Derivazione dell’equazione delle onde
I fenomeni vibratori in generale si descrivono per mezzo dell’equazione delle onde. Storicamente, il primo problema che portò che condusse a questa equazione fu quello della deflessione
di una stringa o corda vibrante. La descrizione del processo di vibrazione si può eseguire
assegnando la posizione dei punti della corda in diversi istanti; per determinare le posizioni è
sufficiente che siano date le componenti del vettore spostamento U1 (s, t), U2 (s, t), U3 (s, t) del
punto generico P a distanza s dall’origine ed all’istante t. Supponiamo, per semplificare la
descrizione matematica, che gli spostamenti della corda giacciano in un piano (x, y) e che il
vettore spostamento sia perpendicolare all’asse x in qualsiasi istante; allora lo spostamento
può descriversi con la funzione U (x, t) che caratterizza la deflessione verticale della corda.
Applichiamo ora il secondo principio della dinamica al segmento della corda delimitato dalle
ascisse x1 e x2 di figura; la variazione della quantità di moto del tratto x1 − x2 , nell’intervallo
di tempo ∆t = t2 − t1 , è uguale all’impulso delle forze agenti; la quantità di moto del tratto
x1 − x2 vale
Z x2
Ut (x, t)ρ(x)dx,
(1)
x1
dove ρ(x) è la massa per unità di lunghezza. La variazione della quantità di moto nell’intervallo
∆t vale
Z x2
[Ut (x, t2 ) − Ut (x, t1 )]ρ(x)dx.
(2)
x1
Esaminiamo ora le forze che agiscono nel tratto x1 − x2 nell’ipotesi che la stringa sia perfettamente elastica; la porzione di corda alla destra di x2 esercita sul segmento una forza la cui
componente lungo l’asse verticale è T (x2 , t)Sinθ(x2 , t); similmente la componente della forza
esercitata alla sinistra di x1 vale −T (x1 , t)Sinθ(x1 , t). La somma di queste componenti vale
T (x2 , t)Sinθ(x2 , t) − T (x1 , t)Sinθ(x1 , t).
(3)
L’impulso di quest forze, nell’intervallo ∆t vale
Z
t2
t1
[T (x2 , t)Sinθ(x2 , t) − T (x1 , t)Sinθ(x1 , t)]dt.
(4)
Consideriamo anche il contributo di una eventuale forza F (x, t) (e.g., di natura gravitazionale
o elettromagnetica), per unità di lunghezza, agente sul tratto x2 − x1 . Il corrispondente
impulso vale
Z
Z
x2
t2
F (x, t)dxdt
x1
t1
(5)
Uguagliamo ora l’eq. 2 alla somma delle eq. 4 e 5.
Z
x2
x1
[Ut (x, t2 )−Ut (x, t1 )]ρ(x)dx =
Z
t2
t1
Z
[T (x2 , t)Sinθ(x2 , t)−T (x1 , t)Sinθ(x1 , t)]dt+
x2
x1
Z
t2
F (x, t)dtdx
t1
(6)
che può anche scriversi
Z
x2
x1
Z
t2
t1
Z x2 Z t2
Z x2 Z t2
∂
∂
[Ut (x, t)]ρ(x)dtdx =
[T (x, t)Sinθ(x, t)]dtdx+
F (x, t)dtdx, (7)
∂t
x1
t1 ∂x
x1
t1
da cui, per l’arbitrarietà del dominio di integrazione,
ρ(x)
∂
∂
Ut (x, t) =
[T (x, t)Sinθ(x, t)] + F (x, t).
∂t
∂x
(8)
Analogamente, essendo per ipotesi la componente x di U (x, t) e di F (x, t) uguale a zero,
avremo
Z x2 Z t2
∂
0=
[T (x, t)Cosθ(x, t)]dxdt
(9)
x1
t1 ∂x
d U (x, t) = U (x, t) = T anθ(x, t), segue che
Poiché, ad ogni istante, vale la relazione dx
x
Sin θ(x, t) = q
T an θ(x, t)
1 + T an2 θ(x, t)
1
Cos θ(x, t) = q
.
1 + Ux2 (x, t)
Ux (x, t)
=q
(10)
1 + Ux2 (x, t)
(11)
Dall’eq. 8 si ha
ρ(x)Utt (x, t) =
∂
T (x, t)
[q
Ux (x, t)] + F (x, t)
∂x 1 + U 2 (x, t)
(12)
x
T (x, t)
∂
T (x, t)
= q
Uxx (x, t) + Ux (x, t) [ q
] + F (x, t). (13)
∂x 1 + U 2 (x, t)
1 + Ux2 (x, t)
x
Poiché vale la relazione
0=
∂
T (x, t)
[q
]
∂x 1 + U 2 (x, t)
(14)
x
l’eq. 13 si riduce a
T (x, t)
ρ(x)Utt (x, t) = q
Uxx (x, t) + F (x, t).
1 + Ux2 (x, t)
(15)
Se facciamo l’ipotesi che l’ampiezza delle vibrazioni sia piccola, cioè ds ≈ dx, segue che
Ux ≈ 0, oppure, in modo equivalente, che la lunghezza della corda non varia; allora T (x, t)
è indipendente da (x, t) e pertanto si può porre uguale a T0 , la tensione iniziale. Se inoltre
la corda è omogenea, si ha
Utt (x, t) = a2 Uxx (x, t) + f (x, t)
(16)
dove
s
a=
T0
ρ
1
e f (x, t) = F (x, t).
ρ
(17)
Se rimuoviamo l’ipotesi che la tensione T (x, t) non varii da punto a punto, possiamo scrivere,
dalla legge di Hooke
T (x, t)
du
ds − dx
= σ(x, t) = Eε(x, t) = E
=E
A(x)
dx
dx
ds
1
= E( − 1) = E(
− 1)
dx
Cos θ(x, t)
da cui
T (x, t) = A(x)E(
q
1
− 1) = EA(x)[ 1 + Ux2 (x, t) − 1]
Cos θ(x, t)
(18)
(19)
(20)
Se sostituiamo nell’eq. 15
q
ρ(x)Utt (x, t) =
EA(x)[ 1 + Ux2 (x, t) − 1]
q
1 + Ux2 (x, t)
Uxx (x, t) + F (x, t)
· · · = EA(x)[1 − (1 + Ux2 (x, t))−1/2 ]Uxx (x, t) + F (x, t)
1
· · · = EA(x) [Ux (x, t)2 ]Uxx (x, t) + F (x, t).
2
(21)
(22)
(23)
Se ora rimuoviamo anche l’ipotesi che la componente lungo l’asse x della forza T (x, t) sia
nulla, cioè che non sia
∂
T (x, t)
]
(24)
0=
[q
∂x 1 + U 2 (x, t)
x
sostituendo nell’eq. 13, si ha
ρ(x)Utt (x, t) =
q
1
∂
[EA(x)[ 1 + Ux2 (x, t) − 1] q
Ux (x, t)] + F (x, t) (25)
∂x
1 + U 2 (x, t)
x
∂
1
[EA(x)[1 − q
]Ux (x.t)] + F (x, t)
··· =
∂x
1 + Ux2 (x, t)
∂
1
[EA(x)[1 − (1 − Ux2 (x, t))]Ux (x, t)] + F (x, t)
··· =
∂x
2
∂
1 3
··· =
[EA(x) Ux (x.t)] + F (x, t)
∂x
2
(26)
(27)
(28)
Se A(x) = A, abbiamo
3
ρ(x) Utt (x, t) = E A Ux2 (x, t) Uxx (x, t) + F (x, t)
2
(29)
Condizioni al contorno ed iniziali
Se gli estremi della corda si muovono secondo una certa legge prefissata, le condizioni al
contorno assumono la forma
U (0, t) = µ1 (t) e U (L, t) = µ2 (t).
Se l’estremità della corda è attaccata ad un corpo rigido di massa m, ed il moto può
avvenire solo lungo l’asse verticale (inoltre lo scorrimento avviene senza attrito lungo una
guida), la componente verticale della tensione della corda agente su m per x = 0 vale
±T (0, t)Sin θ(0.t); per piccoli spostamenti possiamo scrivere
±T (0, t)Sin θ (0, t) ≈ ±T (0, t)T an θ (0, t) = T (0, t)
∂U (0, t)
.
∂x
Pertanto, per descrivere il moto di m, possiamo porre
m
∂ 2 U (0, t)
∂U (0, t)
= T (0, t)
.
2
∂x
∂t
Se inoltre il corpo C è collegato con un elemento elastico caratterizzato dalla costante k,
possiamo scrivere
∂U (0, t)
∂ 2 U (0, t)
m
= T (0, t)
− k (U (0, t) − l0 )
2
∂x
∂t
avendo indicato con l0 la lunghezza della molla in condizioni di riposo. Con l’ipotesi aggiuntiva di rimuovere il corpo C e porre T (0, t) ≈ T0 , si ha dall’equazione precedente
T0
∂U (0, t)
= k (U (0, t) − l0 ).
∂x
Se la forza di richiamo fosse nulla, avremmo
∂U (0, t)
=0
∂x
che rappresenta, e.g., la condizione all’estremità di una corda con un anello scorrevole senza
attrito lungo una guida.
Infine, poiché compare la derivata seconda Utt (x, t), dobbiamo introdurre le condizioni iniziali, cioè dobbiamo conoscere sia U (x, 0) = f (x) sia Ut (x, 0) = g(x).
