Liceo scientifico A. Einstein Teramo Stage olimpico – Geometria

Liceo scientifico A. Einstein Teramo
Stage olimpico – Geometria
Federico Poloni
Cecilia Balocchi
6 dicembre 2012
1. Sia AB una corda di una circonferenza e P il punto sul segmento AB tale che
AP = 2 · P B. Sia DE la corda per P e perpendicolare ad AB. Dimostrare che
il punto medio Q di AP è l’ortocentro di ADE.
2. Sia ABC un triangolo, HA , HB , HC i piedi delle altezze e H l’ortocentro di
ABC. Mostrare che H è l’incentro di HA HB HC .
3. Sia ABC un triangolo, e Γ il suo cerchio inscritto, che tocca i tree lati in D,
E, F . Quanto misurano gli angoli del triangolo DEF , in funzione di quelli di
ABC?
4. Sia ABC un triangolo con l’angolo in C di 60◦ . Sia M il punto medio del lato
AB e H, K i piedi delle altezze che partono da A e B. Dimostrare che HM K
è un triangolo equilatero.
√
5. Una piramide a base quadrata√ha il lato di base lungo 3 e tutti gli spigoli
delle facce laterali sono lunghi 2. Quanto misura l’angolo fra due spigoli non
appartenenti alla stessa faccia laterale?
6. Un triangolo ABC è tale che esiste un cerchio che passa per tutti i punti che
dividono ciascun lato del triangolo in tre parti uguali (sei in tutto). Dimostrare
che ABC è un triangolo equilatero.
7. Un triangolo ABC ha l’angolo in A di 60◦ e quello in B di 45◦ . La bisettrice
dell’angolo in A incontra BC in un punto T tale che AT = 24. Quanto vale
l’area del triangolo?