PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA B

PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA B
17 dicembre 2007 - A.A. 2007/2008
Prof. S. Polidoro - Dott. G. P. Leonardi
Cognome: ........................................
Nome: ..............................................
Corso di Laurea: ............................
Gli esercizi contrassegnati con
∗
corrispondono alla seconda prova parziale.
1) Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy:
y0 = y + y2,
y(0) = 1.
2) Disegnare l’insieme
A = (x, y) ∈ R2 | x2 + 4y 2 ≤ 4 ,
e determinare massimi e minimi assoluti di f (x, y) = x + y + 3 su A.
2y
2+x+y 2
3) Dopo aver determinato l’insieme di definizione del campo F = 1+x+y
,
2 1+x+y 2 ,
si stabilisca se è conservativo e, in tal caso, se ne determini un potenziale.
4)
∗
Trovare e classificare i punti critici della funzione
f (x, y) = ex+y x2 − xy + y 2 .
5)
∗
Dato Aε = {(x, y, z) ∈ R3 | ε2 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}, calcolare
Z
x2 + y 2
dx dy dz
2
2
2 2
Aε (x + y + z )
e stabilire se esiste il limite per ε → 0.
6)
∗
Calcolare l’area della superficie S parametrizzata da
φ(u, v) = (u + v, 2v, 3u − v) con u2 + v 2 ≤ 4u + 2v.
PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA B
17 dicembre 2007 - A.A. 2007/2008
Prof. S. Polidoro - Dott. G. P. Leonardi
Cognome: ........................................
Nome: ..............................................
Corso di Laurea: ............................
Gli esercizi contrassegnati con
∗
corrispondono alla seconda prova parziale.
1) Determinare la soluzione generale della seguente equazione differenziale:
y 00 − 4y = xe2x .
2) Disegnare l’insieme
A = (x, y) ∈ R2 | x2 + 4y 2 ≤ 4 ,
e determinare massimi e minimi assoluti di f (x, y) = x − y − 4 su A.
3) Si calcoli il lavoro del campo F = (ex+2 , x − y), lungo l’arco di parabola
di equazione x = y 2 , dal punto (1, −1) al punto (1, 1).
4)
∗
Trovare e classificare i punti critici della funzione
f (x, y) = ex−y x2 + xy + y 2 .
5)
∗
Dato AR = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ R2 , xy ≥ 0}, calcolare
Z
x2 y 2
dx dy
2
2 3
AR 1 + (x + y )
e stabilire se il limite per R → ∞ è finito.
6)
∗
Calcolare l’area della superficie S parametrizzata da
φ(u, v) = (1 + u, v + 2u, 1 − v) con u, v ≥ 0 e tali che u + v ≤ 2.
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17 dicembre 2007 - A.A. 2007/2008
Prof. S. Polidoro - Dott. G. P. Leonardi
Cognome: ........................................
Nome: ..............................................
Corso di Laurea: ............................
Gli esercizi contrassegnati con
∗
corrispondono alla seconda prova parziale.
1) Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy:
√
y
0
√
y =
, y(0) = 1.
t+1
2) Disegnare l’insieme
A = (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 2(x + y) + 2 ,
e determinare massimi e minimi assoluti di f (x, y) = x + y + 3 su A.
2 +y 2 )
−2y
è conservativo e, in tal
3) Stabilire se il campo F = 2x(x
,
1+x2 +y 2 1+x2 +y 2
caso, se ne determini un potenziale.
4)
∗
Trovare e classificare i punti critici della funzione
f (x, y) = ex+y x2 − xy .
5)
∗
Dato A =
o
n
p
(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, x2 + y 2 ≥ z − 1 , de-
terminare gli insiemi Az e Πz (A) nella formula
Z
Z
Z
f (x, y, z)dx dy dz =
f (x, y, z)dx dy dz.
A
6)
∗
Πz (A)
Az
Calcolare l’area della superficie S parametrizzata da
φ(u, v) = (u + v, 2v, 2u − v) con max {|u|, 2|v|} ≤ 4.
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17 dicembre 2007 - A.A. 2007/2008
Prof. S. Polidoro - Dott. G. P. Leonardi
Cognome: ........................................
Nome: ..............................................
Corso di Laurea: ............................
Gli esercizi contrassegnati con
∗
corrispondono alla seconda prova parziale.
1) Determinare la soluzione generale della seguente equazione differenziale:
4y 00 + 4y 0 + y = 2x.
2) Disegnare l’insieme
A = (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 2(x + y) + 2 ,
e determinare massimi e minimi assoluti di f (x, y) = x − y − 4 su A.
3) Si calcoli il lavoro del campo F = (x3 , xy), lungo l’arco di iperbole di
equazione x2 = y 2 + 5, dal punto (3, −2) al punto (3, 2).
4)
∗
Trovare e classificare i punti critici della funzione
f (x, y) = ex−y x2 + xy .
5)
∗
Dato A = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≤ 4, x2 + z 2 ≤ 4x}, determinare
gli insiemi Axy e Πxy (A) nella formula
Z
Z
f (x, y, z)dx dy dz =
A
6)
∗
!
Z
f (x, y, z)dz
Πxy (A)
Axy
Calcolare l’area della superficie S parametrizzata da
φ(u, v) = (u + 2v, 4v, 3u − v) con |u| + 2|v| ≤ 4.
dx dy.