Goniometria e trigonometria

1
Goniometria e trigonometria
Es_2)(m)
°
 1111 
2.1 Considerata la misura in gradi sessagesimali 
 dell’angolo α, esprimerla nella forma
 90 
°
′
′′
normale: -- -- -- (gradi, primi, secondi)
2.2 Considerati i due angoli α=20°30′ 18′ ′ , β=30°42′ 25′ ′ , calcolare l’ampiezza dell’angolo
4
7
γ = α+ β
3
5
2.3 Nel triangolo ABC è noto che l’angolo ABC misura 60°, che l’altezza relativa al lato BC misura
81
3 + 3 cm 2 . Determinare le misure dei lati e le ampiezze degli
9 3cm e che l’area misura
2
angoli del triangolo.
Soluzione
2.1
Per esprimere la misura dell’angolo nella forma richiesta è necessario determinare il
quoziente intero della divisione 1111:90, quindi moltiplicare la parte decimale residua per
°
 1111 
60 per ottenere i primi….Di seguito è riportato lo sviluppo delle operazioni. 

 90 
(
°
2.2
2.3
'
)
'
''
 31 
 31

2
2

= 12°   = 12°  ⋅ 60  = 12°20 '   = 12°20 '  ⋅ 60  = 12°20 '40 ''
 90 
 90

3
3

4
7
Eseguiamo le operazioni per calcolare successivamente α e β a partire dai valori noti.
3
5
4
α = 20°30 '18'' ⇒ 4α = 82°1'12 '' ⇒ α = 27°20 ' 24 ''
3
7
β = 30°42 ' 25'' ⇒ 7 β = 214°56 '55'' ⇒ β = 42°59 '23''
5
Possiamo ora scrivere
4
7
γ = α + β = 27°20 ' 24 ''+ 42°59 ' 23'' = 70°19 ' 47 ''
3
5
Facciamo riferimento al triangolo ABC riportato a
lato, nel quale AH è l’altezza relativa al lato BC.
Dalle informazioni note possiamo determinare le
misure di AB e HB. Otteniamo:
9 3cm
AH
=
⋅ 2 = 18cm
AB =
sen60°
3
AB
HB =
= 9cm
2
Poniamo HC = x(cm) e quindi
BC = BH + HC = ( 9 + x ) cm
Per trovare il valore dell’incognita sfruttiamo
l’informazione sull’area del triangolo ABC.
BC ⋅ AH ( 9 + x ) ⋅ 9 3 2 ;
Area ( ABC ) =
=
cm
2
2
uguagliamo quest’espressione al valore noto ed otteniamo l’equazione
Luigi Lecci:www.matematicaescuola.it
2
( 9 + x) ⋅ 9
3
(
)
81
3 + 3 cm 2 ⇒x = 9 3cm
2
2
Scopriamo così che HC ed AH sono congruenti e dunque che il triangolo AHC è rettangolo
isoscele in H. Possiamo perciò affermare che:
AC = AH ⋅ 2 = 9 6cm ;
µ = 45° , C µAH = 45° e poiché B µAH = 30° ⇒B µAC = 30° + 45° = 75° ;
ACH
cm 2 =
(
)
BC = BH + HC = 9 1 + 3 cm
Il problema a questo punto è risolto.
Luigi Lecci:www.matematicaescuola.it