Programma del corso di Analisi Matematica II 2015/16
Riepilogo di topologia in RN : Insiemi aperti, chiusi, compatti. Intorni, intorni sferici. Caratterizzazioni degli insiemi chiusi per successioni. Un insieme è
compatto in RN se e solo se è chiuso e limitato. Insiemi convessi e aperti connessi.
Aperti connessi e poligonali.
Limiti e continuità per funzioni scalari di più variabili reali: Limiti
per successioni a valori in RN . Limiti per funzioni da RN a R. Funzioni continue. Caratterizzazione della continuità tramite controimmagini. Teorema di
Weierstrass. Teorema degli zeri in insiemi convessi e aperti connessi. Funzioni
Lipschitziane e localmente Lipschitziane.
Derivabilità e differenziabilità: Derivate direzionali e parziali. Derivabilità
parziale non implica continuità. Differenziabilità e formula di Taylor del primo
ordine. Il gradiente. Funzioni di classe C 1 . Una funzione di classe C 1 è localmente Lipschitziana. Teorema del differenziale totale. Direzioni di crescita e
di decrescita. Punti critici. Massimi e minimi relativi. La condizione di coercività. Il teorema di Fermat. Derivate prime per funzioni da R a RN e da RN
a RM (M > 1). Differenzaibilità. La matrice Jacobiana. Formula di Taylor
del primo ordine con lo Jacobiano. Regola di derivazione per funzioni composte.
Derivazione di funzioni sotto forma integrale.
Derivate di ordine successivo: Matrice Hessiana. Teorema di Schwartz (senza
dimostrazione). Forma quadratica indotta dalla matrice Hessiana. Formula di
Taylor del secondo ordine. Condizioni necessarie e sufficienti del secondo ordine
per massimi e minimi relativi. Punti di sella.
Funzioni convesse e omogenee: Funzioni convesse, epigrafici e sottolivelli.
Una funzione convessa su un aperto è continua. Condizioni necessarie e sufficienti
del primo e secondo ordine per la convessità. Punti critici di funzioni convesse.
Funzioni omogenee. Formula di Eulero.
Teoria di Dini: Teorema della Funzione Inversa e della Funzione Implicita.
Caso particolare delle funzioni a valori scalari. Valori regolari e singolari. Spazio
tangente ad un insieme di livello regolare.
Curve: Curve regolari, semplici, chiuse. Sostegno di una curva. Vettore tangente. Lunghezza di una curva. Integrale curvilineo di una funzione (di prima
specie). Cambi di parametro. Parametrizzazioni equivalenti. Invarianza di
lunghezza e integrale di una funzione per parametrizzazioni equivalenti. Ascissa
curvilinea. Curve orientate. Integrale curvilineo di un campo vettoriale e di una
forma (di seconda specie). Invarianza per cambi di parametrizzazione che conservano l’orientazione. Rotore di un campo vettoriale in dimensione 2 e 3. Campi
irrotazionali e conservativi. Forme chiuse e esatte. Caratterizzazione dei campi
conservativi e delle forme esatte tramite cicli. Omotopia, Teorema di omotopia.
Domini convessi, stellati, semplicemente connessi. Insieme di Cantor e curve di
Peano.
Ottimizzazione vincolata: Curve contenute in un insieme di livello regolare.
Vettori tangenti alla curva e all’insieme di livello. Punti critici ed estremi locali
vincolati. Moltiplicatori di Lagrange. Problemi di ottimizzazione con vincoli di
uguaglianza e disuguaglianza.
Teoria della misura: Misura di Peano–Jordan e di Lebesgue. Insiemi misurabili e loro proprietà, σ–algebre. Caratterizzazione degli insiemi misurabili secondo
Peano–Jordan (dimostrazione facoltativa). Proprietà di invarianza della misura
di Lebesgue. Insiemi non misurabili. Misura prodotto (nessuna dimostrazione).
Funzioni misurabili. Integrale, funzioni integrabili e sommabili. Integrazione
negli spazi prodotto (nessuna dimostrazione). Confronto tra integrabilità secondo Riemann e secondo Lebesgue (dimostrazioni facoltative). Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Formule di cambio di variabile sotto il
segno d’integrale (senza dimostrazione). Caso particolare: misura dell’immagine
tramite una trasformazione lineare. Insieme di Cantor e sua rilevanza nella teoria
della misura.
Superfici e Gauss–Green: Definizione di superficie regolare in R3 , spazio tangente e versore normale. Relazione con gli insiemi di livello regolari. Orientabilità.
Integrazione di funzioni e di campi vettoriali su superfici. Interpretazione geometrica in termini di flusso. Bordo di una superficie. Teorema di Gauss–Green bidimensionale (caso di un rettangolo). Definizione geometrica di rotore. L’operatore
divergenza. Il Teorema della divergenza (caso di un parallelepipedo). Interpretazione geometrica della divergenza. Il Teorema di Stokes (senza dimostrazione).
Le dimostrazioni non svolte a lezione sono escluse. In generale si raccomanda
di concentrarsi sulle dimostrazioni dei risultati più rilevanti o su quelle con argomenti più interessanti. Quali esse siano dipende dai gusti e dall’interesse dello
studente, ma le scelte riveleranno anche, a parere di chi scrive, il grado di comprensione dei temi trattati.
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