perché gli origami battono la riga ed il compasso.

Costruzioni geometriche: perché gli origami
battono la riga ed il compasso.
Francesco Veneziano
5 agosto 2008
I problemi classici della geometria euclidea
Quadratura del cerchio
Costruire un quadrato avente la stessa area di un cerchio assegnato.
I problemi classici della geometria euclidea
Quadratura del cerchio
Costruire un quadrato avente la stessa area di un cerchio assegnato.
Trisezione dell’angolo
Costruire un angolo avente ampiezza pari ad un terzo di quella di
un angolo assegnato.
I problemi classici della geometria euclidea
Quadratura del cerchio
Costruire un quadrato avente la stessa area di un cerchio assegnato.
Trisezione dell’angolo
Costruire un angolo avente ampiezza pari ad un terzo di quella di
un angolo assegnato.
Duplicazione del cubo
Costruire un cubo avente volume doppio di quello di un cubo
assegnato.
I problemi classici della geometria euclidea
Quadratura del cerchio
Costruire un quadrato avente la stessa area di un cerchio assegnato.
Trisezione dell’angolo
Costruire un angolo avente ampiezza pari ad un terzo di quella di
un angolo assegnato.
Duplicazione del cubo
Costruire un cubo avente volume doppio di quello di un cubo
assegnato.
Costruzione dei poligoni regolari
Costruire tutti i poligoni regolari.
Le regole del gioco
Il primo matematico a considerare valide solo le costruzioni con
riga e compasso fu Oenopide (500-450 a.C.).
Le regole del gioco
Il primo matematico a considerare valide solo le costruzioni con
riga e compasso fu Oenopide (500-450 a.C.).
• Dati due punti possiamo tracciare la retta che li congiunge.
• Dati due punti possiamo tracciare la circonferenza che ha
centro in uno di essi e passa per il secondo.
• Date due rette possiamo trovare la loro intersezione.
• Data una retta e una circonferenza possiamo trovare le loro
intersezioni
• Date due circonferenze possiamo trovare le loro intersezioni.
Le regole del gioco
Il primo matematico a considerare valide solo le costruzioni con
riga e compasso fu Oenopide (500-450 a.C.).
• Dati due punti possiamo tracciare la retta che li congiunge.
• Dati due punti possiamo tracciare la circonferenza che ha
centro in uno di essi e passa per il secondo.
• Date due rette possiamo trovare la loro intersezione.
• Data una retta e una circonferenza possiamo trovare le loro
intersezioni
• Date due circonferenze possiamo trovare le loro intersezioni.
La riga di Euclide non è graduata.
Il compasso di Euclide non conserva le distanze tra un utilizzo ed il
successivo.
Diversi punti di vista
Per i greci la geometria era la “vera” matematica, e l’aritmetica era
interpretata in senso geometrico.
Diversi punti di vista
Per i greci la geometria era la “vera” matematica, e l’aritmetica era
interpretata in senso geometrico.
Noi vogliamo impiegare l’algebra per investigare la geometria.
Punti costruibili e numeri costruibili
Un punto è costruibile se è ottenibile a partire da un segmento
unitario con un numero finito di passi euclidei.
Punti costruibili e numeri costruibili
Un punto è costruibile se è ottenibile a partire da un segmento
unitario con un numero finito di passi euclidei.
Un numero reale è costruibile se è ascissa di un punto costruibile.
Punti costruibili e numeri costruibili
Un punto è costruibile se è ottenibile a partire da un segmento
unitario con un numero finito di passi euclidei.
Un numero reale è costruibile se è ascissa di un punto costruibile.
C = {x ∈ R | il punto (x, 0) è costruibile}
Punti costruibili e numeri costruibili
Un punto è costruibile se è ottenibile a partire da un segmento
unitario con un numero finito di passi euclidei.
Un numero reale è costruibile se è ascissa di un punto costruibile.
C = {x ∈ R | il punto (x, 0) è costruibile}
Il punto (a, b) è costruibile ⇔ a, b ∈ C
Le proprietà algebriche dei punti costruibili
• 0∈C
• x ∈ C ⇒ −x ∈ C
• x, y ∈ C ⇒ x + y ∈ C
Le proprietà algebriche dei punti costruibili
• 0∈C
• x ∈ C ⇒ −x ∈ C
• x, y ∈ C ⇒ x + y ∈ C
• 1∈C
• x ∈ C , x 6= 0 ⇒ x1 ∈ C
• x, y ∈ C ⇒ xy ∈ C
Le proprietà algebriche dei punti costruibili
• 0∈C
• x ∈ C ⇒ −x ∈ C
• x, y ∈ C ⇒ x + y ∈ C
• 1∈C
• x ∈ C , x 6= 0 ⇒ x1 ∈ C
• x, y ∈ C ⇒ xy ∈ C
• x ∈C ⇒
√
x ∈C
Moltiplicazione
Inverso
Radice quadrata
Non c’è altro
Retta per i punti (x1 , y1 ) e (x2 , y2 )
(x − x1 )(y2 − y1 ) = (y − y1 )(x2 − x1 )
Non c’è altro
Retta per i punti (x1 , y1 ) e (x2 , y2 )
(x − x1 )(y2 − y1 ) = (y − y1 )(x2 − x1 )
Circonferenza con centro in (x1 , y1 ) e raggio r
(x − x1 )2 + (y − y1 )2 = r 2
Non c’è altro
Retta per i punti (x1 , y1 ) e (x2 , y2 )
(x − x1 )(y2 − y1 ) = (y − y1 )(x2 − x1 )
Circonferenza con centro in (x1 , y1 ) e raggio r
(x − x1 )2 + (y − y1 )2 = r 2
Intersezione delle rette A1 x + B1 y + C1 = 0 e A2 x + B2 y + C2 = 0
C2 B1 − C1 B2 A2 C1 − A1 C2
,
A1 B2 − A2 B1 A1 B2 − A2 B1
Non c’è altro
Intersezioni della retta Ax + By + C = 0 e della circonferenza
(x − x1 )2 + (y − y1 )2 = r 2
√ !
√
B 2 x1 − ABy1 − AC ± B ∆ A2 y1 − ABx1 − BC ∓ A ∆
,
A2 + B 2
A2 + B 2
∆ = r 2 (A2 + B 2 ) − (Ax1 + By1 + C )2
Non c’è altro
Intersezioni delle circonferenze (x − x1 )2 + (y − y1 )2 = r12 e
(x − x2 )2 + (y − y2 )2 = r22
√
−(x1 − x2 )(r12 − r22 − x12 + x22 ) + (x1 + x2 )(y1 − y2 )2 ± (y1 − y2 ) ∆
,
2(x1 − x2 )2 + 2(y1 − y2 )2
√ !
−(y1 − y2 )(r12 − r22 − y12 + y22 ) + (y1 + y2 )(x1 − x2 )2 ∓ (x1 − x2 ) ∆
2(x1 − x2 )2 + 2(y1 − y2 )2
∆ = −[(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 − (r1 − r2 )2 ][(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 − (r1 + r2 )2 ]
Non c’è altro
Intersezioni delle circonferenze (x − x1 )2 + (y − y1 )2 = r12 e
(x − x2 )2 + (y − y2 )2 = r22
√
−(x1 − x2 )(r12 − r22 − x12 + x22 ) + (x1 + x2 )(y1 − y2 )2 ± (y1 − y2 ) ∆
,
2(x1 − x2 )2 + 2(y1 − y2 )2
√ !
−(y1 − y2 )(r12 − r22 − y12 + y22 ) + (y1 + y2 )(x1 − x2 )2 ∓ (x1 − x2 ) ∆
2(x1 − x2 )2 + 2(y1 − y2 )2
∆ = −[(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 − (r1 − r2 )2 ][(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 − (r1 + r2 )2 ]
x ∈ C ⇔ x si può scrivere usando i numeri razionali, le quattro
operazioni e la radice quadrata
Una condizione necessaria
Diciamo che un numero è algebrico se è soluzione di un polinomio
a coefficienti razionali.
Una condizione necessaria
Diciamo che un numero è algebrico se è soluzione di un polinomio
a coefficienti razionali.
x ∈ C ⇒ x è un numero algebrico
Una condizione necessaria
Diciamo che un numero è algebrico se è soluzione di un polinomio
a coefficienti razionali.
x ∈ C ⇒ x è un numero algebrico
√
2+ 3
√
√
x2 = 2 + 3
√
x4 = 2 + 2 6 + 3
x=
q
√
(x 4 − 5)2 = 24
x 8 − 10x 4 + 1 = 0
La quadratura del cerchio è impossibile
Il problema della quadratura del cerchio è risolvibile ⇔
√
π∈C
La quadratura del cerchio è impossibile
Il problema della quadratura del cerchio è risolvibile ⇔
π è trascendente (Lindemann, 1882)
√
π∈C
Il grado di un campo
√
√
= {a + b 2 |√a, b ∈ √
Q}
Q(√2) √
√
Q( 2,√ 3) = {a + b √2 + c 3 + d 6 | a, b, c, d ∈ Q} =
{a + b 3 | a, b ∈ Q( 2)}
Se F ⊇ K sono campi, il grado di F su K ([F : K ]) è “il minimo
numero di paramentri” in K necessari per descrivere un elemento
di F (la dimensione di F come spazio vettoriale su K )
Se F ⊇ K ⊇ E allora [F : K ] · [K : E ] = [F : E ]
Il grado di un numero algebrico
Il grado di un numero algebrico α è il grado del polinomio di grado
minimo di cui α è radice.
Se α è un numero algebrico di grado d,
Q(α) = {a0 + a1 α + a2 α2 + · · · + ad−1 αd−1 | a0 , . . . , ad−1 ∈ Q} è
un campo, e [Q(α) : Q] = d
Un’altra condizione necessaria
x ∈ C ⇒ il grado del polinomio minimo di x è una potenza di 2.
La duplicazione del cubo è impossibile
Il problema della duplicazione del cubo è risolvibile ⇔
√
3
2∈C
La duplicazione del cubo è impossibile
Il problema della duplicazione del cubo è risolvibile ⇔
Il polinomio minimo di
√
3
2 è x 3 − 2
√
3
2∈C
La duplicazione del cubo è impossibile
Il problema della duplicazione del cubo è risolvibile ⇔
Il polinomio minimo di
√
3
2 è x 3 − 2
Il grado di
√
3
2 è 3
√
3
2∈C
Un nuovo poligono regolare
Il poligono regolare con n lati è costruibile ⇔ l’angolo
costruibile
2π
n
è
Un nuovo poligono regolare
Il poligono regolare con n lati è costruibile ⇔ l’angolo
costruibile
Un angolo θ è costruibile ⇔ cos θ è costruibile
2π
n
è
Un nuovo poligono regolare
Il poligono regolare con n lati è costruibile ⇔ l’angolo
costruibile
Un angolo θ è costruibile ⇔ cos θ è costruibile
1
cos 2π
3 = −2
cos 2π
5 =
√
5−1
4
2π
n
è
Un nuovo poligono regolare
Il poligono regolare con n lati è costruibile ⇔ l’angolo
costruibile
Un angolo θ è costruibile ⇔ cos θ è costruibile
2π
n
è
1
cos 2π
3 = −2
cos 2π
5 =
√
5−1
4
√
1
− 16
+ 1617
p
√
1
cos 2π
=
+ 16
34 − 2 17 +
17
q
p
p
√
√
√
1
17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 (Gauss, 1796)
8
Un nuovo poligono regolare
Il poligono regolare con n lati è costruibile ⇔ l’angolo
costruibile
Un angolo θ è costruibile ⇔ cos θ è costruibile
2π
n
è
1
cos 2π
3 = −2
cos 2π
5 =
√
5−1
4
√
1
− 16
+ 1617
p
√
1
cos 2π
=
+ 16
34 − 2 17 +
17
q
p
p
√
√
√
1
17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 (Gauss, 1796)
8
Qual è il grado di cos 2π
n ?
I primi di Fermat
cos 2π
n ha grado ϕ(n) = |{1 ≤ k ≤ n | k ed n sono coprimi}|
I primi di Fermat
cos 2π
n ha grado ϕ(n) = |{1 ≤ k ≤ n | k ed n sono coprimi}|
L’n-agono regolare è costruibile ⇔ n = 2k p1 , . . . , pr dove
p1 , . . . , pr sono numeri primi distinti della forma p = 2j + 1
I primi di Fermat
cos 2π
n ha grado ϕ(n) = |{1 ≤ k ≤ n | k ed n sono coprimi}|
L’n-agono regolare è costruibile ⇔ n = 2k p1 , . . . , pr dove
p1 , . . . , pr sono numeri primi distinti della forma p = 2j + 1
2j + 1 è primo ⇒ j = 2h
Gli unici numeri primi di questa forma noti sono 3, 5, 17, 257,
65537
La trisezione dell’angolo
cos(3θ) = 4 cos3 θ − 3 cos θ
La trisezione dell’angolo
cos(3θ) = 4 cos3 θ − 3 cos θ
L’angolo α è trisecabile ⇔ è possibile esprimere le soluzioni
dell’equazione cos α = 4x 3 − 3x usando solo il numero cos α, i
numeri razionali, le quattro operazioni e la radice quadrata.
La trisezione dell’angolo
cos(3θ) = 4 cos3 θ − 3 cos θ
L’angolo α è trisecabile ⇔ è possibile esprimere le soluzioni
dell’equazione cos α = 4x 3 − 3x usando solo il numero cos α, i
numeri razionali, le quattro operazioni e la radice quadrata.
Alcuni angoli si possono trisecare, ma l’angolo “generico” no.
Senza mani!
Teorema di Poncelet-Steiner
Ogni costruzione eseguibile con riga e compasso si può eseguire con
la sola riga, purché sia dato anche un cerchio col suo centro.
Data una circonferenza non è possibile trovare il suo centro con la
sola riga.
Senza mani!
Teorema di Poncelet-Steiner
Ogni costruzione eseguibile con riga e compasso si può eseguire con
la sola riga, purché sia dato anche un cerchio col suo centro.
Data una circonferenza non è possibile trovare il suo centro con la
sola riga.
Teorema di Mohr–Mascheroni
Ogni costruzione eseguibile con riga e compasso si può eseguire col
solo compasso.
Trisezione col metodo di Archimede
Si usa una riga graduata
Gli assiomi degli origami
1. Dati due punti p1 e p2 esiste un’unica piega che passa per
entrambi.
2. Dati due punti p1 e p2 esiste un’unica piega che porta p1 in p2
Gli assiomi degli origami
3 Date due linee l1 e l2 esiste una piega che porta l1 in l2
4 Dato un punto p1 e una linea l1 esiste un’unica piega
perpendicolare a l1 passante per p1
Gli assiomi degli origami
5 Dati due punti p1 e p2 e una linea l1 esiste una piega che
porta p1 su l1 e passa per p2
7 Dato un punto p1 e due linee l1 e l2 esiste una piega che porta
p1 su l1 ed è perpendicolare a l2
Gli assiomi degli origami
6 Dati due punti p1 e p2 e due linee l1 e l2 esiste una piega che
porta p1 su l1 e p2 su l2
Questo assioma non è eseguibile con riga e compasso.
È equivalente a trovare la retta tangente simultaneamente a due
parabole.
È equivalente alla soluzione delle equazioni di terzo grado.
Trisezione con gli origami
Trisezione con gli origami
Trisezione con gli origami
Tutti i triangoli sono isosceli
Tutti i triangoli sono isosceli