Valori discreti dell`energia

Valori discreti dell’energia
Particella in una “scatola”
• Il segmento ha ora lunghezza L che non tende
all’infinito
• La particella è “costretta” all’interno del
segmento
• La sua posizione non è più totalmente
indeterminata
• Ci aspettiamo una certa indeterminazione
nella quantità di moto (e nell’energia)
Analogia con la corda vibrante
• Agli estremi del segmento la funzione d’onda
deve essere nulla (la particella non può uscire)
• L’onda che procede verso destra viene riflessa
capovolta (segno meno)
• L’onda risultante è la sovrapposizione
dell’onda diretta e di quella riflessa
Funzione d’onda stazionaria
 x, t   Ae
 2iAe
 i  Et  px 
iEt
 2iAe
e


iEt
ipx
e
e
2i
 i  Et  px 
 ipx
sin  px 




Condizioni agli estremi
• Imponiamo che la funzione d’onda sia nulla
agli estremi del segmento.
• Basta un solo estremo, per la simmetria
L 
 L
iEt
  , t   2iAe sin  p   0
2 
 2
L
p  n
2
2
p
n
L
Livelli energetici discreti
• L’energia è legata alla quantità di moto
(riscrivo la costante di Planck)
h
pn  n
L
2
n
2
p
h
2
En 

n
2
2m 2mL
Scatole di lunghezza crescente
50
40
Energia
30
20
10
0
• I livelli si estendono indefinitamente. La
particella non esce
Densità di probabilità
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2
2
1.5
1
0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.4
0.6
0.8
1
Caso del fotone tra due specchi
• Calcolo identico fino alla quantità di moto
h
pn  n
L
• Livelli energetici equidistanziati
hc
En  cpn 
n
L
Atomo di idrogeno
• L’elettrone è “costretto” in uno spazio angusto
per l’attrazione coulombiana
• I livelli energetici e le funzioni d’onda si
ottengono risolvendo l’equazione di
Schroedinger
• Livelli discreti dell’energia
R
En   2
R  13,6eV
n
Distribuzioni di probabilità radiali