Prima prova di Esonero – 30/4/2013 – Elaborato A
Es.1 - Un corpo di massa m può muoversi poggiando su una rotaia, priva di attrito, che si
sviluppa nel piano verticale con la forma indicata in figura: un tratto orizzontale fino ad A,
un quarto di cerchio di raggio r1 dal punto A al punto B, un semicerchio di raggio r2 dal
punto B al punto C.
Il corpo è inizialmente poggiato, fermo,
all'estremità libera di una molla fissata
all'altro estremo alla guida. La molla, di
costante elastica k, è inizialmente
compressa di una quantità ∆x.
Conoscendo il valore di h = r1 + r2 si
chiede di determinare:
a)! Quale e’ valore massimo che può
assumere il raggio r2 affinché il corpo
raggiunga il punto C senza perdere
contatto con la rotaia;
Per il valore r2 così trovato calcolare:
b) il valore della velocità del corpo quando raggiunge il punto B
c) modulo, direzione e verso della reazione applicata dalla guida al corpo di massa m,
quando questi transita per il punto E, conoscendo l'angolo α formato dal segmento OE con
l'orizzontale OC.
Dati:
m= 11.0 g; k= 1.73 Nm-1; ∆x= 38.0 cm; h= r1 + r2 =100 cm; α = π /6
Es.2 - Un punto materiale può scivolare con attrito su un piano inclinato (l’angolo di
inclinazione del piano è θ, l’attrito radente è descritto tramite il coefficiente di attrito
dinamico µ). Sul piano inclinato è appoggiata una molla a riposo con l’estremo inferiore
vincolato alla base del piano inclinato (la costante elastica della molla è k, la sua lunghezza
a riposo è L0). Il punto materiale scende, partendo con velocità iniziale nulla, dalla quota h0.
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Calcolare:
a) dopo quanto tempo il punto raggiunge l’estremo superiore della molla;
b) qual è successivamente la massima compressione della molla;
c) qual è la quota del punto quando la sua velocità è massima (la velocità massima
viene raggiunta quando l’accelerazione si annulla);
d) qual è il tempo impiegato per passare dalla velocità massima a velocità nulla.
Dati:
θ= 30o, µ= 0.20 , k = 80 N/m , L0 = 25 cm , h0 = 20 cm, m = 200 g.
Prima prova di Esonero – 30/4/2013 – Elaborato B
Es.1 - Un corpo di massa m può muoversi poggiando su una rotaia priva di attrito, che si
sviluppa nel piano verticale con la forma indicata in figura: un tratto orizzontale fino ad A,
un quarto di cerchio di raggio r1 dal punto A al punto B, un semicerchio di raggio r2 dal
punto B al punto C.
Il corpo è inizialmente poggiato, fermo,
all'estremità libera di una molla fissata
all'altro estremo alla guida. La molla, di
costante elastica k, è inizialmente
compressa di una quantità ∆x.
Conoscendo il valore di h = r1 + r2 si
chiede di determinare:
a) quale e’ valore massimo che può
assumere il raggio r2 affinché il corpo
raggiunga il punto C senza perdere
contatto con la rotaia;
Per il valore r2 così trovato calcolare:
b) il valore della velocità del corpo quando raggiunge il punto B;
c) modulo, direzione e verso della reazione applicata dalla guida al corpo di massa m,
quando questi transita per il punto E, conoscendo l'angolo α formato dal segmento OE con
l'orizzontale OC.
Dati numerici: m = 14.6 g; k= 2.12 Nm-1; ∆x= 41.0 cm; h=r1 + r2=105 cm; α = π /6
Es.2 - Un punto materiale di massa m può scivolare con attrito su un piano inclinato
(l’angolo di inclinazione del piano è θ, l’attrito radente è descritto tramite il coefficiente di
attrito dinamico µ). Sul piano inclinato è appoggiata una molla di costante elastica k.
L’estremo inferiore della molla è vincolato alla base del piano inclinato, mentre l’estremo
superiore è alla quota h0. Il punto materiale scende partendo con velocità nulla, da una
distanza iniziale L dall’estremo superiore della molla.
Calcolare:
a) con quale velocità il punto raggiunge l’estremo superiore della molla;
b) qual è successivamente la massima compressione della molla;
c) qual è la distanza del punto dalla base quando la sua velocità è massima (la velocità
massima viene raggiunta quando la forza sul punto si annulla).
Si supponga poi che il punto materiale rimanga agganciato alla molla e, così agganciato,
risalga fino a una certa quota massima. Per il moto di risalita si calcoli: d) il tempo che
occorre per il passaggio dalla quota minima alla quota massima.
o
Dati numerici: θ = 35 , µ = 0.25 , k = 90 N/m , h0 = 15 cm , L = 30 cm, m = 300 g.
Soluzioni
Esercizio 1
agiscono sul corpo la forza peso e la reazione vincolare τ, entrambe dirette verso il
basso:
.
.
Proiettando tale relazione lungo la verticale abbiamo
Affinché il corpo non si stacchi dalla guida in D si deve avere
La condizione limite si ha per
1) Durante il suo moto il corpo è soggetto a forze conservative (forza elastica e
forza peso) pertanto l'energia meccanica totale si conserva. Possiamo ricavare la
velocità in D confrontando l'energia meccanica (tutta potenziale) iniziale
(avendo assunto nulla l'energia potenziale della forza peso
nella posizione iniziale) con l'energia meccanica finale
.
Eguagliando abbiamo
per cui
e
quindi
versione A:
r2 = 31.5 cm ;
versione B:
r2 = 38.8 cm
2) Possiamo quindi ricavare r1 = h - r2 , che rappresenta la quota del punto B e
calcolare il modulo della velocità del punto in B dalla v2B = ((k/m)Δx2)-2gr1
vers. A vB=3.04 ms-1 ;
vers. B
vB= 3.38 ms-1
3) La reazione vincolare in un generico punto della guida deve essere tale da
contribuire a fornire l'accelerazione centripeta, sommandosi alla proiezione della
forza peso lungo il raggio della traiettoria. In E si ha
. Da ciò si ricava
vers. A τ= 0.162 N ;
vers. B
τ= 0.215 N .
La reazione è diretta come la congiungente EO ed è orientata verso O.
Esercizio 2
con
A
a) a!=!g!sinθ!–!µ!gcosθ!=!3.2!m/s2!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!L!=!h0/sinθ!–!L0!=!0.15!m!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!t*!=!√!(2L/a)!=!0.31!sec!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!v*!=!a!t*!=!0.98!m/s!
!
b) max.!compressione!=!D!!!½!mv*2!=!D!Lavoro!!=!½!kD2!–!mgDsinθ+µmgDcosθ !
(k/2mg)D2!D!(sinθ!D!µ!cosθ)D!!Dv*2/2g!=!0!!!!!!!D=0.058!m!!!
c) FTOT!=!0!=!mg!sinθ!–!µmgcosθ D!kD'!=!0!!!!!!!
!!!!!!!D'!=!(mg/k)!(sinθ!D!µ!cosθ)!=!0.008m!!!
!!!!!!!!!!!!!!h(vMAX)!=!(L0!D!D')sinθ = 12.1 cm!
!
d) t0!=!¼!Periodo!=!¼!2π √(m/k)!=!0.078!sec!
B
a) a!=!g!sinθ!–!µ!gcosθ!=!3.61!m/s2!!!!!!!!!!
!!!!!!!v*!=√!(2aL)!=!1.47!m/s!
!
b) max.!compressione!=!D!!!½!mv*2!=!D!Lavoro!!=!½!kD2!–!mgDsinθ+µmgDcosθ !
!!!!!!!(k/2mg)D2!D!(sinθ!D!µ!cosθ)D!!Dv*2/2g!=!0!!!!!!!D=0.0977!m!!!
c) FTOT!=!0!=!mg!sinθ!–!µmgcosθ D!kD'!=!0!!!!!!
!!!!!!!D'!=!(mg/k)!(sinθ!D!µ!cosθ)!=!0.0120m!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!D(vMAX)!=!(h0/sinθ D!D') = 27.1 cm!
!
d) t0!=!½!!Periodo!=!!½!2π √(m/k)!=!0.181!sec!
!
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