L`equazione di Schroedinger
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L’equazione di Schroedinger a cura di Flavio Cimolin (ultimo aggiornamento: 11/04/2004) La meccanica quantistica è il regno dell'indeterminazione, cioè dell'impossibilità di determinare contemporaneamente sia la posizione che la velocità di una particella (ad esempio un elettrone). Benché essa una disciplina fisica, rivolta cioè allo studio della realtà, seppur microscopica, che ci circonda, la meccanica quantistica è dominata dalla matematica, in una maniera estremamente differente da qualsiasi altro ambito della fisica. L'equazione d'onda di Schroedinger, un'equazione differenziale alle derivate parziali, ne è l'esempio più ecclatante: Essa permette di calcolare, in un qualunque campo di energia potenziale U(x,y,z,t), quella che è chiamata la funzione d'onda Ψ(x,y,z,t). Che cos'è la funzione d'onda di una particella? Non è proprio nulla, non ha alcun significato fisico, si tratta solo di un oggetto puramente matematico avente le stesse caratteristiche di un'onda (frequenza e numero d'onda) per mezzo del quale è possibile identificare la particella. L'unica cosa che è possibile dimostrare è che il suo modulo elevato al quadrato |Ψ Ψ|2 è proporzionale alla probabilità di trovare la particella in un determinato punto ed in un certo istante di tempo. Non essendo possibile determinare esattamente la posizione di una particella, l'equazione di Schroedingher dice invece dove è più probabile trovarla e dove è meno probabile: abbiamo cioè una distribuzione di probabilità. Il principio di indeterminazione di Heisenberg "peggiora" ulteriormente le cose, affermando che tanto più è precisa l'informazione sulla velocità (cioè sulla quantità di moto) di una particella, tanto meno è precisa quella sulla localizzazione. Non c'è dunque nessuna speranza di sapere tutto su di una particella elementare, ci scapperà sempre qualcosa! Un'ultima curiosità: si parla di "equazione d'onda" perchè la struttura dell'operatore differenziale è quella tipica dei fenomeni ondulatori che si studiano in fisica. Ma allora le particelle fondamentali, come ad esempio gli elettroni, sono particelle, come si suole chiamarle, oppure onde? Neppure per questa semplice domanda c'è una risposta univoca, in quanto in un certo senso le particelle sono entrambe le cose! Esistono noti esperimenti in cui esse si dimostrano essere entità materiali, dotate di massa, e dunque "numerabili", ma anche tanti altri (come la diffrazione e l'interferenza) che possono essere spiegati solo ipotizzando che la loro natura sia ondulatoria. Questa stranezza, che governa tutto il mondo dell'infinitamente piccolo, è la base della meccanica quantistica, ed è tutt'altro che un vagheggiamento teorico dei fisici, dato che solo grazie a queste conoscenze è stato possibile il grande boom di apparecchi tecnologici di piccole dimensioni che hanno invaso il nostro mondo. Praticamente tutti i dispositivi elettronici a semiconduttore funzionano in accordo con le regole dettate dall'indeterminatezza la meccanica quantistica! E certi fenomeni fisici... si spiegano http://www.matematicamente.it Flavio Cimolin – L’equazione di Schroedinger solo con la matematica, risolvendo l'equazione di Schroedinger ed accettando i risultati che ne scaturiscono... In ultimo, una precisazione per chi si sia spaventato dal triangolino rovesciato elevato al quadrato presente nell'equazione... Non è un simbolo alieno, ma solo una notazione abbreviata dell'operatore differenziale chiamato "laplaciano", che per esteso si scrive: 2 http://www.matematicamente.it
