PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA III - 24/06/04
C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Prof. Kevin R. Payne
Esercizio 1.
a. Enunciare il Teorema di Dini delle funzioni implicite per funzioni Φ : A ⊂ R2 × R → R.
b. Sia Γ = Φ−1 (0) l’insieme di livello dove Φ(x, y, z) = xyz 2 − 2. Verificare che Γ definisce
localmente una superficie regolare. Determinare se Γ è limitato.
c. Trovare la distanza minima da Γ definita in parte b alle origine. Suggerimento: Minimizzare
la funzione f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 su Γ.
Esercizio 2.
a. Dare la definizione di curva rettificabile e lunghezza di una curva parametrizzata in R3 e discutere brevemente la dipendenza del concetto di lunghezza sulla orientazione e parametrizzazione data ϕ.
b. Sia ϕ(t) = (ρ(t) cos (θ(t)), ρ(t) sin (θ(t)), z(t)), t ∈ [0, 2π] una curva in coordinate cilindriche.
Trovare la formula integrale che calcola la lunghezza del suo sostegno γ. Quale ipotesi su ρ(t)
e θ(t) guarantisce che è ben definto la lunghezza?
c. Calcolare la lunghezza della spirale conica dove (ρ(t), θ(t), z(t)) = (t, t, t) per t ∈ [0, 2π].
Esercizio 3.
a. Sia Σ il sostegno della superficie parametrizzata da Φ(u, v) = (u cos v, u sin v, v) con (u, v) ∈
D = [1, 2] × [0, π/2]. Verificare che Φ è una superficie Stokiana, trovare l’equazione del piano
tangente nel punto Φ(3/2, π/4), e calcolare l’area di Σ.
b. Sia ω : A ⊂ R3 → (R3 )∗ una forma differenziale lineare. Dare le definizioni di forma esatta e
forma chiusa e discutere brevemente il legame fra questi due concetti.
c. Sia ω la forma differenziale ω = z 2 dx +R2x dy + 2xz dz. Questa forma è esatta in un intorno
del sostegno Σ della parte a? Calcolare γ ω dove γ è il bordo di Σ.
Esercizio 4.
p
a. Sia Ω = {(x, y, z) ∈ R3 : 2 x2 + y 2 ≤ z ≤ 1 + x2 + y 2 }. Verificare che Ω è misurabile secondo
Peano-Jordan e calcolare il suo volume.
b. Verificare che l’insieme Ω definito nella parte a è ammissible per il teorema della divergenza.
Calcolare poi il flusso uscente dal bordo di Ω del campo F (x, y, z) = (z, x2 y, y 2 z).
c. Siano u, v ∈ C 2 (Ω) con Ω ammisibile per il teorema della divergenza. Mostrare l’identità di
Green
ZZZ
ZZ
(u∆v − v∆u) dxdydz =
hu∇v − v∇u, νi dσ
Ω
∂Ω
dove ∆u = div(∇u) è il laplaciano di u, ν è il versore normale esterno, e dσ è l’elemento
d’area.
N.B.1 È concessa TRE ORE per la risoluzione degli esercizi e NON è concesso l’uso di libri di
testo, appunti ed eserciziari.
N.B.2 Potrebbe essere utile la formula
Z p
i
p
1h p 2
x2 + a2 dx =
x x + a2 + a2 ln (x + x2 + a2 ) + C
2
