Sulle osservabili compatibili ....
Due operatori hermitiani  e Ĉ commutano ([Â,Ĉ]=0) sse
possiedono
un sonc di autovettori comuni:
!
Âφrs(x)=arφrs(x);
Ĉφrs(x)=csφrs(x); dove r ed s sono indici interi.
Vediamo perchè è importante con un esempio significativo
...
L’operatore momento angolare in 3D
L= r x p
Lx=ypz-zpy
Ly=zpx-xpz
Lz=xpy-ypx
Meccanica classica
L’operatore momento angolare in 3D
L= r x p
Lx=ypz-zpy
Ly=zpx-xpz
Lz=xpy-ypx
pxi =-i
xi
Meccanica quantistica
i=1,2,3; x1=x, x2=y, x3=z
Ovviamente
[xi,pxj]=i δij
Se f=f(x,y,z), [x,pz]f(x,y,z)=xpzf(x,y,z)-pzxf(x,y,z)
!
=xpzf(x,y,z)-xpzf(x,y,z)=0
[Lx,Ly]=[(ypz-zpy),(zpx-xpz)]
Oss:
[A-B,C-D]= [A-B,C]-[A-B,D] =(A-B)C-C(A-B)-(A-B)D+D(A-B)
=[A,C]-[B,C]-[A,D]+[B,D]
[Lx,Ly]=[(ypz-zpy),(zpx-xpz)]
[A-B,C-D]=[A,C]-[B,C]-[A,D]+[B,D]
[Lx,Ly]=[ypz,zpx]+[zpy,xpz]
Evito un po’ i
[Lx,Ly]=[(ypz-zpy),(zpx-xpz)]
[A-B,C-D]=[A,C]-[B,C]-[A,D]+[B,D]
[Lx,Ly]=[ypz,zpx]-[zpy,zpx]-[ypz,xpz]+ [zpy,xpz]
=0
[Lx,Ly]=[ypz,zpx]+[zpy,xpz]
=0
[Lx,Ly]=[ypz,zpx]+[zpy,xpz]= ypzzpx-zpxypz+zpyxpz-xpzzpy
= ypxpzz-ypxzpz+pyxzpz-xpypzz
=ypx[pz,z]+xpy[z,pz]
[xi,pxj]=i δij
[Lx,Ly]=i [-ypx+xpy]
Ripetendo per le altre combinazioni ...
Regole di commutazione per l’operatore momento angolare
[Lx,Ly]=i Lz
[Lz,Lx]=i Ly
[Ly,Lz]=i Lx
Le componenti del momento angolare sono osservabili
incompatibili tra di loro. Però ....
2
L=
2
2
2
Lx+Ly+Lz
Operatore modulo quadro del momento
angolare.
2
2
2
2
[L,Lx]=[Lx,Lx]+[Ly,Lx]+[Lz,Lx]
Sfrutto
[Lx,Ly]=i Lz= LxLy-LyLx
[LyLy,Lx]= LyLyLx-LxLyLy=LyLyLx-i LzLy-LyLxLy
[LyLy,Lx]= Ly[Ly,Lx] -i LzLy=-i (LyLz+LzLy)
2
L=
2
2
2
2
Lx+Ly+Lz
Operatore modulo quadro del momento
angolare.
2
2
2
[L,Lx]=[Lx,Lx]+[Ly,Lx]+[Lz,Lx]
[LyLy,Lx]= -i (LyLz+LzLy)
[LzLz,Lx]= LzLzLx-LxLzLz=
Sfrutto
[Lz,Lx]=i Ly= LzLx-LxLz
[LzLz,Lx]= LzLzLx-LxLzLz= LzLzLx-LzLxLz+i LyLz
=Lz[Lz,Lx]+i LyLz=+i (LyLz+LzLy)➞
2
[L,Lx]=0 parimenti si dimostra
2
[L,Ly]=0
2
[L,Lz]=0
2➞
[L,L]=0 (sarebbe
meglio
2
➞
[L,L]=0
Meccanica classica:
Problemi a simmetria sferica: si conserva il momento angolare
Problemi a simmetria cilindrica: si conserva il momento lungo
l’asse del cilindro (z)
Meccanica quantistica, simmetria sferica: L2 e Lz (per esempio) sono
costanti del moto compatibili (commutano con Ĥ, come vedremo, e
tra di loro, come abbiamo vist).
Avranno pertanto autofunzioni comuni, che sfrutteremo
regolarmente per studiare sistemi con questa simmetria.
Meccanica quantistica, simmetria cilindrica: Lz è una costante del
moto. Sfrutteremo le sue autofunzioni per studiare sistemi con
questa simmetria.
!
Meccanica quantistica, simmetria sferica: L2 e Lz (per esempio) sono
costanti del moto compatibili (commutano con Ĥ, come vedremo, e
tra di loro, come abbiamo vist).
Avranno pertanto autofunzioni comuni, che sfrutteremo
regolarmente per studiare sistemi con questa simmetria.
Meccanica quantistica, simmetria cilindrica: Lz è una costante del
moto. Sfrutteremo le sue autofunzioni per studiare sistemi con
questa simmetria.
Ovviamente, in simmetria sferica avrà senso utilizzare coordinate
sferiche. Purtroppo le espressioni del momento angolare in sferica
non sono semplicissime. In simmetria cilindrica le cose vanno
meglio.
Lx=ypz-zpy
Ly=zpx-xpz
Lz=xpy-ypx
z
in coordinate cartesiane
x=rsin(θ)cos(φ)
P
O
y=rsin(θ)sin(φ)
θ
φ
y
z=rcos(θ)
r= x2+y2+z2
φ=atan(y/x)
θ=acos(z/r)
x
!
Lz =-i
2
L =z
[
2
φ
(
O
x
φ
]
1
1
sinθ
+
2
2
sinθ θ
θ sinθ φ
Dimostrazione NON richiesta
P
θ
)
2
per l’esame.
Epressione richiesta. Ma se
y
sapete risolvere l’eq. di
Schrödinger per l’atomo di
idrogeno è facile (lo vedremo).
Cerchiamo le autofunzioni
di
Lz =-i
φ
0≤φ≤2π
Lz f(φ)=λf(φ); f(0)=f(2π)
z
f(φ)=iλf(φ)/
φ
O
x
θ
φ
y
λφ/
i
f(φ)=Ae
f(φ)=eiλφ/ Aiλ/
φ
λφ/
i
f(φ)=Ae
;
f(0)=f(2π)
f(0)=A
λ2π/
i
f(2π)=Ae
=A➞
λ2π/
i
e
λ/
=cos(λ2π/ )+isin(λ2π/ )=1➞
=m; m=0,±1,±2,....;
2π
|A|2 dφ=1➞fm(φ)=
0
1 eimφ
2π
Lzfm(φ)=
mfm(φ)
2
L =-
[
2
(
2
)
]
1
1
sinθ
+ 2
2
sinθ
sinθ θ
φ
θ
2
LY(θ,φ)=λY(θ,φ)
-
[
2
(
)
2
]
1
1
sinθ
Y(θ,φ)=λY(θ,φ)
+ 2
2
sinθ θ
θ sinθ φ
Ricorda qualcosa?
Equazione agli autovalori per l’hamiltoniano di un
elettrone soggetto a un potenziale a simmetria sferica
(x es: atomo di idrogeno):
r2=x2+y2+z2
Ψ(x,y,z) +V(r)Ψ(x,y,z) =EΨ(x,y,z)
Per sfruttare la simmetria sferica del potenziale conviene
passare a coordinate sferiche
Laplaciano in sferiche (da sapere)
∇2=
1 ∂ r2 ∂
∂r
r2 ∂r
( )+
1
∂ sinθ ∂
r2sinθ ∂θ
∂θ
(
)+
2
1
∂
r2sin2θ ∂φ2
Equazione di Schrödinger in sferiche:
2
[
2m
1 ∂ r2 ∂
∂r
r2 ∂r
( )+
1
∂ sinθ ∂
r2sinθ ∂θ
∂θ
(
+V(r)Ψ(r,θ,φ)=EΨ(r,θ,φ)
Cerco di separare le variabili:
Ψ(r,θ,φ)=R(r)Y(θ,φ)≡RY
)+
2
]
1
∂
r2sin2θ ∂φ2
Ψ(r,θ,φ)+
Ψ(r,θ,φ)=R(r)Y(θ,φ)≡RY
2
[
2∂R
Y
∂
r
2m r2 ∂r
∂r
(
)+
R
∂ sinθ∂Y
r2sinθ ∂θ
∂θ
(
)+
2
]
R
∂ Y
r2sin2θ ∂φ2
-2m
+V(r)RY=ERY; Moltiplico ambo i membri per 2
YR
{
1 ∂ r2∂R
∂r
Rr2 ∂r
(
)
2
1
+Y
}
2m [V(r)-E]
-
1 ∂ sinθ∂Y
∂θ
sinθ∂θ
{
f(r)+g(θ,φ)=0➞f(r)=cost=-g(θ,φ)
(
)+
2
1
∂ Y
sin2θ ∂φ2
}=0
{
1 ∂ r2∂R
∂r
Rr2 ∂r
(
)
1
+Y
}
2m [V(r)-E]
2
1 ∂ sinθ∂Y
∂θ
sinθ∂θ
{
(
)+
f(r)+g(θ,φ)=0➞f(r)=cost=-g(θ,φ)
{
1 ∂ r2∂R
∂r
Rr2∂r
1
Y
(
)
} =C; poi viene fuori C=l(l+1)...
2m [V(r)-E]
2
1 ∂ sinθ∂Y
∂θ
sinθ∂θ
{
(
)+
2
1
∂ Y
2 =-C
2
sin θ ∂φ
}
2
1
∂ Y
sin2θ ∂φ2
}=0
1 ∂ sinθ ∂
∂θ
sinθ∂θ
(
{
)+
2
1
∂
sin2θ ∂φ2
}Y(θ,φ) =-l(l+1) Y(θ,φ); l=0,1,2...
e avete visto che questa ha come soluzioni le armoniche
sferiche Ylm(θ,φ)
Ehy, ma l’equazione agli autovalori per L2 era ...
-
2
1 ∂ sinθ ∂
∂θ
sinθ∂θ
{
(
)+
2
1
∂
sin2θ ∂φ2
}Y(θ,φ) =λY(θ,φ)
Le autofunzioni di L2 sono proprio le armoniche sferiche:
L2
Ylm
(θ,φ) =
2
l(l+1)Ylm (θ,φ)
Ylm (θ,φ) =(cost)l,meimφPlm(cosθ)
Plm(cosθ)=”funzioni associate di Legendre”
Oss: Lz (cost)l,meimφPlm(cosθ) = (cost)l,mPlm(cosθ)Lzeimφ
da cui
Lz Ylm (θ,φ)= m Ylm (θ,φ)
Giusto! Lz e L2 sono osservabili che commutano,
dovevano avere autofunzioni comuni. Ortonormalità:
π
0
0
2π
*m
Yl (θ,φ) Yl’
m’
(θ,φ) sinθdθdφ=δm,m’δl,l’
Equazione di Schrödinger in sferiche:
2
[
2m
1 ∂ r2 ∂
∂r
r2 ∂r
( )+
1
∂ sinθ ∂
r2sinθ ∂θ
∂θ
(
)+
2
]
1
∂
r2sin2θ ∂φ2
Ψ(r,θ,φ)+
+V(r)Ψ(r,θ,φ)=EΨ(r,θ,φ)
[
1
2
2mr
r2 ∂
∂r
∂r
∂
2
( )+
∂ sinθ ∂
- 2
sinθ ∂θ
∂θ
+V(r)Ψ(r,θ,φ)=EΨ(r,θ,φ)
(
)+
]
2
- 2
∂
sin2θ ∂φ2
Ψ(r,θ,φ)+
Equazione di Schrödinger in sferiche:
2
[
2m
1 ∂ r2 ∂
∂r
r2 ∂r
( )+
1
∂ sinθ ∂
r2sinθ ∂θ
∂θ
(
)+
2
]
1
∂
r2sin2θ ∂φ2
Ψ(r,θ,φ)+
+V(r)Ψ(r,θ,φ)=EΨ(r,θ,φ)
[
1
2
2mr
r2 ∂
∂r
∂r
∂
2
(
2
L
+
)
]
Ψ(r,θ,φ)+ V(r)Ψ(r,θ,φ)=EΨ(r,θ,φ)
[
1
2
2mr
r2 ∂
∂r
∂r
∂
2
(
2
L
+
)
[
1
Scrivere Ĥ=
2
2mr
]
Ψ(r,θ,φ)+ V(r)Ψ(r,θ,φ)=EΨ(r,θ,φ)
r2 ∂
∂r
∂r
∂
2
(
2
L
+
)
]
+V(r)
è comodissimo. Vedo subito che
[Ĥ,L2]=0=[Ĥ,Lz]
Vedo subito che la soluzione è del tipo:
Ψ(r,θ,φ)=R(r)Ylm(θ,φ); con R(r) determinata da:
[
1
2
2mr
r2∂R
∂r
∂r
∂
2
(
r2∂R
∂r
∂r
∂
(
)+
)-
]
[ ]
2l(l+1)R(r)
2mr2
2
+ V(r)R(r)=ER(r)
V(r)-E R(r)=l(l+1)R(r)
Equazione radiale. Qui finisce la pacchia: anche se
risolvo al volo il problema angolare, l’equazione radiale
devo risolverla.
r2∂R
∂r
∂r
∂
(
)-
[ ]
2mr2
2
V(r)-E R(r)=l(l+1)R(r)
La procedura adottata equivale ad individuare 3 costanti del moto.
Momento al quadrato, Momento lungo l’asse z (determinano la
parte angolare delle autofunzioni e sono descritte dai numeri
quantici l,m), ed energia. Ovviamente, mentre le autofunzioni del
momento sono calcolate una volta per tutte, quelle dell’energia
dipendono da V(r). Esse introducono il numero quantico n.
Sappiamo che, se sto studiando l’elettrone dell’atomo di idrogeno,
m=me;
!
V(r)=-
l e m sono indici di
e2
4πεr
0
E=En=-13.6/n2
(eV)
degenerazione, ma solo per
l’idrogeno. Ad esempio per
un metallo alcalino solo m
è indice di degenerazione.
Come posso romperla? Con B!
|μ|=IS (S=area superficie)
In presenza di B
E=-μ・B
Conviene orientare l’asse z
lungo il campo
E=-μz・B
Visione “semi-classica”:
elettrone in un’orbita=
spira percorsa da corrente.
Se r=raggio (medio)
dell’orbita, e T = periodo
|μ|=IS=(-e/T)πr2
L=IW=(mr2)2π/T➞
T= (mr2)2π/L➞
|μL|=-eL/2m;
μL=-eL/2m
μL=-eL/2m➞➞➞quantistica
In presenza di B
E=-μ・B
Conviene orientare l’asse z lungo
il campo
ΔH=(e/2m)LzB➞(vedremo meglio)➞(e/2me) m
Idrogeno nello stato fondamentale:
l=0, m=0; se l≠0, il campo “splitta” il
livello l in 2l+1 livelli, corrispondenti a
-l, ..0,..,l
!
μL=-eL/2m
Come discuteremo a breve, l’elettrone (ma anche i protoni, anzi,
tutte le particelle) non possiede solo un
momento angolare orbitale (=dovuto all’orbita), ma anche uno
“intrinseco”, detto di spin. Questo produce un ulteriore
accoppiamento con un campo magnetico, per l’elettrone è:
!
μS=-gseS/m (gs=2)
Se il numero quantico angolare l=0,1,2,3... (per cui m=-l,..,0,..l
è un intero), quello di spin può assumere valori semiinteri. Per un
elettrone s=1/2, e m=-1/2,1/2
NMR: con un campo magnetico (forte) si vanno a studiare i
NUCLEI atomici. Essi sono caratterizzati da spin interi o semiinteri.
