Formula della PROBABILITA` TOTALE e FORMULA di BAYES

Formula della PROBABILITA' TOTALE e
FORMULA di BAYES
Andrea Bonollo
08/02/2012
1
PROBABILITA' COMPOSTA (LEGGE DEL PRODOTTO)
•
P(A∩E) = P(E)
·
•
A Stocasticamente indipendente da E
P(A|E)
⇒P(A∩B)
= P(E)
·
P(A) (Legge
di Fattorizzazione)
FORMULA DELLA PROBABILITA' TOTALE
•
Insieme di possibili scenari, (cause) alla base di un esperimento
A1 , A2 , ..., AM Partizione di
•
Ω
con P(A1 ), P(A2 ) ... P(AM )
E RISULTATO ESPERIMENTO
P(E|A1 ), P(E|A2 ) ... NOTE.
PROBLEMI
1. P(E) Probabilità totale di E
2. P(Am |E)
{m = 1...M }2
Formula di Bayes
Dimostrazione Formula della Probabilità Totale
1 PROBABILITÀ A
2 PROBABILITA' A
PRIORI, INIZIALI.
POSTERIORI, FINALI
2
1 NOTE.
E= E∩Ω = E∩(A1 ∪A2 ∪ AM ) = (E
P(E) =
M
X
P(E∩Ai ) =
M
X
i=1
∩A1 ) ∪
P(Ai )
·
(E
P(E|Ai )
∩
A2 )
∪
→Media
...
∪(E ∩AM )
ponderata di P(E|Ai )
i=1
con PESI P(Ai ).
FORMULA DI BAYES
•
E si è VERIFICATO
•
QUAL' E' LA PROBABILITA' CHE A PRODURLO SIA A1 ? P(A1 | E) ?
P(A1 | E ) =
P (A1 ∩ E)
=
P (E)
P (A1 ) · P (E|A1 )
M
X
P (Ai ) · P (E|Ai )
i=1
Esempio
RISULTATO: E = BIANCA
A1 →C , A2
→T
P(A1 ) = P(A2 ) = 1/2
3
P(E|C) = 1/2 , P(E|T) = 1/10
Probabilità totale E
P(E) = P(C)
· P(E|C) + P(T) · P(E|T) =
1
2
·
1
1
2 + 2
·
1
1
1
5+1
6
10 = 4 + 20 = 20 = 20
Formula di Bayes
P(C|E) =
P (C) · P (E|C)
1/4
1
=
PT OT (E)
6/20 = 4
P(T|E) = 1 - P(C|E) = 1 -
· 20
6
=
5
6
5
1
6 = 6
SCENARI
PROBABILITA' A PRIORI
PROBABILITA' A POSTERIORI
CROCE
1/2
5/6
TESTA
1/2
1/6
4