Lezione sulla equazione di Ampere

La legge di Ampere-Maxwell e la corrente di spostamento:
le equazioni di Maxwell
0.1
La legge di Ampere è inadeguata
Le equazioni dell’elettromagnetismo nel vuoto si presentano a metà del diciannovesimo secolo
nella forma1 :
∇ · E = ρ/ε0
∂B
∇×E = −
∂t
∇·B = 0
∇ × B = µ0 J
Legge di Gauss (o Coulomb) (1835)
(1a)
Legge di Faraday Neumann (1831)
(1b)
Assenza di monopoli magnetici
Legge di Ampere (1826)
(1c)
(1d)
Il fatto di metterci nel vuoto non cambia la sostanza del discorso che intendiamo fare. La
generalizzazione al caso in cui c’è la materia verrà illustrato più avanti.
Quando i campi variano nel tempo tali equazioni sono solo parzialmente corrette. In particolare
la legge di Faraday-Neumann (8b) (1835 circa) è corretta ma non cosı̀ si può dire per la legge
di Ampere (1d).
Guardando alle equazioni di sopra è si osservano due importanti asimmetrie tra campo elettrico
e campo magnetico. Lasciamo per ora da parte il fatto che c’è la materia, le considerazioni che
stiamo per fare si adattano bene anche al caso in cui ho solo E e B.
• Dalle due prime equazioni riguardanti la divergenza dei campi si evince che mentre esiste
una carica elettrica che produce il campo elettrico la stessa cosa non si puødire per il
campo magnetico. Allo stato attuale non c’è nessuna evidenza di cariche magnetiche
singole (monopolo magnetico). Per simmetria, se vi fossero delle cariche magnetiche
saremmo portati a introdurre una corrente magnetica nella seconda equazione (1.b).
• L’equazione (1b) di Faraday-Neumann ci dice che una variazione temporale del campo
magnetico produce un campo elettrico. Un’analoga equazione a parti invertite non c’è.
A parte queste argomentazioni di simmetria che non possono essere comunque decisive, le
equazioni (1) sono comunque incomplete e contengono una contraddizione che andiamo di
seguito ad illustrare.
1 La
forma delle equazioni di Maxwell cosı̀ come la conosciamo ora in termini dei due vettori E e B nel vuoto
e E, B, D e H nella materia si deve a Oliver Heaviside (1850-1925), che tradusse le scomode 20 equazioni scalari
di Maxwell in un formalismo vettoriale più compatto e più comprensibile.
Caso locale
Si può innanzitutto osservare che la legge di Ampere, cosı̀ come scritta in alto, ci porta
all’equazione di continuità (basta prendere la divergenza):
∇·J = 0
(2)
Questa è l’equazione di continuità solo nel caso in cui le cariche e le correnti sono costanti.
Nel caso in cui queste variano nel tempo, sappiamo che la corretta equazione di continuità è:
∂ρ
=0
∂t
Dunque la legge di Ampere sarebbe in contrasto con l’equazione di continuità.
∇·J+
(3)
Caso integrale:
Consideriamo ora la formulazione integrale della legge di Ampere:
I
B · ds = µ0 i
(4)
detto anche teorema della circuitazione. In base a tale teorema, la circuitazione del campo B su
una linea chiusa è pari alla corrente concatenata con il circuito su cui integriamo (moltiplicata
per µ0 ).
Consideriamo ora un circuito in cui sia presente un condensatore e facciamo la circuitazione
di B su un percorso chiuso intorno al filo vicino ad una delle armature del condensatore
(Figura 1). Non ho vincoli su quale superficie prendere per fare il flusso della densità di
corrente purchè questa abbia come contorno il percorso di integrazione. D’altra parte se la
superficie interseca il file ho come risultato la corrente i mentre se passa tra le armature del
condensatore ho come risultato zero.
Anche in questo caso siamo evidentemente in presenza di cariche che variano nel tempo, accumulandosi sulle armature del condensatore (dq/dt 6= 0).
i
C
Figure 1 Circuitazione di B intorno al filo di un circuito. A seconda di quale superficie prendo il
risultato cambia. In particolare se questa interseca il filo elettrico ho come risultato la corrente i mentre
se questa passa tra le due armature del condensatore ho zero.
2
0.2
La legge di Ampere-Maxwell
Il problema viene brillantemente risolto da Maxwell (1861).
Bisogna introdurre qualche termine che contenga la densità di carica (infatti è questa che
manca per ottenere l’equazione di continuità). Maxwell corregge l’equazione di Ampere aggiungendo alla corrente il termine ε0 µ0 ∂ E/∂t e la nuova equazione diventa:
∂E
(5)
∂t
Facendo la divergenza a destra e a sinistra dell’equazione otteniamo esattamente l’equazione
di continuità voluta (utilizzando l’equazione di Gauss ∇ × E = ρ). Al nuovo termine si da’ il
nome di corrente di spostamento ed in particolare
∇ × B = µ0 J + ε0 µ0
Js = ε0
∂E
∂t
(6)
è la densità di corrente di spostamento.
Anche l’equazione integrale viene modificata di conseguenza e diventa
∂E
∂ Φ(E)
· n dS = µ0 i + µ0 ε0
= µ0 (i + is )
(7)
∂t
S ∂t
Nel caso semplice di un condensatore piano si dimostra facilmente che il flusso del vettore a
secondo membro della (5) è identicamente nullo o, in altre parole, che la corrente che passa
sul filo (flusso fatto attraverso un superficie che interseca il filo) è esattamente uguale alla
corrente di spostamento (flusso fatto all’interno del condensatore della densità di corrente di
spostamento).
Le nueove equazioni di Maxwell (1863) sono allora:
I
B · ds = µ0 i + µ0 ε0
Z
∇ · E = ρ/ε0
∂B
∇×E = −
∂t
∇·B = 0
∂E
∇ × B = µ0 J + µ0 ε0
∂t
Legge di Gauss (o Coulomb) (1835)
(8a)
Legge di Faraday − Neumann (1831)
(8b)
Assenza di monopoli magnetici
(8c)
Legge di Ampere − Maxwell (1863)
(8d)
Le consequenze delle nuove equazioni sono enormi. Una variazione nel tempo del campo
magnetico produce un campo elettrico (variabile nel tempo anch’esso). Ma d’altra parte un
campo elettrico variabile nel tempo produce un campo magnetico. Si produce in questo modo
un fenomeno autoconsistente che si può facilmente vedere porta all’esistenza di onde elettromagnetiche. Tali onde possono propagarsi anche nel vuoto e la loro velocità vale
1
v= √
ε0 µ0
(9)
Lo stesso Maxwell con i parametri allora calcolò tale velocità e ottenne il valore v ' 310000 km/s.
La vicinanza di tale valore con la velocità della luce c portò Maxwell alla conclusione che con
grande probabilità anche la luce doveva essere un’onda elettro-magnetica.
3
0.2.1
Evidenza sperimentale dell’effetto
Proviamo a vedere come e quanto può essere messo in evidenza l’effetto della corrente di
spostamento in un caso pratico.
A tal fine consideriamo il caso di un condensatore piano caricato in modo tale da fornire un
campo elettrico al suo interno pari a E(t) = E0 sin ωt. Tale campo produrrà all’interno del condensatore un campo magnetico dato dall’equazione (5) in cui non c’è corrente di conduzione
(J = 0).
Σ
E
B
r
Figure 2 Circuitazione di B intorno al filo di un circuito. A seconda di quale superficie prendo il
risultato cambia. In particolare se questa interseca il filo elettrico ho come risultato la corrente i mentre
se questa passa tra le due armature del condensatore ho zero.
Il campo magnetico prodotto da tale corrente di spostamento è lungo delle circonferenze concentriche, perpendicolari al campo elettrico, sul piano del condensatore. Per calcolarlo conviene applicare la legge di Ampere-Maxwell in forma integrale
I
B · ds = µ0 ε0
∂E
∂ Φ(E)
· n dS = µ0 i + µ0 ε0
∂t
S ∂t
Z
(10)
che nel nostro caso produce:
µ0 ε0 E0 rω cos ωt
(11)
2
Tale campo magnetico produrrà una certa f .e.m. nel nostro toroide, per calcolare la quale
basterà applicare la legge di Faraday-Neumann e cioè calcolare la derivata rispetto al tempo
del flusso di tale campo con le N spire del toroide.
2πrB = µ0 ε0 πr2 ωE0 cos ωt
f .e.m. = −
⇒
B(r,t) =
∂ Φ(B) 1
E0 rNΣω 2 sin ωt
= µ0 ε0 E0 NΣrω 2 sin ωt =
∂t
2
2c2
(12)
Prendendo come valori r = 10 cm, Σ = 3 cm2 , E0 = 1000 V/m, N = 600 e ω = 107 rad/s
otteniamo una f .e.m di 10 mV, molto più piccolo del campo introdotto nel condensatore e per
vedere qualcosa bisogna andare a frequenze molto alte (ω > 107 Hz). La ragione di ciò è nel
fattore c2 a denominatore.
0.2.2
Esempio accademico della sfera radioattiva
Un interessante esercizio sulla corrente di spostamento è il seguente. Si supponga di avere una
sfera radioattiva che emette elettroni β − in modo isotropo. Calcoliamo il campo magnetico
prodotto dalla sfera.
4
Il numero di neutroni liberi di decadere diminuisce come
N(t) = N0 exp−t/τ
(13)
e quindi la sfera acquista una carica Q(t) = e[N0 − N(t)] > 0. Iniziamo assumendo v costante
e r/v, cioè un decadimento cosı̀ lento da essere approssimabile ad un processo costante. Gli
elettroni generano una corrente
Jr (r) = (−e)(−Ṅ)/4πr2
(14)
che non dipende da v. Tale corrente è complessivamente negativa in quanto c’è un certo n
umero di elettroni che esche dalla sfera. Il campo magnetico è zero in quanto la corrente di
spostamento cancella Jr :
eṄ
(15)
4πr2
Per capire se questa cancellazione è un accidente del caso semplificato che abbiamo considerato, o se è invece dovuta a qualche motivo più profondo, consideriamo casi progressivamente
meno semplici. Se il decadimento è veloce, τ ' r/v, in generale
Js (r) = ε0 Ėr = −
Jr (r,t) =
eṄ(t − r/v)
4πr2
(16)
il numero di elettroni che attraversano una superficie a distanza r al tempo t dipende da quanti
ne erano stati emessi al tempo t − r/v. La cancellazione fra J e Js rimane perfetta in quanto
Er (r) è determinato dalla carica totale dentro una sfera di raggio r (teorema di Gauss), che
contiene la sfera radioattiva ed una nuvola di elettroni, eguale a e[N0 −N(t −r/v)]. Si ha ancora
J + Js = 0. Il calcolo diventa ancora più complicato se si tiene in conto che v non è costante,
in quanto la forza di Coulomb rallenta i positroni. Il calcolo è complicato, e non verrà svolto
tuttavia si può dimostrare che J e Js si cancellano ancora, in quanto entrambe proporzionali a
Ṅ calcolato a qualche istante ritardato. Il ritardo non è più r/v ma è dato da qualche formula
complicata che non è necessario calcolare. Sebbene venga qualche i(r) = 4πr2 Jr (r) complicata
si ha sempre B = 0. È quindi naturale domandarsi quale sia il motivo generale. Una corrente
a simmetria sferica non pu‘o generare un campo magnetico, che dovrebbe avere solo una
componente Br (r), ma questa dà rotore zero. Dunque, dalla IV equazione di Maxwell si ottiene
che J + Js = 0.
0.3
Generalizzazione delle nuove equazioni al caso in cui c’è la materia
Nel caso in cui c’è la materia, le equazioni di Maxwell si complicano leggermente. In particolare è utile introdurre due nuovi vettori che descrivono la polarizzazione e la magnetizzazione nella materia (sono rispettivamente la densità di polarizzazione e la densità di magnetizzazione) nel modo:
P = np
M = nm
(17)
dove n è la densità di atomi o molecole (responsabili del fenomeno) per unità di volume e
p e m sono rispettivamente il momento di dipolo elettrico e il momento di dipolo magnetico
dell’atomo o molecola.
5
È a quasto punto comodo introdurre altri due campi vettroriali, attraverso le due equazioni di
stato:
D = ε0 E + P
H=
B
−M
µ0
(18)
D è il vettore induzione dielettrica mentre H è il campo magnetico nella materia (spesso B
è detto induzione magnetica e H campo magnetico). L’utilità dei campi D e H sta nel fatto
che sono costruiti in modo tale (attraverso la loro relazione con P e M rispettivamente) che
essi ”vedono” solo le cariche libere e le correnti di conduzione (quelle macroscopiche che
mettiamo noi).
Le equazioni di Maxwell diventano allora:
∇·D = ρ
∂B
∇×E = −
∂t
∇·B = 0
∂D
∇×H = J+
∂t
(19a)
(19b)
(19c)
(19d)
Da queste equazioni come già osservato discende l’equazione di continuità (3).
Se a queste equazioni aggiungiamo l’equazione che descrive la forza di Lorentz
F = q(E + v × B)
(20)
abbiamo tutte le equazioni che descrivono l’elettromganetismo.
Situazioni specifiche possono essere descritte da altre equazioni particolari che hanno però una
validità limitata ad alcune situazioni. Una di queste è ad esempio la legge di Ohm che lega la
densità di corrente e il campo elettrico in un condurttore attraverso la legge:
E = σJ
(21)
Un caso importante è quello in cui i vettori P e E e M e H sono a due a due paralleli tra loro.
Tali mezzi si chiamano mezzi lineari. Per essi possiamo scrivere le relazioni:
D = εE = ε0 kE
B = µH = µ0 km H
(22)
In questo caso possiamo riscrivere le equazioni di Maxwell (19) come quelle nel vuoto (8)
purché si sostituisca ε e µ a ε0 e µ0 .
6