Matematiche Complementari 16 gennaio 2009

Matematiche Complementari
16 gennaio 2009
1. Nel sistema matematico (P,Sc,0) dei numeri naturali definire l’addizione e la
moltiplicazione e dimostrare che:
xy=1 ⇔ x=1 ∧ y=1
Quali modifiche è necessario apportare alle definizioni ed eventualmente alla
dimostrazione in (P,Sc,1)?
2. E’ possibile determinare, senza eseguire la divisione, la lunghezza del
periodo e dell’antiperiodo del numero
7
? Illustrare il procedimento seguito.
65
12009
+1 ?
Qual è l’ultima cifra del numero 17
divisibile per 7 ?
12009
+1 è
Il numero 17
3. Determinare la funzione polinomiale associata al polinomio x4+2 in Z3[x].
Scrivere un polinomio di quinto grado in Z3[x] che abbia la stessa funzione
polinomiale associata. Come può essere fattorizzato il polinomio x4+2 in
Z3[x] ?
4. Il pentagono regolare è costruibile con riga e compasso? E il poligono regolare
di 15 lati? Giustificare le risposte.
5. Per ciascuno dei seguenti numeri dire se è algebrico o trascendente rispetto a
Q e dimostrare quanto affermato:
log515, loge15, e2i, eπ
Dire se vi sono relazioni di inclusione e/o di isomorfismo fra Q(e), Q( e 2i ),
Q(e2).
Fornire un esempio di:
numero trascendente su Q, algebrico su Q( e 2i ), e non appartenente ad esso
numero algebrico su Q, algebrico su Q( e 2i ), e non appartenente ad esso
Matematiche Complementari
13 febbraio 2009
1. Nel sistema matematico (P,Sc,0) dei numeri naturali definire la
moltiplicazione, e dimostrare che vale la legge di annullamento del prodotto.
Fare la stessa cosa nell’insieme Z dei numeri interi relativi.
2. Nell’insieme
dei numeri naturali definire la relazione di divisibilità e
verificare che si tratta di una relazione d’ordine parziale.
5m+ 2
+ 2 ⋅ 3 5 n +1 è
E’ vero che qualunque siano i numeri naturali m, n 15
divisibile per 11?
3. Trovare il polinomio minimo di
7 + 2i sul campo
.
Considerata l’estensione
7 + 2i ), dire di che tipo di estensione si tratta e
rappresentarne gli elementi. Gli elementi 7 + 7 , i+2, 7 i appartengono a
tale campo? In caso affermativo con polinomi di quale grado in 7 + 2i
possono essere rappresentati?
Dire se vi sono relazioni di inclusione e/o di isomorfismo fra le estensioni
7 + 2i ),
7 − 2i ),
7 ),
i ),
7 i ).
Giustificare tutte le risposte.
4. Dare
la definizione di sistema di numerazione semplice e di sistema di
numerazione complesso.
Considerata poi la successione
 u0 = 1

 u1 = 3
u = 7 n + 1 ∀n > 1
 n
dire se può essere
assunta come sistema di numerazione e, in caso affermativo, illustrarne le
caratteristiche, fornendo opportuni esempi di rappresentazione di numeri.
5. Il poligono di 6 lati è costruibile? E quello di nove? E quello di 30?
Giustificare le risposte
Matematiche Complementari
10 giugno 2009
1. In Z, dopo aver definito la moltiplicazione, enunciare e dimostrare la legge
di annullamento del prodotto.
2. Dimostrare che in ogni terna pitagorica primitiva almeno un numero è
divisibile per 3, almeno un numero è divisibile per 4, almeno un numero è
divisibile per 5.
3. Giustificare, in due modi, la “regola” che consente di passare da un numero
decimale periodico alla sua frazione generatrice.
Esistono numeri periodici in qualunque base di rappresentazione?
Giustificare la risposta
4. Pentagono, decagono e poligono regolare di 15 lati sono costruibili con riga e
compasso.
Spiegare perché e dire poi se è vero che ∀n ∈ N il poligono di 5n lati è
costruibile.
5. Per ciascuno dei seguenti numeri dire se è algebrico o trascendente rispetto
a
e dimostrare quanto affermato:
log72, ln2,
e ln
3
7
Considerate le estensioni (ln2) e ( i3 7 ) dire per ognuna di esse come si
rappresentano gli elementi.
Scelto un elemento di ( i3 7 ) è sempre possibile rappresentarlo con un
polinomio di grado 6 in i3 7 ? Giustificare la risposta e fornire almeno un
esempio.
Matematiche Complementari
9 luglio 2009
1. Nell’insieme dei numeri naturali definire l’operazione di elevamento a
potenza e dimostrare le seguenti proprietà, giustificando i passaggi svolti:
∀x, y, z ∈ P
x y ⋅ x z = x y+ z
∀x, y, z ∈ P
( x y ) z = x y⋅ z
2. Fra i poligoni regolari con un numero di lati multiplo di 3, indicarne due
costruibili con riga e compasso e due non costruibili e per ognuno spiegare
esaurientemente perché è costruibile o non costruibile.
3. Sia n un numero naturale, per quali valori di n
13 n − 1 è divisibile per 9?
Giustificare la risposta
Qual è il resto nella divisione per 13 del numero 22009
?
4. Dare la definizione di sistema di numerazione semplice e di sistema di
numerazione complesso.
Considerare la successione
 u0 = 1

un = 2n + 1 ∀n > 0
e studiarla come
sistema di numerazione.
Considerati poi i sistemi di numerazione con base di rappresentazione,
illustrare un metodo per passare dalla rappresentazione di un numero in una
base a quella in un’altra base ed applicarlo ad un esempio con basi
entrambe diverse dalla base 10.
5. Considerare l’estensione
( 5 2 ) e dare due rappresentazioni diverse di
5
2 +1 con polinomi di grado 6 in 5 2 . E’ possibile rappresentare 5 2 +1 con
un polinomio di secondo grado in 5 2 ? E con uno di quinto?
Fornire un esempio di:
- numero trascendente su ( 5 2 )
- numero algebrico su ( 5 2 ) e non appartenente ad esso