particella nella scatola

Fondamenti di
Meccanica Quantistica
(Prof. Tarantelli)
1
MOTO LINEARE E
L’ OSCILLATORE ARMONICO
2
EQUAZIONE DI SCHRODINGER
• Equazione di Schrödinger: descrive il comportamento di un insieme di
particelle:
Φ dipende dalla posizione di tutte le particelle e dal tempo, i.e. Φ(r,t).
H: operatore Hamiltoniano:
T energia cinetica
V energia potenziale
3
• Per uno stato stazionario nel tempo:
Ψ dipende dalla posizione di tutte le particelle, i.e. Ψ(r).
4
ALCUNI PROBLEMI QUANTISTICI
RISOLUBILI
5
MOTO LINEARE:
LA PARTICELLA LIBERA IN UNA DIMENSIONE
Particella di massa m libera di muoversi lungo una retta (asse x) con un’
energia potenziale costante (V=0).
Equazione di Schrödinger indipendente dal tempo:
→ Equazione differenziale al II ordine a coefficienti costanti
6
Per risolverla, si ricorre ad un’ equazione algebrica associata:
che, risolta, fornisce le due soluzioni immaginarie:
→ E > 0 per la particella libera (E non è quantizzata!)
Ho quindi due soluzioni indipendenti:
ψ (x ) =
Inoltre, poiché l’ equazione differenziale è LINEARE, ogni combinazione
lineare delle due è ancora una soluzione:
7
Vediamo il significato delle due componenti
:
i.e. la
è autofunzione dell’ operatore impulso con
autovalore
: la particella si muove nella direzione pos. dell’
asse x con quantità di moto
.
Analogamente:
i.e. la
autovalore
è autofunzione dell’ operatore impulso con
: il moto avviene con quantità di moto
(direzione negativa di x).
8
PARTICELLA LIBERA:
Ogni valore positivo di E è lecito e non si ha quantizzazione dell’
energia.
9
MOTO LINEARE:
LA PARTICELLA NELLA SCATOLA IN UNA DIMENSIONE
Energia potenziale
Particella di massa m libera di muoversi lungo l’ asse x, sottoposta ad un’
energia potenziale così definita:
Pertanto al di fuori del segmento [0, L] si ergono “pareti” impenetrabili e la
particella non può uscire dal segmento:
ψ(x) = 0 se x < 0 o se x > L.
10
Dentro la scatola siamo nel caso precedente (particella libera):
con
Per essere fisicamente accettabile, la
deve essere CONTINUA in
tutti i punti dell’ asse x; poiché per x < 0 e x > a
,allora:
CONDIZIONI AL CONTORNO
1
2
11
1)
2)
con n numero intero
Essendo:
e la funzione d’ onda è:
Imponendo la condizione di normalizzazione, posso calcolare infine la
costante An:
con n = 1, 2, 3, … 12
con n = 1, 2, 3, …
- il valore n = 0 non è accettabile;
- i valori negativi di n non sono accettabili;
- n = 1 → valore + basso dell’ energia → stato fondamentale del sistema:
(solo energia cinetica) non c’è possibilità per il sistema di stare in quiete.
- n = 2 → primo stato eccitato del sistema (1 nodo per x = a/2)
13
Funzioni d’ onda per la particella nella scatola con a = 4
14
PARTICELLA NELLA SCATOLA:
La particella è confinata dentro la scatola (fuori delle pareti la funzione d’
onda si annulla): la sua energia è quantizzata e le condizioni al contorno
determinano le energie permesse.
La quantizzazione NON è una conseguenza
Schrödinger, ma delle condizioni al contorno.
dell’equazione
di
Di fatto, in MQ si ha quantizzazione quando il moto è limitato nello
spazio.
15
Valor medio per la posizione della particella nella scatola:
La posizione media <x> è sempre a metà della scatola,
indipendentemente da n.
16
EFFETTO TUNNEL: GRADINO DI POTENZIALE
Particella di massa m ed energia E che si muove con un’ energia
potenziale “a gradino”:
E>V0
E<V0
Meccanica classica: se la particella, che immaginiamo provenire da
sinistra verso destra, ha energia E<V0, non passa aldilà del gradino e
viene rimbalzata indietro; se E ≥ V0, la particella passa interamente a
destra con energia cinetica E−V0.
17
Meccanica quantistica:
1. E<V0
Data la discontinuità del potenziale, è conveniente risolvere l’ eq. dI Sch.
in due regioni I (x≤0), II (x>0) separatamente:
1)
2)
Per x≤0, siamo nel caso precedente:
3)
(N.B.: come per la particella libera, E può assumere qualunque valore,
purchè >0: spettro continuo).
18
Per x>0 invece avremo soluzioni del tipo:
4)
Infatti dalla 2):
0
ponendo:
0
si ottengono le soluzioni del tipo 4) (i.e. la soluzione è data da esponenti
reali nel caso E<V0 ).
Per determinare le 4 costanti A, B, C, D, imponiamo le CONDIZIONI AL
CONTORNO:
Essendo ψ(x) finito per x →∞, nella 4) dobbiamo imporre D = 0.
Inoltre
x=0:
e la sua derivata
devono essere continue nel punto “di raccordo”
19
5)
6)
Risolvendo:
si ottiene quindi:
ovvero: per x< 0 la funzione d’ onda è composta da una componente che
rappresenta la particella incidente con impulso
e da una seconda
componente che rappresenta la particella riflessa con impulso . 20
Inoltre, la funzione la funzione d’onda è diversa da zero per x ≥ 0, nella
zona classicamente inaccessibile!
In questa zona la funzione d’onda non è + un’ onda progressiva, ma
decade a zero in maniera esponenziale e il decadimento è tanto più rapido
quanto più grande è χ.
→ EFFETTO TUNNEL
Effetto tunnel per un elettrone: in unità atomiche di energia, V0 = 4, E=3.
21
2. E ≥ V0
Abbiamo quattro coefficienti da determinare (A,B,C,D) con non più di tre
condizioni (le due condizioni di continuità e la normalizzazione): un
coefficiente risulta indeterminato e verrà fissato dalla situazione
sperimentale. Ad es., assumendo che la particella provenga dall’estrema
sinistra (da x = −∞), dovremo necessariamente assumere D = 0, (non
potrà esistere alcuna componente di una particella che provenga
dall’estrema destra).
22
si ottiene quindi:
effetto antitunnel: esiste un’ onda riflessa; c’è una probabilità che la
particella venga riflessa anche se essa ha una energia sufficiente per
superare il gradino.
Se consideriamo il rapporto fra il coefficiente dell’ onda riflessa (B) e
quello dell’ onda incidente (A):
si vede che se E>>V0, tale rapporto tende a zero e l’ onda passa
interamente oltre il gradino.
23
EFFETTO TUNNEL: BARRIERA DI POTENZIALE
Particella di massa m ed energia E che incontra una barriera finita di
potenziale:
zona I
zona III
zona II
L
L
24
1. E<V0 particella che da −∞ si propaga verso destra.
Risolviamo l’ eq. di Sch. per le tre regioni separatamente:
1)
2)
3)
con
Ora determiniamo i coefficienti, applicando le condizioni al contorno:
C’ = 0
5 coefficienti da determinare con 5 condizioni: continuità della funzione
d’onda e della sua derivata nei due punti x=0 e x=L + condizione di
25
normalizzazione.
per x=0
per x=L
26
Quindi sostituendo in A:
Con cosh e senh coseno e seno iperbolico:
27
=
coefficiente di trasmissione:
identifica quanta parte della particella incidente viene trasmessa aldilà
della barriera
Sostituendo
(<1):
• Naturalmente, dal punto di vista classico, nessuna trasmissione è
possibile, poichè all’interno della barriera l’energia cinetica risulta negativa:
classicamente, la particella viene interamente riflessa.
• In Meccanica Quantistica si ha qui un’altra manifestazione dell’ effetto
tunnel : una parte dell’onda incidente viene sempre trasmessa aldilà della
barriera e l’effetto è tanto più marcato :
a) quanto più piccola è la massa
b) quanto più grande è l’energia E.
28
E<V0
zona I
V0
E
zona III
zona II
Effetto tunnel per un elettrone: in unità atomiche di energia, V0 = 8, E=7.
29
La lunghezza della barriera è L=2.
Simulazione della funzione d’ onda per la particella che attraversa la
barriera di potenziale:
http://phys.educ.ksu.edu/vqm/html/qtunneling.html
30
31
2.E>V0 particella che da −∞ si propaga verso destra.
Risolviamo l’ eq. di Sch. per le tre regioni separatamente (per la zona I e
II sono nel caso precedente; cambia la funzione d’ onda per la zona II):
con
=
coefficiente di trasmissione:
identifica quanta parte della particella incidente viene trasmessa aldilà
della barriera:
N.B.: stavolta
>1.
32
Il coefficiente di trasmissione T per un elettrone incidente in una barriera di
potenziale:
in unità atomiche di energia, V0 = 8. La lunghezza della barriera è L=2.
E>V0
E<V0
Andamento ad oscillazioni smorzate
di T( manifestazione dell’effetto
antitunnel: esiste un’ onda riflessa
anche quando l’ en. è > dell’ altezza
della barriera).
33
34
PARTICELLA NELLA BUCA DI POTENZIALE
L
L
L’equazione di Schröedinger si può risolvere nelle tre regioni determinate
dalle caratteristiche del potenziale applicando le condizioni di continuità
alle autofunzioni ed alle loro derivate prime in x=0 ed in x=L.
Distingueremo il caso E > V0 e quello E < V0.
Il caso E > V0 è del tutto simile a quello della particella che incontra una
barriera di potenziale (con l’altezza della barriera negativa).
35
Il caso E < V0 invece porta alla possibilità di STATI LEGATI, ovvero di
stati in cui la particella risiede in una zona confinata dello spazio.
Più tecnicamente, uno stato legato è descritto da una funzione d’onda che
tende a zero per grandi valori di x.
Zona I (i.e. all’ interno della buca, con V=0): particella libera
Zona II (i.e. fuori della buca con potenziale V0): la ψ ha un andamento di
tipo esponenziale, perché deve tendere z zero all’ aumentare di x fuori
della barriera.
36
Applicando le condizioni di continuità della funzione d’ onda e della sua
derivata in 0 ed L, ottengo le soluzioni (per via grafica).
Si vede che esistono soluzioni SOLO per valori particolari dell’ energia E:
quantizzazione dell’ energia.
Osserviamo che la funzione d’ onda non si annulla sulle pareti (come per
la particella nella scatola): si ha una probabilità non nulla di penetrazione
da parte della particella nella barriera di potenziale.
Si verifica che per V0 →∞, ritorno al caso della particella nella scatola!
37
Confronto fra la particella nella scatola e la particella nella buca di
potenziale finito:
Infiniti livelli
Livelli in numero finito
ψ nulla sulle pareti
Il numero dei livelli dipende dalla
profondità della buca, ma esiste
almeno 1 livello.
ψ simile come forma, ma penetra38
nelle pareti.
VIBRAZIONE: LA PARTICELLA IN UNA SCATOLA
PARABOLICA
(OSCILLATORE ARMONICO)
Particella di massa m in moto lungo una linea retta, soggetta ad una forza
di richiamo F = kx.
F = (dV/dx)
→
V = ½ kx2
Classicamente, l’ equazione del moto è:
con soluzioni:
con a e t0 costanti determinate dalle condizioni iniziali;
frequenza angolare (ω = ν)
39
Quantisticamente:
Autovalori:
Autofunzioni:
con Cv costante di normalizzazione e Hv(y) Polinomio di Hermite.
40
41