Esercizi relativi agli argomenti del primo incontro (Eventi, probabilità)
1. Supponiamo di lanciare quattro monete da un euro; qual è in questo caso l’insieme dei casi
possibili? In che cosa differisce dal caso dei 4 lanci consecutivi della stessa moneta? Si
lanciano due dadi. Esplicitare in termini insiemistici l’evento ”la somma delle due facce è
7”.
2. Nel lancio di due dadi stabilire se gli eventi “la somma delle due facce è 7” e “almeno una
delle facce è pari” sono
indipendenti e incompatibili
indipendenti ma non incompatibili
incompatibili ma non indipendenti
compatibili e non indipendenti
3. Stabilire se ciascuna delle seguenti famiglie è un’algebra o no, precisando in tal caso quale
degli assiomi non è soddisfatto (in tutte si includano Ω e Ø):
A Nel quadrato di vertici (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) la famiglia Σ dei rettangoli con i lati
paralleli a quelli del quadrato
B Dato un disco la famiglia dei semicerchi.
C Se Ω = N la famiglia di tutti i sottoinsiemi finiti(come ad esempio A = {1, 3, 4, 6, 9}) o a
complementare finito (come ad esempio l’insieme dei naturali più grandi di 13).
4. Scivere in termini insiemistici l’evento “si verificano almeno 3 degli aventi A,B,C,D.
5. I nonni Alberto e Bruna accompagnano i loro 4 nipotini Carmen, Daniela, Enzo e Filippo
al Luna Park; i quattro vogliono andare sull’otto volante, ma arrivati alla biglietteria un
cartello avverte che ‘I minori di 15 anni possono salire solo se accompagnati da un adulto”.
I carrellini dell’otto volante possono alloggiare solo tre persone per volta.
Se Ω = {A, B, C, D, E, F } quali sono i possibili “equipaggi” che possono salire sull’otto
volante?
La famiglia di tutte le terne possibili (cioè senza tenere conto del divieto) più Ω e Ø è
un’algebra?
E la famiglia dei possibili equipaggi, sempre integrata da Ω e Ø?
6. I seguenti colori delle iridi sono recessivi: azzurro, verde, grigio; mentre sono dominanti i
caratteri castano, nocciola, nero. Determinare lo spazio Ω di tutti i possibili accoppiamenti
dei suddetti caratteri e descrivere la famiglia Σ costituita da Ω, Ø, e dagli eventi “l’accoppiamento determina carattere dominante nella prole” e ”l’accoppiamento determina carattere
recessivo nella prole”. Stabilire se Σ è un’algebra.
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7. Un’urna contiene 40 palline, di cui 12 bianche, 11 rosse e 17 verdi. Si estraggono contemporaneamente due palline. Calcolare la probabilità che
a Siano una rossa e una bianca (forza grifo!)
b Siano una rossa e una verde (forza fere!)
8. Calcolare la probabilità che lanciando contemporaneamente 3 monete si presenti almeno una
testa.
Esercizi relativi agli argomenti del secondo incontro
(Teoremi sulla probabilità, Teorema di Bayes)
1. Mostrare che due eventi incompatibili e di probabilità positiva non possono essere indipendenti.
2. Dall’urna del gioco del lotto è uscito un numero contenente un multiplo di 4. Calcolare la
probabilità di aver estratto un numero divisibile per 6.
3. Lanciando due dadi, qual è la probabilità che una faccia presenti il numero 2? Calcolare in
questo caso la probabilità che la somma delle due facce dia 6.
4. Calcolare la probbailità che lanciando un dado esca il numero 3 o il numero 5.
5. Estraendo una carta da un mazzo da 40 calcolare la probabilità che sia un asso o una carta
rossa.
6. Calcolare la probabilità che lanciando un dado si abbia una faccia maggiore di 4 e pari.
7. Un’urna contiene 30 palline di cui 8 verdi, 12 rosse e 10 bianche. Calcolare la probabilità
che estraendone tre almeno una sia verde nei due casi
a) con reimbussolamento
b) senza reimbussolamento
8. Giuseppe dice ad un conoscente ‘Ho due figli e almeno uno dei due è maschio’Qual è la
probabilità che anche l’altro figlio sia maschio? Se Giuseppe avesse detto ‘Ho due figli ed il
minore è maschio’ la risposta alla domanda sarebbe la stessa o sarebbe diversa?
9. Qual è la probabilità di ottenere 8 Teste su 10 lanci di una moneta? E se la moneta fosse
truccata e la probabilità di Testa fosse del 55%?
10. Un sistema di allarme è formato da 3 meccanismi indipendenti le cui probabilità di guastarsi
sono p1 = 0, 2; p2 = 0, 1; p3 = 0, 3. Due di essi si guastano a causa di un corto circuito. Qual
è la probabilità che si siano guastati, a prescindere dall’ordine, i primi due?
11. Se due eventi E e C sono tali che P (E|C) = P (C|E) allora essi non possono essere
a) incompatibili;
b) indipendenti;
c) equiprobabili;
d) nessuna delle precedenti, possono accadere tutte e tre le eventualità.
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12. Un negozio di articoli elettrici si rifornisce di lampadine da due ditte A e B. Le lampadine
sono disposte in due contenitori self-service; nel primo ce ne sono 30 della ditta A e 15 della
ditta B, mentre nel secondo contenitore ce ne sono 20 della ditta A e 30 della ditta B.
Se un cliente porta alla cassa per pagarla una lampadina proveniente dalla dita A, qual è la
probabilità che si sia servito dal primo contenitore?
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