazione e
di derivato di un insieme; caratterizzazione sequenziale dei punti di accumulazione.
Ogni sottoinsieme limitato ed infinito ha almeno un punto di accumulazione al finito
(teorema di Bolzano–Weierstrass) (S.D.); un sottoinsieme è infinito se e solo se ha
almeno un punto di accumulazione. Definizione di punto isolato, punto interno,
punto esterno e punto di frontiera; insiemi chiusi ed insiemi aperti.
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PROF. G. DI MEGLIO
Insiemi compatti. Definizione di insieme compatto; caratterizzazione degli insiemi compatti (teorema di Heine–Borel).
[M, Cap. 5, §§ 5.4 e 5.6]
Calcolo Infinitesimale
Nozione di limite e teoremi relativi. Definizione di limite in termini di intorni
aperti; particolarizzazioni della definizione del tipo “ε–δ”. Teorema di unicità del
limite; teorema fondamentale sulla regolarità di una funzione in un punto (anche
detto teorema “ponte” o caratterizzazione sequenziale del limite). Ogni funzione
convergente in un punto è localmente limitata; controesempi. Teoremi di confronto;
teorema dei carabinieri; teorema della permanenza del segno. Infinitesimi, infiniti
e loro confronto; i simboli “o”, “O” ed ∼ di Landau. Limiti di restrizioni, limite
destro e limite sinistro; teorema fondamentale sui limiti delle restrizioni. Teorema
di regolarità delle funzioni monotòne. Operazioni sui limiti; forme indeterminate.
Nozione di continuità e teoremi relativi. Continuità in un punto; funzioni
continue; esempi e controesempi. Continuità a destra e continuità a sinistra di
un punto. Continuità della somma, della differenza, del prodotto e del quoziente di funzioni continue in un punto. Limite della funzione composta; continuità
della funzione composta; caratterizzazione sequenziale della continuità. Punti di
discontinuità e loro classificazione.
Proprietà fondamentali delle funzioni continue. Funzioni continue in un intervallo: teorema degli zeri e relativi controesempi; teorema di Bolzano (anche detto
teorema dei valori intermedi) e relativi controesempi; teorema inverso di Bolzano
(s.d.) e relativi controesempi; invertibilità delle funzioni continue e relativi controesempi. Funzioni continue in un intervallo compatto: teorema di Weierstrass e
relativi controesempi.
Nozione di continuità uniforme e teoremi relativi. Criterio di Convergenza di Cauchy (s.d.). Continuità uniforme; teorema di Cantor (sulla continuità uniforme delle funzioni continue nei compatti) (s.d.) e relativi controesempi;
caratterizzazione sequenziale della continuità uniforme (s.d.).
Applicazioni. Limiti fondamentali (o notevoli) e loro uso per la risoluzione di limiti in forma indeterminata.
[M, Cap. 6; Cap. 7, §§ 7.10 e 7.11]
Calcolo Differenziale
Nozione di derivata e teoremi relativi. Rapporto incrementale e suo significato
geometrico. Definizione di funzione derivabile in un punto; notazioni di Newton e
di Leibniz per le derivate. Derivata destra e derivata sinistra. La derivabilità
[risp. derivabilità a destra, derivabilità a sinistra] in un punto implica la continuità
[risp. la continuità a destra, la continuità a sinistra] nello stesso punto. Definizione
formale di retta tangente al grafico di una funzione; significato geometrico della
derivata. Punti angolosi e cuspidali nei diagrammi.
Regole di calcolo. Regole di derivazione di somma, differenza, prodotto e rapporto di funzioni derivabili; derivazione della funzione composta; derivazione della
funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari.
PROGRAMMA DI ANALISI I
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Generalizzazioni. La funzione derivata prima; derivate successive. (*) Definizione di differenziale in un punto; equivalenza di differenziabilità e di derivabilità in
un punto. Cenni sui differenziali d’ordine superiore.
[M, Cap. 7, §§ 7.1 – 7.6; Cap. 8, § 8.1]; [DM3, par 1]
Applicazioni del Calcolo Differenziale
Teoremi classici del Calcolo Differenziale. Massimi e minimi di funzioni derivabili, teorema di Fermat; condizioni necessarie e condizioni sufficienti con derivate
d’ordine superiore. Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy; equivalenza dei tre enunciati. Conseguenze del teorema di Lagrange: caratterizzazione delle funzioni con
derivata prima nulla in un intervallo; caratterizzazione delle funzioni con derivata
n-esima nulla in un intervallo (s.d.); unicità della primitiva a meno di costanti additive. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti alla monotònia ed alla stretta
monotònia in un intervallo. I teoremi di de l’Hôpital (s.d.).
Approssimazione locale mediante polinomi. (*) Approssimazione di funzioni
derivabili mediante funzioni affini: formula di Taylor al primo ordine col resto nella
forma di Peano. (*) Equivalenza della formula di Taylor al primo ordine, della
definizione di derivabilità e della definizione di differenziabilità (s.d.). (*) Approssimazione di funzioni derivabili due volte con polinomi al più di secondo grado: la
formula di Taylor al secondo ordine col resto nella forma di Peano. Approssimazione di funzioni derivabili n volte con polinomi di grado al più n: formula di Taylor
d’ordine n col resto nella forma di Peano. Resto della formula di Taylor nella forma
di Lagrange. Formule di Taylor–McLaurin delle funzioni elementari più comuni
(esponenziale, seno, coseno, logaritmo, etc. . . ) Uso della formula di Taylor nella
risoluzione di limiti in forma indeterminata.
Condizioni per la concavità e convessità di funzioni derivabili. Definizioni di funzioni concave e funzioni convesse e loro interpretazione geometrica; (*)
continuità delle funzioni concave o convesse nei punti interni all’intervallo di definizione (s.d.); (*) monotònia della derivata prima di funzioni concave e funzioni
convesse derivabili (s.d.); (*) definitezza del segno della derivata seconda di funzioni concave o funzioni convesse derivabili due volte (s.d.). Condizioni necessarie
e condizioni sufficienti alla concavità, alla stretta concavità, alla convessità ed alla
stretta convessità (s.d.).
Studio della funzione. Punti di flesso nei diagrammi; asintoti verticali, orizzontali ed obliqui. Studio della funzione; disegnare il grafico (approssimato) di una
funzione elementare.
Problemi di massimo o di minimo. (*) Cenni sulle applicazioni delle tecniche
del Calcolo Differenziale alla risoluzione di semplici problemi di massimo e di minimo.
[M, Cap. 7, §§ 7.7 – 7.9; Cap. 8, §§ 8.2 – 8.3; Cap. 9]; [DM3, par. 2], [DM4], [DM5]
Calcolo degli Integrali Indefiniti
Nozione di primitiva e teoremi relativi. Definizione di primitiva; unicità della
primitiva in un intervallo a meno di costanti additive.
Tecniche di integrazione di base. Calcolo delle primitive delle funzioni elementari di base. Calcolo delle primitive mediante inversione delle formule di derivazione;
integrazione per decomposizione in somma.
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PROF. G. DI MEGLIO
Altre tecniche di integrazione. (*) Integrazione indefinita per parti e per sostituzione. Calcolo delle primitive di funzioni razionali: decomposizione in fratti
semplici e formula di Hermite. Sostituzioni razionalizzanti più comuni e loro applicazione. Calcolo degli integrali di funzioni irrazionali. (*) Integrazione mediante
formule ricorsive. (*) Cenni sul problema generale dell’integrazione di funzioni
elementari in termini elementari; esistenza di funzioni elementari che non hanno
primitive elementari.
[M, Cap. 7, § 7.8; Cap. 10]; [DM6], [DM7]
Teoria della Misura di Peano–Jordan e Teoria dell’Integrazione
Definita secondo Riemann
Cenni di topologia del piano euclideo R2 . Distanza tra punti, cerchi aperti
e chiusi, intorni circolari di un punto; rettangoli chiusi, aperti, semiaperti, intorni
rettangolari. Sottoinsiemi limitati del piano. Punti interni, punti esterni, punti di
frontiera, punti di accumulazioni di sottoinsiemi di R2 . Partizioni di sottoinsiemi.
Cenni sulla costruzione della misura di Peano–Jordan. Misura dei rettangoli; misura dei plurirettangoli e sue proprietà (monotònia, additività finita, etc. . . ).
Misura esterna ed interna di un sottoinsieme limitato del piano e loro proprietà (e.g.,
i sottoinsiemi ad interno vuoto hanno misura interna nulla); sottoinsiemi limitati di
R2 misurabili secondo Peano–Jordan, caratterizzazione degli insiemi limitati misurabili secondo Peano–Jordan; esempi di sottoinsiemi limitati non misurabili secondo
Peano–Jordan. Sottoinsiemi con misura di Peano–Jordan nulla; un sottoinsieme limitato è misurabile secondo Peano–Jordan se e solo se esso ha frontiera misurabile
e con misura (esterna) nulla. Proprietà della classe M dei sottoinsiemi misurabili
secondo Peano–Jordan: misurabilità e misura dell’unione finita, dell’intersezione
finita e della differenza di sottoinsiemi limitati misurabili. Misurabilità e misura
dell’unione numerabile di sottoinsiemi limitati misurabili a due a due disgiunti. La
misura di Peano–Jordan come funzione d’insieme e sue proprietà di base (monotònia, additività finita e numerabile, etc. . . ). Misurabilità e misura di sottoinsiemi
non limitati di R2 .
Integrale definito secondo Riemann di una funzione continua. Definizione
di rettangoloide sotteso ad una funzione positiva definita in un intervallo compatto;
misurabilità del rettangoloide: esempi e controesempi. Teorema sulla misurabilità del rettangoloide sotteso ad una funzione continua positiva. Partizioni di un
intervallo compatto; somme integrali inferiori e superiori relative ad una funzione
continua subordinate ad una partizione; somme di Riemann relative ad una funzione continua subordinate ad una partizione. Integrale definito di una funzione
continua e positiva in un intervallo compatto; interpretazione geometrica. Integrale
definito di una funzione continua (senza vincoli di segno) in un intervallo compatto;
interpretazione geometrica. Considerazioni relative al simbolo d’integrale.
Proprietà dell’integrale definito e teoremi relativi. Proprietà dell’integrale
definito: monotònia rispetto all’integrando; monotònia rispetto all’insieme d’integrazione (per integrandi positivi); linearità; disuguaglianza triangolare; l’integrale
di una funzione continua e non negativa è nullo solo se la funzione è dovunque
nulla; proprietà additiva rispetto all’insieme d’integrazione. Proprietà di (assoluta)
continuità dell’integrale come funzione d’insieme. Teorema della media integrale.
Funzione integrale; Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale e Lemma Fondamentale del Calcolo Integrale; collegamento tra il problema dell’integrazione definita ed il problema della determinazione delle primitive (o integrazione indefinita).
Formule di integrazione definita per parti e per sostituzione.
PROGRAMMA DI ANALISI I
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Applicazioni (Euristiche) del Calcolo Integrale. Calcolo di aree di regioni
delimitate da grafici di funzione; (*) uguaglianza e disuguaglianze di Young per
funzioni monotone continue. (*) Calcolo della lunghezza della curva-grafico di una
funzione derivabile in un intervallo compatto; giustificazione euristica. (*) Calcolo
del volume di un solido di rotazione; (*) calcolo del volume di un solido mediante
integrale dell’area delle sue sezioni; giustificazione euristica delle formule. (*) Calcolo della massa di una colona cilindrica con densità variabile rispetto all’altezza;
(*) calcolo della massa di un solido di rotazione con densità variabile nella direzione
del proprio asse; (*) giustificazione euristica.
[M, Cap. 11]; [DM8]
Serie Numeriche
Nozione di serie e teoremi relativi. Definizione di serie numerica; definizione di
serie numerica convergente, divergente, indeterminata. Esempi fondamentali: (*)
serie con addendi costanti; (*) serie telescopiche; serie geometriche; serie armonica
e armonica generalizzata. Criterio di convergenza di Cauchy per le serie; condizione
necessaria alla convergenza (se una serie converge, allora gli addendi tendono a zero)
e relativi controesempi. Operazioni con serie: somma, differenza, moltiplicazione
per una costante.
Criteri di convergenza per serie a termini positivi. Regolarità delle serie a
termini positivi. Criteri della radice e del rapporto; esempi e controesempi. Criterio
dell’ordine d’infinitesimo; esempi e controesempi; generalizzazioni. (*) Cenni su
altri criteri: criterio di condensazione e criterio dell’integrale; (*) esempi.
Criteri di convergenza per serie a termini di segno qualsiasi. Convergenza
assoluta; la convergenza assoluta implica la convergenza semplice, controesempi;
disuguaglianza triangolare per le serie assolutamente convergenti. Criteri di convergenza assoluta ricavati dai criteri corrispondenti per serie a termini positivi. (*)
Criterio di Leibniz per le serie a segno alterno (s.d.); la serie armonica alternata.
[M, Cap. 12]; [DM9, §§ 1 – 3 e 5]
Riferimenti bibliografici
[M] Messano, B. (2014), Appunti del Corso di Analisi Matematica I.
[AT] Alvino, A. & Trombetti, G. (1999), Elementi di Matematica I, Liguori, Napoli.
[CM] Crasta, G. & Malusa, A. (2003), Matematica 1 – Teoria ed Esercizi, Pitagora, Bologna.
[MS] Marcellini, P. & Sbordone, C. (1999), Lezioni di Analisi Matematica I, Liguori, Napoli.
[DM1] Di Meglio, G. (2014), Qualche Esercizio sul Principio di Induzione Matematica.
[DM2] Di Meglio, G. (2013), Sul Numero di Nepero.
[DM3] Di Meglio, G. (2015), Complementi sulla Formula di Taylor.
[DM4] Di Meglio, G. (2015), Complementi sulla Convessità.
[DM5] Di Meglio, G. (2015), Il “Problema della Finestra”.
[DM6] Di Meglio, G. (2015), Complementi sull’Integrazione Indefinita.
[DM7] Di Meglio, G. (2015), Alcuni Esercizi sull’Integrazione Indefinita.
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[DM8] Di Meglio, G. (2015), Alcune Applicazioni del Calcolo Integrale.
[DM9] Di Meglio, G. (2015), Complementi sulle Serie Numeriche.
Guglielmo Di Meglio
Università degli Studi di Napoli “Federico II”
Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”
Complesso Universitario Monte Sant’Angelo
via Cintia, 80126,
Napoli – ITALY