Liceo scientifico A. Einstein Teramo Stage olimpico – Geometria Gabriele Dalla Torre Simone Di Marino 1 dicembre 2011 Esercizio 1. Sia ABC un triangolo. Siano inoltre MA il punto medio di BC, KB il piede della bisettrice relativa a B ed HC il piede dell’altezza relativa ad AB. Dimostrare che se MA KB HC è un triangolo equilatero, allora anche ABC è un triangolo equilatero. Esercizio 2. Sia ABCD un quadrato. Siano inoltre N il punto medio di CD ed M il punto medio di BC. Detto H il punto d’intersezione tra AM e BN , trovare l’area del triangolo M BH. Esercizio 3. Siano ABC un triangolo rettangolo in A, H la proiezione di A sull’ipotenusa, D un punto sulla retta BC tale che DH = HB ed E la proiezione di C su DA. Dimostrare che il triangolo EHA è isoscele. Esercizio 4. Consideriamo una generica stella a cinque punte. Quanto vale la somma degli angoli nella punte? Esercizio 5. In un quadrilatero convesso ABCD i lati AB, BC e CD sono uguali. Inoltre, abbiamo AC = BD = AD. Quanto misura l’angolo in D? Esercizio 6. Siano A e B i punti di intersezione di due circonferenze Γ e Γ0 . Sia t una retta tangente a Γ in T e a Γ0 in T 0 . Dimostrare che la retta passante per AB biseca il segmento T T 0 . 1