L’equazione di Schroedinger
a cura di Flavio Cimolin
(ultimo aggiornamento: 11/04/2004)
La meccanica quantistica è il regno dell'indeterminazione, cioè dell'impossibilità di determinare
contemporaneamente sia la posizione che la velocità di una particella (ad esempio un elettrone).
Benché essa una disciplina fisica, rivolta cioè allo studio della realtà, seppur microscopica, che ci
circonda, la meccanica quantistica è dominata dalla matematica, in una maniera estremamente
differente da qualsiasi altro ambito della fisica. L'equazione d'onda di Schroedinger, un'equazione
differenziale alle derivate parziali, ne è l'esempio più ecclatante:
Essa permette di calcolare, in un qualunque campo di energia potenziale U(x,y,z,t), quella che è
chiamata la funzione d'onda Ψ(x,y,z,t). Che cos'è la funzione d'onda di una particella? Non è
proprio nulla, non ha alcun significato fisico, si tratta solo di un oggetto puramente matematico
avente le stesse caratteristiche di un'onda (frequenza e numero d'onda) per mezzo del quale è
possibile identificare la particella. L'unica cosa che è possibile dimostrare è che il suo modulo
elevato al quadrato |Ψ
Ψ|2 è proporzionale alla probabilità di trovare la particella in un determinato
punto ed in un certo istante di tempo. Non essendo possibile determinare esattamente la posizione di
una particella, l'equazione di Schroedingher dice invece dove è più probabile trovarla e dove è
meno probabile: abbiamo cioè una distribuzione di probabilità. Il principio di indeterminazione di
Heisenberg "peggiora" ulteriormente le cose, affermando che tanto più è precisa l'informazione
sulla velocità (cioè sulla quantità di moto) di una particella, tanto meno è precisa quella sulla
localizzazione. Non c'è dunque nessuna speranza di sapere tutto su di una particella elementare, ci
scapperà sempre qualcosa!
Un'ultima curiosità: si parla di "equazione d'onda" perchè la struttura dell'operatore differenziale è
quella tipica dei fenomeni ondulatori che si studiano in fisica. Ma allora le particelle fondamentali,
come ad esempio gli elettroni, sono particelle, come si suole chiamarle, oppure onde? Neppure per
questa semplice domanda c'è una risposta univoca, in quanto in un certo senso le particelle sono
entrambe le cose! Esistono noti esperimenti in cui esse si dimostrano essere entità materiali, dotate
di massa, e dunque "numerabili", ma anche tanti altri (come la diffrazione e l'interferenza) che
possono essere spiegati solo ipotizzando che la loro natura sia ondulatoria. Questa stranezza, che
governa tutto il mondo dell'infinitamente piccolo, è la base della meccanica quantistica, ed è
tutt'altro che un vagheggiamento teorico dei fisici, dato che solo grazie a queste conoscenze è stato
possibile il grande boom di apparecchi tecnologici di piccole dimensioni che hanno invaso il nostro
mondo. Praticamente tutti i dispositivi elettronici a semiconduttore funzionano in accordo con le
regole dettate dall'indeterminatezza la meccanica quantistica! E certi fenomeni fisici... si spiegano
http://www.matematicamente.it
Flavio Cimolin – L’equazione di Schroedinger
solo con la matematica, risolvendo l'equazione di Schroedinger ed accettando i risultati che ne
scaturiscono...
In ultimo, una precisazione per chi si sia spaventato dal triangolino rovesciato elevato al quadrato
presente nell'equazione... Non è un simbolo alieno, ma solo una notazione abbreviata dell'operatore
differenziale chiamato "laplaciano", che per esteso si scrive:
2
http://www.matematicamente.it
