COMPITO 1 (25/06/09)
Soluzioni degli esercizi
★ Solo per esame da 9CFU. Una molla di costante elastica k = 15 N/m è posta su un
piano orizzontale senza attrito ed è mantenuta compressa per un tratto Δl = 20 cm.
Lasciata libera, la molla spinge una massa m = 0.2 kg che si stacca quando la molla
raggiunge elongazione nulla. Qualʼè la velocità della massa dopo che ha ricevuto la
spinta dalla molla? Dopo aver ricevuto la spinta, la massa m comincia a salire lungo un
piano inclinato di 30° rispetto allʼorizzontale. Qualʼè la lunghezza percorsa dalla massa
prima di fermarsi e quanto tempo impiega? Come cambia il risultato se sul piano
inclinato è presente una forza di attrito costante FA = 1 N?
La velocità della massa m dopo la spinta si ottiene applicando la conservazione
dellʼenergia:
1/2 k Δl 2 = 1/2 m V2 da cui V = 1.73 m/s
Allʼinizio del piano inclinato la massa m ha velocità V, si applica la conservazione
dellʼenergia:
1/2 m V2 = mgh dove h è la quota massima che corrisponde alla lunghezza L percorsa
lungo il piano inclinato prima di fermarsi, quindi h = L sinθ (θ = 30°).
Si ottiene L = 0.31 m.
Il moto lungo il piano inclinato è uniformemente decelerato con a = g sinθ e velocità
iniziale V, per cui
v(t) = V - g sinθ t
imponento v(t) = 0 si ottiene il tempo t richiesto, ovvero t = 0.35 s.
Nel caso in cui sia presente una forza dʼattrito costante lʼenergia cinetica iniziale sarà
pari allʼenergia potenziale finale più il lavoro compiuto dalla forza dʼattrito ovvero
1/2 m V2 = mg L sinθ + FA L da cui si ricava L = 0.15 m.
Per il tempo impiegato, la decelerazione è adesso pari a a = g sinθ+FA/m da cui
t = V / (g sinθ+FA/m) = 0.17 s.
★ Solo per esame da 6CFU. Ad una molla di costante elastica k = 9 N/m, posta su un
piano orizzontale, è attaccata una massa m pari a 500 g. La molla viene lasciata
oscillare liberamente dopo essere stata allungata di un tratto Δl =15 cm e dopo che alla
massa è stata impressa una velocità v = 1 m/s nella direzione della compressione della
molla. Si determinino la frequenza e lʼequazione oraria del moto.
Il moto della molla è armonico con frequenza angolare ω = (k/m)1/2 = 4.24 rad/s ovvero
ν = ω/2π = 0.68 Hz.
La generica soluzione del moto armonico è
x(t) = A cos ωt + B sin ωt
v(t) = -A ω sin ωt + B ω cos ωt
(x=0 corrisponde alla molla a riposo, x>0 molla allungata) con le condizioni iniziali
x(0) = 15 cm
v(0) = -1 m/s
ovvero
x(0) = A = 15 cm
v(0) = B ω = - 1 m/s da cui B = -0.24 m
per cui lʼequazione di moto è x(t) = A cos ωt + B sin ωt con A = 0.15m, B = -0.24 m, ω =
4.24 rad/s
★ In una macchina termica ideale, due moli di gas
perfetto biatomico eseguono un ciclo costituito
da una espansione isobara (da A a B, vedi
figura), una trasformazione isocora (da B a C)
ed una compressione isoterma (da C ad A). Lo
stato A si trova alla temperatura T1 = 10 °C,
mentre lo stato B si trova alla temperatura T2 >
T1 ed ha volume doppio rispetto a quello di A.
Qualʼè il lavoro netto compiuto durante il ciclo?
Si calcoli il rendimento della macchina termica
(= lavoro compiuto / calore assorbito) e si
confronti con quello di una macchina ideale di
Carnot che lavora tra le temperature T1 e T2.
Infine, si calcoli la variazioni di entropia del gas
durante la trasformazione A→B→C.
P
A
B
C
A = (P1, T1, V1), B = (P1, T2, 2V1), C = (P2, T1, 2V1)
Dallʼequazione di stato dei gas perfetti, applicata in A e B si ottiene VB/VA = TB/TA
ovvero T2 = 2T1. Se invece confronto C con A ottengo PAVA=PCVC ovvero P2 = P1/2, da
cui
A = (P1, T1, V1), B = (P1, 2T1, 2V1), C = (P1/2, T1, 2V1)
Il lavoro compiuto nel ciclo è pari a
L = LAB+LBC+LCA, LBC = 0 (isocora); LAB = PA(VB-VA) = P1V1 = nRT1 ; LCA = -nRT1 ln(2)
L = nRT1(1-ln(2)) = 1444 J
Applico il primo principio alla trasformazione AB per cui
QAB(assorb.) = ΔEAB + LAB(eseg.)
ΔEAB = nCV(TB-TA) = n 5/2 R T1 = 1.18 104 J
ovvero QAB(assorb.) = 1.65 104 J [stesso risultato da oppure QAB(assorb.) = nCP(TB-TA)]
Nelle trasformazioni BC e CA il calore viene ceduto per cui il rendimento è
η = L/QAB = (1-ln(2))/(7/2) = 0.09 = 9%
Il rendimento di una macchina di Carnot che lavora tra T1 è T2=2T1 è
η = 1-T1/T2 = 0.5 = 50% (attenzione: qui T1 e T2 sono invertiti rispetto a come indicato di
solito sul libro)
Il modo più semplice è considerare che la variazione di entropia nel ciclo è nulla per cui
ΔSciclo = 0 = ΔSABC+ΔSCA ovvero ΔSABC = -ΔSCA = -nR ln(VA/VC) =
= nR ln(2) = 11.5 J/K
V
★ In un calorimetro ideale contenente 1 litro di acqua alla temperatura Ta = 20 °C, viene
posto una massa di ghiaccio mg di 2 kg alla temperatura T= -20 °C. Qualʼè la
temperatura finale del sistema? Quanto ghiaccio si scioglie? Se nel calorimetro viene
inserita una resistenza R = 250 Ω attaccata ad una differenza di potenziale di 200 V,
quanto tempo è necessario per innalzare la temperatura del contenuto del calorimetro di
10 °C?
Il calore necessario a portare il ghiaccio alla temperatura di 0 °C è Q1 = 20 kcal.
Il calore che lʼacqua del calorimetro può cedere passando alla temperatura di 0 °C è Q2
= 20 kcal (1 litro = 1 dm3 ovvero ma = 1 kg).
Poichè Q1 = Q2 la temperatura finale di equlibrio è direttamente 0 °C, il ghiaccio non si
scioglie e lʼacqua del calorimetro non congela.
La resistenza dissipa una potenza pari a P = ΔV2/R = 160 W.
Per sciolgliere il ghiaccio è necessario Qa = qfusmg = 160 kcal, poi per far aumentare la
temperatura di ΔT =10 °C occorre Qb=(ma+mg)ca*ΔT = 30 kcal. Ovvero la resistenza
deve cedere una quantità di calore pari a Q = Qa+Qb = 190 kcal = 7.95 105 J.
Il tempo necessario è pertanto dato da t = Q/P = 4949 s = 1.38 h
