Problema della Costruibilità con riga e compasso

Dopo una necessaria introduzione storico-critica si presentino i problemi classici
dell’antichità ed eventualmente si diano alcuni cenni storici al problema della
ciclotomia.
Poiché secondo Aristotele: “Una definizione è l’enunciazione dell’essenza di un
oggetto”, ma non assicura che esso esista si rende necessaria una prova di esistenza.
In geometria tale metodo risiede nelle costruzioni: “le proposizioni geometriche sono
conosciute per mezzo dell’atto e le veniamo a scoprire eseguendo certe costruzioni”. I
primi postulati di Euclide si riferiscono a costruzioni eseguibili con riga e compasso:
1.
Esiste un segmento congiungente due punti dati;
2.
un segmento si può estendere indefinitamente;
3.
esiste un cerchio di centro e raggio dati.
La restrizione a rette e cerchi è in accordo con le idee platoniche, perché tali enti
geometrici rispondono alle caratteristiche di simmetria e perfezione ideali care a
Platone. Euclide mostrò come bisecare gli angoli (Prop. I 9) e riportarli (Prop. I 23).
Per quanto riguarda i poligoni regolari di n lati, Euclide considera i casi n = 3 (Prop. I
1) n = 4 (Prop. I 46) n = 5 (Prop. IV 11) n = 6 (Prop. IV 15) e n = 15 (Prop. IV 16)
esplicitamente ed un numero di casi addizionali implicitamente (La proposizione IV
15 mostra come si può procedere per bisezione e dunque ottenere non solo il caso n =
6 trattato, ma anche n = 8, 10, 12). Tre problemi classici della geometria piana si
rivelarono refrattari a soluzioni in termini di riga e compasso: la trisezione di un
angolo, la costruzione dell’ettagono regolare, e la quadratura del cerchio. Per quanto
riguarda la geometria solida un problema analogo è quello della duplicazione del
cubo. Occupiamoci, ora in particolare della costruzione dei poligoni regolari.
Abbiamo già visto come si costruisce il triangolo equilatero ed il quadrato.
1
Mostriamo ora la costruibilità del decagono regolare (Euclide IV 10), dalla quale
discende anche quella del pentagono. Osserviamo che il decagono è costruibile se è
costruibile l’angolo di 36° ed il triangolo isoscele che ha per angolo al vertice quello
di 36° e per angoli alla base quelli di 72°, cioè in generale se è costruibile il triangolo
isoscele che ha come angoli alla base il doppio di quello al vertice.
B
C
D
A
Per costruire ABC, in cui BC = AC = a fissato ed in cui gli angoli CAB = ABC = 2
ACB, osserviamo che se tracciamo la bisettrice dell’angolo ABC individuiamo un
punto D tale che i triangoli ABC e ABD sono simili, avendo gli stessi angoli. Da
questo segue che:
BD = AB = CD = c (essendo BCD e ADB triangoli isosceli)
DA = CA – CD = a – c;
Allora, impostando la proporzione:
c
a
 , da cui segue:
ac c
c 2  aa  c  ;
c2 + ac – a2 = 0;
2
 a  a 2  4a 2
1 5
.
c
a
2
2
Quindi, basta provare che c è costruibile dato a, ed allora per la Prop. I.22 possiamo
decagono
regolare
costruire il triangolo dati i lati. La costruzioneCostruzione
di c si ottiene
costruendo
un quadrato
un segmento
costruireil
di lato a = AB, considerando il punto medioFissato
del segmento
AC,a,ebisogna
considerando
triangolo rettangolo di vertici MCD.
D
C
M
B
A
Allora MD - MC =
il segmento di lunghezza a per la sezione
aurea, con i quali si può costruire un
triangolo isoscele che ha gli angoli alla
base il doppio di quelli al vertice. Fatto ciò
si costruisce il decagono.
Per costruire questo lato, si procede
come segue: si costruisce il quadrato di
lato a = AB, si considera il punto medio
del segmento AC, e si costruisce il
triangolo rettangolo di vertici MCD. Allora
MD - MC è proprio il segmento cercato.
a2 a
5
a
1 5
è proprio il segmento
a 
 
a a
4
2
2
2
2
2
cercato. Quindi il decagono è costruibile. Ora mostriamo come da un poligono di n
lati costruibile si può costruire un poligono di 2n lati e viceversa.
Proposizione
Un poligono regolare di 2n lati è costruibile se e solo se lo è quello di n lati.
Dim: Sia costruibile il poligono di 2n lati, allora considerando un vertice si ed uno no
si ottiene quello di n lati. Viceversa, supponiamo sia costruibile quello di n lati, allora
si ottiene quello di 2n lati inscrivendolo in una circonferenza e bisecando gli angoli.
C.v.d.
3
Prop. (Euclide IV 11, IV 15)
Il pentagono, l’esagono e l’ottagono regolare sono costruibili.
Dim: Il pentagono si costruisce dal decagono. L’esagono si costruisce dal triangolo
equilatero. L’ottagono si costruisce dal quadrato. C.v.d.
Dei poligoni regolari fino a 10 lati mancano all’appello l’ettagono (7 lati) e
l’ennagono (9 lati) che mostreremo non essere costruibili.
La seguente proposizione ci fornisce un ulteriore aiuto nella costruzione dei poligoni
regolari di un numero di lati maggiore di dieci.
Proposizione
Se n ed m sono relativamente primi, allora un poligono di mn lati è costruibile se e
solo se lo sono rispettivamente quelli di n e quelli di m lati.
Dim.: Dal poligono di mn lati si costruisce quello di m lati prendendo un vertice ogni
n e quello di n lati prendendo un vertice ogni m.
Viceversa, essendo m ed n relativamente primi per l’algoritmo di Euclide (VII 2) per
determinare il massimo comun divisore si ha:
mx + ny = 1,
cioè:
x y
1
,
 
n m mn
dunque,
2
2
2
;
x
y
n
m
mn
da cui segue che l’angolo al centro di un poligono di mn lati si costruisce prendendo x
volte quello di un poligono regolare di n lati più y volte quello di un poligono
regolare di m lati.
C. v. d.
4
Corollario (Euclide IV 16) Il pentadecagono regolare è costruibile.
Dim: Il pentadecagono è costruibile perché 15 è il prodotto di 3 e 5 che sono
relativamente primi e il triangolo equilatero ed il pentagono sono costruibili. In
particolare, poiché
3x + 5y = 1
con x = 2 e y = -1, la costruzione del pentadecagono regolare consiste nel prendere 2
angoli al centro di un pentagono e togliere un angolo al centro di un triangolo
equilatero.
C. v. d.
Il più importante risultato sulla costruibilità dei poligoni dopo Euclide è stato ottenuto
da Gauss nel 1796, che mostrò come costruire il poligono regolare di 17 lati, e più in
n
generale un numero primo di lati del tipo 2 2  1 .
Abbiamo più volte detto che ci sono dei poligoni che non sono costruibili, che in
generale gli angoli non si possono trisecare, che il cerchio non si può quadrare e per
quanto riguarda lo spazio non si può duplicare il cubo. Nel seguito analizzeremo
quando i numeri sono costruibili e quando no, e vedremo alcuni criteri di non
costruibilità.
Iniziamo a dare la definizione di punto costruibile.
Un punto è costruibile con riga e compasso se è ottenibile mediante intersezione di
rette e cerchi. Più precisamente:
 un segmento è costruibile se i suoi estremi sono punti costruibili;
 una retta è costruibile se passa per due punti costruibili;
 una circonferenza è costruibile se ha centro un punto costruibile e raggio un
segmento (o un segmento congruente) costruibile;
 un punto si dice costruibile se è uno degli estremi del segmento unitario, o si
ottiene per intersezione di:
 due rette costruibili;
 un cerchio e una retta costruibili;
 due cerchi costruibili.
5
Vogliamo ora caratterizzare analiticamente i punti costruibili. Quindi introduciamo
un sistema di coordinate, considerando il segmento unitario, prendendo uno degli
estremi come origine, e come asse x la retta per il segmento.
Diamo fatto ciò la seguente definizione:
Definizione I numeri reali costruibili sono quelli appartenenti al minimo campo:
 contenente i razionali;
 chiuso rispetto a radici quadrate di elementi positivi.
Tali campi si dicono euclidei.
Teorema Un punto è geometricamente costruibile se e solo se ha coordinate
numericamente costruibili.
Dim: Mostriamo che un punto che ha le coordinate costruibili è geometricamente
costruibile. L’asse X è costruibile per definizione, perché passa attraverso il segmento
unitario che è costruibile per definizione. Analogamente (0, 0) e
(1, 0) sono
costruibili per definizione, (- 1, 0) è costruibile perché ottenibile con un circonferenza
di centro l’origine e raggio unitario. L’asse Y è costruibile perché passa per i cerchi
di centri i punti (-1, 0) e (1, 0) e raggio il segmento di estremi i punti stessi. In
particolare abbiamo appena mostrato che la perpendicolare per un punto costruibile è
costruibile. Ora mostriamo che i punti di coordinate (a, 0) o (0, b), se a e b sono
numericamente costruibili sono geometricamente costruibili. Da questo si può poi
costruire il punto (a, b) per quanto osservato. Un’ ultima osservazione, se (a, 0) è
costruibile geometricamente lo è anche (0, a) che si ottiene come intersezione della
circonferenza di centro l’origine e passante per (a, 0) con l’asse Y. Poiché il punto
(1, 0) è costruibile geometricamente basta provare che le coordinate dei punti
costruibili sono chiuse rispetto alle operazioni di campo e all’estrazione di radice
quadrata di elementi positivi.
1) Somma e differenza
6
Dati A = (a, 0) e b = (b , 0) si ottiene a  b,0 considerando l’intersezione della
circonferenza di centro l’origine e raggio OB.
2) Prodotto
Siano dati A = (a, 0) e B = (b, 0), costruiamo B’ = (0, b) e U’ = (0, 1), allora il punto
C ottenuto dall’intersezione dell’asse X con la parallela ad U’A per B’ ha coordinate
(ab, 0):
B'
U'
O
U
A
B
C
I triangoli OAU’ e OB’C sono simili, per cui:
OU ' OA
1
a
cioè 
da cui OC = ab.

OB' OC
b OC
3) Rapporto
Siano dati A = (a, 0) e B = (b, 0), costruiamo B’ = (0, b) ed U’= (0, 1). Allora C che è
a 
dato dall’intersezione della parallela ad B’A per U’ ha coordinate  ,0  .
b 
7
B'
U'
O
C
U
B
A
Infatti,
OC OU '
OC 1
a
, cioè

 , da cui OC  .
OA OB'
a
b
b
4) Estrazione di radice quadrata.
1  a 
,0  e
a costruendo i punti A’ = (-a, 0) e C = 
 2

Dato A = (a, 0) si ottiene
considerando la circonferenza di centro C e raggio CU. L’intersezione di questa
circonferenza con l’asse Y è il punto cercato.
B
A'
C
O
U
A
Infatti,
8
a
OB
OA' OB
, cioè
, da cui OB2 = a e quindi OB =


OB
1
OB OU
a.
Ora proviamo che se un punto è costruibile con riga e compasso, allora ha coordinate
costruibili numericamente. Questo è ovvio per gli estremi del segmento unitario che
hanno coordinate 0 e 1. Per poter procedere induttivamente osserviamo che:
1)
L’equazione della retta per due punti di coordinate costruibili ha coefficienti
costruibili.
Dati A = (a1, b1) e B = (a2, b2), la retta per A e B ha equazione:
y  b1
x  a1

b2  b1 a2  a1
cioè x (b2 – b1) + y (a2 – a1) + (a1b2 – b1a2) = 0.
Ma i numeri costruibili sono chiusi rispetto alle operazioni di campo e quindi la tesi.
2)
La lunghezza del segmento con estremi di coordinate costruibili è costruibile.
Dati A = (a1, b1) e B = (a2, b2), si ha:
AB 
a2  a1 2  b2  b1 2 .
Ma i numeri costruibili sono chiusi rispetto alle operazioni di campo e di estrazione
di radice di numeri positivi e quindi la tesi.
3) L’equazione di una circonferenza che ha centro coordinate costruibili e
raggio costruibile ha coefficienti costruibili.
Dati C = (a, b) ed un segmento di lunghezza r l’equazione della circonferenza di
centro C e raggio r è:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2, cioè:
9
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0.
Poiché i numeri costruibili sono chiusi rispetto alle operazioni di campo si ha la tesi.
Per la dimostrazione per induzione possiamo supporre di avere rette o circonferenze
costruibili, cioè con coefficienti costruibili e dimostriamo che le loro intersezioni
sono punti le cui coordinate sono costruibili. Procediamo:
1) Intersezione retta con retta.
Supponiamo di avere due rette costruibili, cioè con coefficienti
costruibili:
ax + by + c = 0
e
a1x + b1y + c1 = 0.
Allora il punto di intersezione ha coordinate:
x
cb1  c1b
ab1  a1b
e
y
ac1  a1c
.
ab1  a1b
Quindi, se i coefficienti sono costruibili, lo sono anche queste coordinate
perché la costruibilità è chiusa rispetto alle operazioni di campo.
2) Intersezione circonferenza con retta.
Data una retta ed una circonferenza costruibili di equazioni:
x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 e ax + by + c = 0
eliminando y dall’equazione della retta si ottiene un’equazione risolvente:
x 2  y 2    0 che ha soluzioni:
x
    2  4
2
I coefficienti dell’equazione di 2° grado sono costruibili in quanto sono
funzioni razionali dei coefficienti della retta e della circonferenza, e quindi
anche le soluzioni, se esistono lo sono in quanto i numeri costruibili sono
chiusi rispetto alle operazioni di campo e di estrazione di radici.
10
3) Intersezione tra circonferenze costruibili.
Date le due circonferenze costruibili di equazioni:
x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 e
x2 + y2 + 2a1x + 2b1y + c1 = 0
L’equazione risolvente sarà:
2(a – a1) x + 2(b – b1) y + c – c1 = 0.
Essa ha coefficienti costruibili, e quindi ci siamo ricondotti al caso
precedente di una retta costruibile con una circonferenza costruibile.
Quindi abbiamo visto che esiste una “corrispondenza” tra i punti di coordinate
costruibili ed i punti costruibili con riga e compasso.
Vediamo ora dei criteri di non costruibilità che ci permettono di dimostrare la
insolubilità di alcuni problemi classici dell’antichità.
Per prima cosa vediamo a che tipi di campi appartengono i numeri costrubili.
Def. Dato un campo F, si dice estensione quadratica di F ogni insieme del tipo:
F
dove c  F ma
 c   a  b

c : a, b  F ,
c F .
Un esempio di estensioni quadratiche si ha dal passaggio dai numeri reali ai numeri
 
complessi: C  R - 1 .
Proprietà:
 a  b c = 0 se e solo se a = b = 0.
In un verso è ovvia. Sia allora a  b c = 0, e supponiamo sia b  0 , allora
ma
a
c  ,
b
a
c    F , il che è assurdo, dunque b = 0 e allora anche a = 0.
b
 a1  b1 c  a2  b2 c se e solo se a1 = a2 e b1 = b2
In un verso è ovvia. Sia allora a1  b1 c  a2  b2 c , da cui segue:
11
a1  a2   b1  b2 
c  0 , e allora dalla precedente segue la tesi.
Proposizione Un’estensione quadratica di un campo è un campo.
 c  è chiuso rispetto alle operazioni di campo.
Somma e sottrazione di elementi di F  c :
a1  b1 c   a2  b2 c   a1  a2   b1  b2  c  F  c .
Prodotto di elementi di F  c :
a1  b1 c  a2  b2 c   a1a2  b1b2c   a1b2  a2b1  c  F  c 
Dim: Proviamo che F


 Quoziente di elementi di F
 c : poiché il quoziente tra due elementi non è
altro che il prodotto del numeratore per l’inverso del denominatore, è
sufficiente mostrare che l’inverso di un elemento di F
elemento di F
 c .
 c
è ancora un
1
ab c
a
b

 2
 2
c F .
2
a  b c a  b c  a  b c a  b c a  b 2c



c.v.d.
Definizione Dato un campo F, si dice estensione di ordine 2n di F ogni insieme
del tipo:
F
 c1 (
 cn   F 
c2 )....

c1 ,...., cn .
Proposizione Ogni numero costruibile appartiene ad un’estensione di ordine 2n
del campo dei numeri razionali.
Dim: Poiché le estensioni quadratiche di un campo sono un campo e i numeri
costruibili si ottengono a partire dai razionali mediante operazioni di campo ed
estrazioni di radici, ogni numero costruibile che si ottenga mediante n estrazioni di
radici appartiene ad un’estensione dei razionali di ordine 2n. c.v.d
12
A questo punto, siamo pronti ad enunciare i criteri di insolubilità.
Primo criterio Un numero trascendente non è costruibile.
Dim: Sia
xab c
un elemento di un’estensione quadratica dei razionali, cioè in particolare un
numero costruibile. Allora si ottiene:
x  a  b c da cui segue
x  a 2  b 2 c .
Eliminando le radici una ad una a partire da quelle più esterne, si ha per induzione
che un numero costruibile appartenente ad un’ estensione di ordine
2n dei
razionali è soluzione di un’equazione di grado 2n a coefficienti razionali. In
particolare un numero costruibile è algebrico.
c.v.d.
Oss. Da questo criterio segue immediatamente che è impossibile quadrare il
cerchio. Infatti, se il cerchio di raggio uno fosse quadrabile con riga e compasso, si
otterrebbe un quadrato di area π e quindi di lato
 . Allora il segmento

sarebbe costruibile e quindi anche π lo sarebbe, cioè π sarebbe algebrico. Lambert
nel 1770 e Legendre nel 1794 avevano provato che π e π 2 sono irrazionali. Sarà
Lindemann nel 1882 a dimostrare la trascendenza di π. Da cui la non quadrabilità
del cerchio.
Gli altri problemi classici dell’antichità si risolvono mostrando che i numeri
coinvolti non appartengono ad estensioni di grado 2n dei razionali.
Proposizione Dato un polinomio a coefficienti in un campo F, le sue eventuali
soluzioni in un’estensione quadratica F
 c  di F appaiono in coppie coniugate,
cioè se a  b c è soluzione lo è anche a  b c .
Dim: Proviamo una serie di fatti.
13
 Il coniugato di una somma è la somma dei coniugati.
a1  b1 c   a2  b2 c   a1  a2   b1  b2 
a1  b1 c   a2  b2 c   a1  a2   b1  b2 
c
c
 Il coniugato del prodotto è il prodotto dei coniugati.
a1  b1 c  a2  b2 c   a1a2  b1b2c   a2b1  a1b2 
a1  b1 c  a2  b2 c   a1a2  b1b2c  a2b1  a1b2 
c
c
 Il coniugato di una potenza n-sima è la potenza n-sima del coniugato.
Si ottiene per iterazione del prodotto.
 Gli elementi del campo sono autoconiugati.
a  0 c  a 0 c  a.
Consideriamo ora un polinomio a coefficienti in F:
px   an x n  an 1x n 1  ...  a1x  a0
si ha indicando con z il coniugato di z:
px   an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0
 an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0
 an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0
n
 an x  an 1 x
n 1
 ...  a1 x  a0

px .

Dunque, p(x) = 0 se e solo se px   0 se e solo se p x  0 . Quindi x è radice se
e solo se lo è x .
14
Secondo criterio di insolubilità (Wantzel) Le radici di un’equazione cubica a
coefficienti razionali e senza radici razionali non sono costruibili.
Dim: Basta provare che se un’equazione cubica a coefficienti in un campo F ha
radici in un’estensione quadratica F
 c  di F ha già radici nel campo. Segue
allora che se un’equazione cubica a coefficienti razionali ha radici costruibili, ha
già radici razionali.
Data un’equazione cubica, possiamo supporre che sia monica:
z 3  a2 z 2  a1 z  a0  0 ,
se z1, z2, e z3 sono le radici complesse l’equazione è equivalente a:
z  z1 z  z2 z  z3   0 ,
da cui segue:
z 3  z1  z2  z3 z 2  z1 z2  z1 z3  z2 z3 z  z1 z2 z3  0 ,
ma allora:
 z1  z 2  z3   a2 .
Sia z1 una soluzione in F
 c , cioè:
z1  a  b c , allora per la proposizione precedente anche z1  a  b c è
soluzione, quindi:


 a  b c  a  b c  z3  a2
e dunque:
z3 = a2 + 2a. Pertanto c’è una soluzione in F.
c.v.d.
Mostriamo che non si può trisecare un angolo.
Diamo prima la costruzione elementare di Nicomede (240 a.c.)
15
B
D
a
90° - a
90° - a
a
2a
M
E
2a
a
A
90° - a
C
Stacchiamo su un lato dell’angolo un segmento AB lungo r. Tracciamo per B la
parallela e la perpendicolare all’altro lato. Consideriamo sulla parallela un punto
D tale che ED = 2r. Allora l’angolo DAC = ADB = a è la trisezione dell’angolo
BAC. Infatti, si consideri il punto medio M del segmento ED. Allora poiché EDB
è un triangolo rettangolo e quindi è inscrivibile in una semicirconferenza, EM =
MD = BM. Allora sono individuati i tre triangoli isosceli: BMD, EMB e ABM e
gli angoli sono come in figura. Traduciamo in un’equazione la precedente
costruzione.
x/2
r
r
r
r
y
b
16
x
r
(y + r) /2
y
Consideriamo i precedenti tre triangoli simili, essendo tutti e tre rettangoli per
costruzione:
b x
2rb
(= cosa) cioè y 
.

x
y 2r
yr
r
x
2

2r
x
cioè
x y  3r
da cui

2r
2x
x2
 y  3r .
r
Poiché r è arbitrario, lo possiamo supporre uguale ad 1, da cui:
y
2b
x
e
x2  y  3 ,
cioè:
x3 – 3x – 2b = 0,
che è l’equazione di trisezione dell’angolo definito dal triangolo:
17
1
b
Se una soluzione x dell’equazione è costruibile, allora l’angolo è risecabile con
riga e compasso, perché basta riportare x sulla parallela al lato b. Sinodi che la
costruzione di Nicomede richiede più di riga e compasso perché bisogna
determinare E e D tali che ED = 2r, il che si può fare ruotando un metro.
L’esistenza di soluzioni costruibili dipende da b. Ad esempio:
 L’angolo di 180° è trisecabile. (costruendo un triangolo equilatero)
 L’angolo di 90° è trisecabile (bisecando l’angolo di 60°)
 L’angolo di 45° è trisecabile (bisecando l’angolo di 30°)
Più in generale ogni angolo che sia tre volte un angolo costruibile è trisecabile.
Proposizione (Wantzel) L’angolo di 120° non è trisecabile.
1
Dim: L’equazione di trisezione diventa ( b   ):
2
x3 – 3x + 1 = 0.
Alle stessa equazione si giunge usando le regole della trigonometria:
cos3α = cos(2α + α) = cos2α cosα – sen2α senα
= (cos2α – sen2α) cosα – 2senαcosα senα
= cos3α – sen2α cosα – 2sen2α cosα
= cos3α – 3sen2α cosα
= cos3α – 3(1 – cos2α)cosα
= cos3α – 3 cosα + 3cos3α = 4cos3α – 3 cosα
18
e per cos 120 = – sen 30 = 
4cos3α – 3 cosα +
1
2
1
=0
2
8cos3α – 6 cosα + 1 = 0
x = 2cosα
si ottiene
x3 – 3x + 1 = 0.
Sia
p
(frazione ridotta ai minimi termini) una eventuale soluzione razionale della
q
precedente equazione:
p3 – 3pq2 + q3 = 0.
Allora,
 q3 = p(3q2 – p2), cioè p divide q3 e quindi p  1 .
 p3 = q2(3p – q), cioè q divide p3 e quindi q  1.
Dunque le possibili soluzioni razionali sono solo + 1 e – 1 e nessuna delle due è
soluzione.
C.v.d.
Corollario L’angolo di 60° non è trisecabile con riga e compasso.
Dim: Se l’angolo di 60° fosse trisecabile, allora l’angolo di 20° sarebbe costruibile
con riga e compasso, e quindi per duplicazione sarebbe costruibile l’angolo di 40°,
ma allora l’angolo di 120° sarebbe risecabile.
C.v.d.
Passiamo ora al problema della ciclotomia, cioè al problema di dividere in n parti
uguali una circonferenza, che è equivalente alla costruibilità o alla non costruibilità
dei poligoni regolari.
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L’equazione xn – 1 = 0 fu studiata da molti matematici del XVIII secolo, tra cui anche
Lagrange, che la studiò con n primo. Vandermonde (1735-1796) risolse l’equazione
nel caso n = 11 con un metodo che dichiarava essere estendibile per i primi maggiori
di 11. Waring (1734- 1798) per primo introdusse la nozione di radice primitiva
dell’unità.
Il contributo più importante è dato da Gauss che nella sua opera
“Disquisiziones Arithmeticae” nel 1801 analizzò in modo completo l’equazione
xn – 1 = 0 dando il metodo di risoluzione per radicali per ogni n e trattando
esplicitamente il caso n = 17 e n = 19. In particolare dimostrò per quali valori di n
l’equazione è risolubile per radicali quadratici, cioè quanti possono essere i lati di un
poligono regolare perché sia costruibile con riga e compasso. Egli dimostrò che
l’equazione xn – 1 = 0 è risolubile per radicali quadratici se e solo se n è della forma:
n = 2u (2h + 1)….( 2m + 1),
con i numeri tra parentesi primi, cioè della forma dei primi di Fermat.
Mostriamo in breve l’equivalenza del problema risoluzione della l’equazione
ciclotomica xn – 1 = 0 con la costruibilità con riga e compasso dei poligoni regolari.
Dividere in n parti uguali una circonferenza significa dividere l’angolo di 2π in n
 2 
 2 
parti, cioè vuol dire che bisogna saper costruire cos  e sen  , cioè se si sa
 n 
 n 
 2 
 2 
costruire in numero   cos   isen  . Questo numero è una radice primitiva
 n 
 n 
dell’unità e le sue potenze  ,  2 ,...., n 1 ,  n  1 sono ancora radici dell’unità. Infatti:
 2n 
 2n 
  isen
  1  i0  1;
 n 
 n 
 n  cos
 
2 n
 
  2n   n
2
 1 , e così via.
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Proposizione L’ennagono regolare non è costruibile con riga e compasso.
Dim: Se fosse costruibile, sarebbe costruibile l’angolo di 40°, ma allora sarebbe
trisecabile l’angolo di 120°.
C.v.d.
Proposizione L’ettagono regolare non è costruibile con riga e compasso.
Dim: Come abbiamo appena visto, la costruibilità con riga e compasso dell’ettagono
è conseguenza della risolubilità per radicali quadratici dell’equazione x7 – 1 = 0.
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