PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA B

PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA B
6 dicembre 2007 - A.A. 2007/2008
Prof. S. Polidoro - Dott. G. P. Leonardi
Cognome: ........................................
Nome: ..............................................
Corso di Laurea: ............................
Gli esercizi contrassegnati con
∗
corrispondono alla seconda prova parziale.
1) Determinare la soluzione generale della seguente equazione differenziale:
y 00 + 4y = sin(2x).
2) Determinare i punti di massimo e di minimo della funzione f : A → R,
con
A = (x, y) ∈ R2 | |x| + |y| ≤ 1 ,
f (x, y) = ex
2
x2 − 2xy + y 2 .
3) Dato F = (x2 + 2y, 2x − 2y), si valuti se F è un campo conservativo,
quindi si calcoli il lavoro del campo lungo l’arco di ellisse parametrizzato
da γ(t) = (2 cos t, 3 sin t), t ∈ [0, π].
4)
∗
Trovare e classificare i punti critici della funzione
2
f (x, y) = ex x2 − 2xy + y 2 .
5)
∗
Dato Aε = {(x, y) ∈ R2 | ε2 ≤ x2 + y 2 ≤ 1, xy ≥ 0}, calcolare
Z
xy
dx dy
2
2 2
Aε (x + y )
e stabilire se esiste il limite per ε → 0.
6)
∗
Dato A = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 }, valutare il termine hF, ni
(n normale esterna) nella formula

Z
hF (x, y, z), n(x, y, z)ids(x, y, z),
Fr(A)
e calcolare l’integrale.
x

 

F (x, y, z) = 
 y 
z
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Corso di Laurea: ............................
Gli esercizi contrassegnati con
∗
corrispondono alla seconda prova parziale.
1) Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy:
2
y 0 = 2ty + 2tet ,
y(0) = 1.
2) Determinare i punti di massimo e di minimo della funzione f : A → R,
con
A = (x, y) ∈ R2 | max(|x|, |y|) ≤ 1 ,
f (x, y) = ex
2
x2 + 4xy + 4y 2 .
3) Dato F = (4x3 − 3xy 2 , 2 − 3y 2 − 6xy), si valuti se F è un campo conservativo, quindi si calcoli il lavoro del campo lungo l’arco di iperbole
parametrizzato da γ(t) = (et + e−t , et − e−t ), t ∈ [−1, 1].
4)
∗
Trovare e classificare i punti critici della funzione
2
f (x, y) = ex x2 + 4xy + 4y 2 .
5)
∗
Dato Aε = {(x, y, z) ∈ R3 | ε2 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}, calcolare
Z
1
β dx dy dz
Aε (x2 + y 2 + z 2 ) 2
e stabilire per quali β > 0 esiste il limite per ε → 0.
6)
∗
Dato ϕ : A → R, A = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ R2 } , ϕ(x, y) =
p
valutare il termine 1 + k∇ϕ(x, y)k2 nella formula
Z p
1 + k∇ϕ(x, y)k2 dx dy
A
e calcolare l’integrale.
p
R 2 − x2 − y 2 ,
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6 dicembre 2007 - A.A. 2007/2008
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Nome: ..............................................
Corso di Laurea: ............................
Gli esercizi contrassegnati con
∗
corrispondono alla seconda prova parziale.
1) Determinare la soluzione generale della seguente equazione differenziale:
y 00 + y 0 = x.
2) Determinare i punti di massimo e di minimo della funzione f : A → R,
con
A = (x, y) ∈ R2 | |x| + |y| ≤ 2 ,
3) Dato F =
3
x
, 2y
1+x2 +y 4 1+x2 +y 4
f (x, y) = e−y
2
x2 − xy + y 2 .
, si valuti se F è un campo conservativo e,
in tal caso, se ne determini un potenziale.
4)
∗
Trovare e classificare i punti critici della funzione
f (x, y) = e−y
5)
∗
2
x2 − xy + y 2 .
Dato A = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≤ 2, x2 + z 2 ≤ y, }, determinare
gli insiemi Ay e Πy (A) nella formula
Z
Z
f (x, y, z)dx dy dz =
A
6)
∗
Calcolare
Πy (A)
R
M
!
Z
f (x, y, z)dx dz
dy.
Ay
z 2 ds(x, y, z), dove M = Φ([0, 2π[×[0, 2π[), 0 < r < R e


(R + r cos(t)) cos(s)



Φ(s, t) =  (R + r cos(t)) sin(s) 
.
r sin(t)
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Gli esercizi contrassegnati con
∗
corrispondono alla seconda prova parziale.
1) Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy:
et
y =y+
,
1 + t2
0
y(0) = 0.
2) Determinare i punti di massimo e di minimo della funzione f : A → R,
con
f (x, y) = e−y
A = (x, y) ∈ R2 | max(|x|, |y|) ≤ 2 ,
3) Dato F =
2x+y
x+2y
,
1+x2 +xy+y 2 1+x2 +xy+y 2
2
x2 + xy .
, si valuti se F è un campo conserva-
tivo e, in tal caso, se ne determini un potenziale.
4)
∗
Trovare e classificare i punti critici della funzione
2
f (x, y) = e−y x2 + xy .
5)
∗
Dato A = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 ≤ y 2 + z 2 , x ≥ y 2 + z 2 − 2}, determinare
gli insiemi Ax e Πx (A) nella formula
Z
Z
Z
f (x, y, z)dx dy dz =
A
6)
∗
Calcolare
Πx (A)
R
M
f (x, y, z)dy dz dx.
Ax
z 2 ds(x, y, z), dove M = Φ([0, 2π[× − π2 , π2 ) e


R cos(t) cos(s)


.
Φ(s, t) = 
R
cos(t)
sin(s)


R sin(t)