Lezione 16 Costruibilità con riga e compasso.

Lezione 16
Prerequisiti: Lezioni 9, 15.
Costruibilità con riga e compasso.
Definizione 16.1 Sia F un campo, e sia K una sua estensione. Un elemento α ∈ K si dice
costruibile su F se esiste un’estensione 2-radicale di F contenente α .
Questa definizione nasce dalla geometria euclidea del piano. Ricordiamo che un segmento si dice
costruibile con riga e compasso se è possibile costruirlo con un procedimento che preveda
unicamente le seguenti operazioni:
- tracciare rette tra punti dati;
- tracciare circonferenze con un dato centro e passanti per un dato punto;
- intersecare tali rette;
- intersecare tali rette e tali circonferenze;
- intersecare tali circonferenze.
Ricordiamo in particolare che, con riga e compasso, è possibile costruire
-
dato un segmento AB, ed una semiretta di estremo C, un segmento CD sulla semiretta avente la
stessa lunghezza di AB (trasporto di misura);
data una retta, ed un punto esterno ad essa, una parallela passante per il punto;
data una retta, ed un punto, una perpendicolare passante per il punto;
dato un angolo α, ed una semiretta, un angolo, sulla semiretta, uguale ad α.
Inoltre è possibile
-
bisecare un segmento;
bisecare un angolo.
Si dice che un numero reale α è costruibile, se è possibile costruire con riga e compasso un
segmento avente lunghezza α . Naturalmente, ciò ha senso solo se si è fissato nel piano un
segmento di lunghezza unitaria.
Proposizione 16.2 Supponiamo che α e β siano numeri reali costruibili. Allora i numeri
α + β , α − β , αβ , e, se β ≠ 0 ,
α
, sono costruibili. In
β
β
particolare, tutti i numeri razionali sono costruibili.
Dimostrazione: Possiamo supporre, senza ledere la
generalità, che α e β siano positivi. La somma e la
differenza sono costruibili mediante il trasporto di
misura. Per costruire il prodotto, si costruiscano, su una
semiretta di estremo A, i segmenti AB e BC di lunghezze
1 e β rispettivamente. Si costruisca quindi una
1
α
γ
semiretta di estremo A perpendicolare alla prima, e su di essa si costruisca il segmento AD di
lunghezza α . Quindi si tracci la retta congiungente B e D e la sua parallela passante per C. Sia E il
suo punto d’intersezione con la seconda semiretta.
Per un noto teorema di geometria elementare, detta γ la lunghezza di DE, vale la proporzione:
γ : α = β : 1 , da cui γ = αβ .
Analogamente si procede per costruire il quoziente.
Proposizione 16.3 Se il numero reale positivo α è costruibile, allora lo è anche
α.
Dimostrazione: Data una retta passante per il punto A, si costruiscano, sulle due semirette uscenti da
A, rispettivamente un punto B tale che AB abbia lunghezza 1 ed un punto C tale che AC abbia
lunghezza α . Si costruisca il punto medio M del segmento BC e si costruisca una circonferenza di
centro M passante per B (e quindi avente BC come diametro). Si conduca la perpendicolare a BC
per A, e sia P un suo punto d’intersezione con la circonferenza.
1
α
Allora, per il Teorema di Talete, il triangolo BPC ha un angolo retto in P. Dal Secondo Teorema di
Euclide segue allora che la lunghezza di AP è α .
Supponiamo ora di aver fissato nel piano un sistema di coordinate cartesiane, e che il segmento di
lunghezza unitaria sia quello di estremi (0,0) e (1,0). Si tratta di costruire un punto che abbia
distanza α dall’origine. Il procedimento con riga e compasso prevede, in generale, di pervenire a
questo punto attraverso una serie di punti intermedi, ottenuti intersecando rette e circonferenze.
All’inizio è possibile costruire solo le circonferenze che hanno (0,0) come centro e passano per
(1,0) (o viceversa), e la retta congiungente (0,0) e (1,0). Queste circonferenze e questa retta hanno
equazioni cartesiane con coefficienti tutti razionali. Il punto d’intersezione di due rette aventi
equazioni a coefficienti razionali è un punto avente coordinate razionali, poiché queste sono le
soluzioni di un sistema lineare 2×2 a coefficienti razionali. Le coordinate dei punti di intersezione di
una retta e di una circonferenza (equivalentemente, di due circonferenze) a coefficienti in Q sono
soluzioni di equazioni quadratiche, e quindi appartengono ad un’estensione 2-radicale di Q.
Pertanto, le coordinate dei punti costruibili con riga e compasso appartengono ad un’estensione 2radicale di Q. Lo stesso vale per le distanze tra due punti siffatti. Quindi ogni numero reale positivo
costruibile appartiene ad un’estensione 2-radicale di Q. Viceversa, supponiamo che il numero reale
positivo α appartenga ad un’estensione 2-radicale di Q. Allora, in base alle Proposizioni 16.2 e
16.3, α è costruibile. Abbiamo dunque stabilito, in pieno accordo con la Definizione 16.1, (sia pur
su basi informali), il seguente
Teorema 16.4 Un numero reale è costruibile se e solo se appartiene ad un’estensione 2-radicale di
Q.
In particolare, ogni numero costruibile è algebrico. Quindi
Corollario 16.5 Nessun numero trascendente è costruibile. In particolare, non lo è π .
**Nota storica La trascendenza di π fu provata per la prima volta da C.L.F. Lindemann (18521939) nel 1882. La dimostrazione si può trovare, ad esempio, in [Mo], Theorem 14.1. L’interesse
della scoperta è epocale: infatti se ne deduce che, a maggior ragione, π è trascendente, e quindi
non costruibile. Ma π è la lunghezza del lato di un quadrato avente la stessa area di una
circonferenza di raggio unitario. L’importante conclusione, che mise fine a secoli di inutili e, spesso
fantasiosi, tentativi è
Proposizione 16.6 Non è possibile quadrare il cerchio con riga e compasso.
Esistono, però, anche numeri algebrici non costruibili. Come conseguenza del teorema di
moltiplicazione dei gradi per le estensioni algebriche successive, ogni estensione 2-radicale di un
campo F ha su F grado pari ad una potenza di 2. Dal Teorema 16.4 discende quindi:
Corollario 16.7 Il grado del polinomio minimo di un numero costruibile su Q è una potenza di 2.
Dimostrazione: Se α è un numero algebrico, ed n è il grado del suo polinomio minimo su Q, allora
[Q(α ) : Q] = n . Se α è costruibile, per il Teorema 16.4 esiste un’estensione 2-radicale L di Q
contenente α , e quindi Q(α ) . Ma allora, per il Teorema di moltiplicazione dei gradi per le
estensioni successive, n divide [ L : Q] , che è una potenza di 2.
Se ne deduce che, in particolare, il numero 3 2 non è costruibile. Questa è però la lunghezza del
lato di un cubo avente volume doppio rispetto al cubo unitario. Pertanto
Corollario 16.8 Non è possibile duplicare il cubo con riga e compasso.
Inoltre, non è possibile trisecare un angolo qualsiasi con riga e compasso. Infatti
Corollario 16.9 Non è possibile costruire un angolo di 20° con riga e compasso.
Dimostrazione: Costruire un angolo di ampiezza θ equivale, naturalmente, a costruire un segmento
di lunghezza cos θ . In base ad una nota identità trigonometrica, cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ . Poiché
1
1
cos 60° = , segue che
= 4 cos3 20° − 3 cos 20° , quindi cos 20° è radice del polinomio
2
2
3
1
f ( x ) = x 3 − x − ∈ Q[ x ] , privo di radici razionali. Esso è dunque il polinomio minimo di
4
8
cos 20° su Q. Per il Corollario 16.7 segue che cos 20° non è costruibile.
Esistono, naturalmente, angoli che si possono trisecare con riga e compasso, ad esempio, l’angolo di
ampiezza 270°, poiché l’angolo di 90° è costruibile.
Corollario 16.10 Non è possibile costruire con riga e compasso un ennagono regolare.
Dimostrazione: Se un ennagono regolare fosse costruibile con riga e compasso, allora tale sarebbe
ogni suo angolo al centro, che ha ampiezza 40°. Bisecando uno di questi, si costruirebbe allora, con
riga e compasso, un angolo di 20°. Ma ciò contraddice il Corollario 16.9.
I poligoni regolari costruibili con riga e compasso sono stati classificati da Gauss. Il suo criterio è
basato su numeri primi di una forma particolare:
n
Definizione 16.11 Si dice primo di Fermat ogni numero primo della forma Fn = 2 2 + 1 , ove n è un
intero non negativo.
Nota I soli primi di Fermat noti sinora sono
F0 = 3,
F1 = 5,
F2 = 17,
F3 = 257,
F4 = 65.537 .
Informazioni aggiornate sullo stato della ricerca sui primi di Fermat (e sui numeri primi in
generale) sono disponibili al sito della University of Tennessee at Martin: http://primes.utm.edu.
I primi di Fermat sono gli unici primi della forma 2 a + 1 . Infatti:
Lemma 16.12 Sia a un intero positivo tale che 2 a + 1 sia primo. Allora a è una potenza di 2.
Dimostrazione: Supponiamo, per assurdo, che a non sia una potenza di 2. Allora esiste una
decomposizione a = bc, dove b, c sono interi, 0<c<a, e b è dispari. Allora 1 < 2 c + 1 < 2 a + 1 , e
( )
b
2 a + 1 2 c + 1 b−1
= c
= ∑ ( −1) i 2 ci
2c + 1
2 +1
i =0
è un numero intero, per cui 2 c + 1 divide 2 a + 1 . Ciò contraddice l’ipotesi che 2 a + 1 sia primo.
Estendiamo ora la definizione di costruibilità ai numeri complessi.
Definizione 16.13 Un numero complesso si dice costruibile se è costruibile, con riga e compasso, il
punto che lo rappresenta nel piano di Gauss.
I numeri complessi costruibili sono caratterizzati dal seguente teorema, che è utile confrontare con
il Teorema 16.4:
**Teorema 16.14 Un numero α ∈ C è costruibile se e solo se appartiene ad un'estensione normale
di Q il cui grado è una potenza di 2.
Dimostrazione: [I], Theorem 20.18.
Teorema 16.15 (Gauss) Sia n ≥ 3 . Allora il poligono regolare con n lati è costruibile se e solo se
n = 2 m p1 p r ,
ove m è un intero non negativo, e p1 ,..., pr sono primi di Fermat a due a due distinti.
Dimostrazione: Ricordiamo che le radici n-esime dell’unità corrispondono, nel piano di Gauss, ai
vertici di un poligono regolare avente n lati. Quindi la costruibilità di quest’ultimo equivale alla
costruibilità di una radice primitiva n-esima ω dell’unità. Questa condizione di costruibilità, in virtù
del Teorema 16.14, equivale alla condizione che [Q(ω ) : Q] sia una potenza di 2. Poiché, in virtù
della Proposizione 9.6, il polinomio minimo di ω su Q è Φ n ( x ) , si ha [Q(ω ) : Q] = φ ( n) . Se
n = q1e1 qs es
è la decomposizione di n nel prodotto di fattori primi, allora, in base ad una nota formula,
s
φ ( n ) = ∏ qi ei −1 ( qi − 1) .
i =1
Quindi φ ( n ) è una potenza di 2 se e solo se, per ogni indice i = 1,..., s , qi = 2 oppure ei = 1 e
qi = 2 ni + 1 . In virtù del Lemma 16.12, ciò basta per concludere.
Osservazione 16.16 In base al Teorema di Gauss, sono costruibili con riga e compasso i poligoni
regolari aventi 3, 5, 6, 15 lati: costruzioni esplicite sono contenute negli Elementi di Euclide.
Nota storica La scoperta della costruibilità del poligono regolare con 17 lati fu effettuata da Gauss,
allora appena diciottenne, il 30 marzo 1796, come risulta da un’annotazione sul suo diario
personale.
La costruzione del poligono regolare con 257 lati, estremamente lunga e laboriosa, è stata realizzata
da F. J. Richelot: il lavoro originale, che si estende per ben 194 pagine, è stato pubblicato nel 1832,
in forma riassunta, sul "Journal für die reine und angewandte Mathematik" (vol. 9). Il caso di
65.537 lati è stato trattato dal prof. J. G. Hermes di Lingen, Germania: la costruzione, che porta il
titolo di “Diario della suddivisione del cerchio”, fu da lui iniziata il 4 novembre 1879 e terminata
dopo nove anni e mezzo, il 15 aprile 1889: essa occupa circa 200 fogli di grande formato, ed è
attualmente conservata in una cassa presso il Seminario Matematico dell’Università di Göttingen,
Germania.