A. Chiodoni – esercizi di Fisica II
PRIMA LEZIONE: Legge di Coulomb e campo elettrostatico
Esercizio 1
Tre cariche positive uguali q1=q2=q3=q sono fisse nei vertici di un triangolo equilatero
di lato l. Calcolare (a) la forza elettrica agente su ognuna delle cariche e (b) il campo
elettrostatico nel centro del triangolo.
→ Soluzione
(a) Consideriamo una delle cariche, per esempio la 3, come carica di prova e calcoliamo
la forza elettrica esercitata su di essa dalle altre due cariche. Per far ciò, partiamo
dai campi elettrici generati dalle cariche q1 e q2 e risentiti da q3:
E1 = E 2 =
q
4πε 0 l 2
I contributi delle due componenti lungo l’asse x sono uguali ed opposti per ragioni di
simmetria, pertanto il modulo della risultante del campo elettrico nel punto P3 sarà
dato da:
E = E1 y + E 2 y = 2
q
4πε 0 l
2
cos 30° =
q 3
4πε 0 l 2
r
A questo punto calcoliamo la forza F che agisce su q3=q:
1
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r
r q2 3
uˆ y
F = q3 E =
4πε 0 l 2
(b) Calcoliamo ora il campo elettrico nel centro C del triangolo; data la simmetria del
problema, il contributo di ciascuna carica è uguale a quella delle altre. In modulo,
abbiamo che
E1 = E 2 = E3 =
1
q
4πε 0 r 2
dove
r=
l
3
=
l 3
3
Consideriamo ora il problema dal punto di vista di vettoriale; si ha che:
r r
r
r
E = E1 + E 2 + E3 = 0
in quanto i tre vettori sono disposti come i lati di un triangolo equilatero e la
risultante è nulla. Ciò significa che se ponessimo una carica in C, essa non risentirebbe
di alcuna forza e resterebbe in equilibrio.
Esercizio 2
L’elettrone e il protone in un atomo di idrogeno si trovano a una distanza media
r = 0.53 x 10-10 m, che coincide con le dimensioni dell’atomo. Calcolare l’intensità della
forza gravitazionale e della forza elettrostatica tra il protone e l’elettrone.
→ Soluzione
Calcoliamo le due forze e confrontiamone l’intensità:
forza gravitazionale: Fg = γ
me m p
forza elettrostatica: Fe =
1
r2
=
qe q p
4πε 0 r 2
6.67 × 10 −11 × 9.11 × 10 −31 × 1.67 × 10 −27
= 3.62 × 10 − 47 N
(0.53 × 10 −10 ) 2
= 9 × 10 9
1.6 × 10 −19 × 1.6 × 10 −19
= 8.20 × 10 −8 N
−10 2
(0.53 × 10 )
(
)
come si può notare, Fe è molto più grande di Fg Fe Fg ≅ 2.3 × 10 39 : a livello atomico la
forza gravitazionale è completamente trascurabile rispetto alla forza elettrica.
Esercizio 3
Due sferette di massa m1=m2=m=20g e carica q1=q e q2=2q rispettivamente, sono
appese a due fili di lunghezza l=120 cm, che formano all’equilibrio due angoli θ1 e θ2,
2
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molto piccoli, con la verticale. Calcolare (a) il rapporto θ1/θ2. Se la distanza tra le
sferette all’equilibrio è r= 10 cm, calcolare (b) il valore di q.
→ Soluzione
θ2
θθ2
1
r
(a) All’equilibrio, la risultante R della forza peso e della forza elettrostatica agenti su
ciascuna sfera è diretta lungo il filo, uguale ed opposta alla tensione del filo stesso.
Le due forze hanno moduli:
2q 2
Fe =
4πε 0 r 2
Fg = mg
e se consideriamo le relazioni trigonometriche tra gli angoli di equilibrio e le forze:
Fe = tgθ 2 .Fg → tgθ 2 =
Fe
2q 2
=
Fg 4πε 0 r 2 mg
ma anche
3
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Fe = tgθ 1 .Fg → tgθ 1 =
Fe
2q 2
=
Fg 4πε 0 r 2 mg
Dunque tgθ1 = tgθ 2 → θ1 = θ 2
(b) Considerando che θ1 e θ 2 sono molto piccoli e considerando le relazioni
trigonometriche all’interno dei singoli triangoli,
r
= l sin θ1 = l sin θ 2 ≅ lθ1 = lθ 2
2
Possiamo allora calcolare la carica q:
r
2q 2
tgθ1 ≈ θ1 ≈ =
2l 4πε 0 r 2 mg
4πε 0 r 3 mg
q =
→q=
4l
2
4πε 0 r 3 mg
4l
Inseriamo ora i valori numerici
l = 1.2m
r = 10 −1 m
1
= 9.10 9
4πε 0
10 −9 (0.1) 3 20 × 9.8 10 −9 (0.196)
q =
=
= 10 −9 × 10 −3 × 4.5 = 4.53 × 10 −12 → q = 2.13 × 10 −6 C
(9) × (4) × (1.2)
43.2
2
Esercizio 4
Due sferette di massa m1=m e m2=2m hanno entrambe carica q = 5 × 10 −8 C e sono
sospese a due fili di lunghezza l=120 cm. All’equilibrio i due fili formano due piccoli
angoli θ1 e θ 2 con la verticale. Calcolare (a) il rapporto θ1 / θ 2 . Se la distanza tra le
sferette all’equilibrio è r=10cm, calcolare (b) la massa m.
→ Soluzione
4
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θ1
θθ2
2
r
(a) All’equilibrio, la risultante R della forza peso e della forza elettrostatica agenti su
ciascuna sfera è diretta lungo il filo, bilanciato dalla tensione del filo sterno.
Per la sfera 1 vale:
Fe = Fg tgθ 1 → tgθ 1 =
Fe
q2
=
≅ θ1
Fg 4πε 0 r 2 mg
Per la sfera 2 si ha che:
Fe = Fg tgθ 2 → tgθ 2 =
Fe
q2
=
≅ θ2
Fg 4πε 0 r 2 2mg
Possiamo quindi concludere che θ1 = 2 θ 2
(b) Da relazioni trigonometriche sappiamo che
r=
r
= l sin θ 1 ≅ lθ 1
2
;
r
= l sin θ 2 ≅ lθ 2
2
r r
+ = lθ 1 + lθ 2 = l (θ 1 + θ 2 )
2 2
allora:
θ1 = 2θ 2
r = l (θ1 + θ 2 )
→
r
3l
2r
θ1 =
3l
θ2 =
Allora la massa m si può calcolare come:
5
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3 q 2l
q2
q2
θ1 =
→m=
→m=
2 4πε 0 r 3 g
4πε 0 r 2 mg
4πε 0 r 2θ1 g
810 × 10 −7
3 (5 × 10 −8 ) 2 × 12
9
(
9
×
10
)
→
→ 4.13 × 10 −3 g = 4.13 mg
0.0196
2 (0.1) 3 (9.8)
Esercizio 5
Una carica q è distribuita uniformemente su un sottile anello di raggio R. Calcolare il
campo elettrostatico E sull’asse dell’anello.
→ Soluzione
θ
q
q
costante sull’anello, per cui
=
L 2πR
ciascun elemento dl di anello ha una carica infinitesima dq = λdl . Se consideriamo due
Definiamo la densità lineare di carica come λ =
elementi dl1 e dl 2 di anello diametralmente opposti, di carica dq1 e dq 2 , si ha che le
r
r
componenti lungo l’asse x dei campi elettrostatici dE1 e dE 2 dovute ai due elementi
sono uguale e concordi, mentre quelle lungo l’asse y, essendo uguali e discordi si
elidono. Il campo elettrostatico lungo l’asse x sarà dato di:
dE x ( x) = dE cos θ =
q
4πε 0 r
2
cos θ =
λdl
cos θ
4πε 0 r 2
r
λ cosθ
λ cos θ
→ E ( x) =
uˆ x ∫ dl =
2πR uˆ x
2
4πε 0 r
4πε 0 r 2
l
Poiché r 2 = R 2 + x 2 e cos θ =
x
=
r
x
R2 + x2
6
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r
λR
→ E ( x) =
2ε 0
r
E ( x) =
1
x
λR
uˆ x =
uˆ x
2
2
2ε 0 ( R + x 2 ) 3 / 2
R2 + x2 R + x
x
2
q
x
uˆ x
4πε 0 ( R + x 2 ) 3 / 2
2
Consideriamo i diversi casi:
se x > 0, si ha che il campo elettrostatico è parallelo e concorde all’asse dell’anello
se x = 0, si ha che il campo elettrostatico è nullo
se x < 0, si ha che il campo elettrostatico è parallelo e discorde all’asse dell’anello
se x>>R, E ( x >> R ) =
q
4πε 0 x 2
uˆ x (come se la carica fosse concentrata nel centro
dell’anello)
Esercizio 6
Un disco sottile di raggio R ha una carica q distribuita uniformemente su tutta la sua
r
superficie. Calcolare il campo elettrostatico E sull’asse del disco. Estendere il
risultato al caso in cui R tende all’infinito (piano uniformemente carico).
→ Soluzione
dr, dq
l
R
r
θ
x
P
x
q
q
costante su tutto il disco.
=
S 4πR 2
Ciascun elemento di superficie dS avrà una carica dq = σ .dS . Consideriamo una corona
Definiamo la densità superficiale di carica σ =
circolare compresa tra r e dr+r, assimilabile a un anello di superficie dS = 2πrdr e
carica dq = 2πr σ dr . A distanza x dal centro, il campo elettrostatico sarà dato da:
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r
dE ( x ) = dE cos θ =
.q
4πε 0 l
2
cos θ =
σ .dS
cos θ
4πε 0 l 2
ma
l 2 = r 2 + x2
x = l cos θ ⇒ cos θ =
x
r 2 + x2
allora
r
dE ( x ) =
σ .2πrdr
σ .x.2rdr
x
x
uˆ x
uˆ x =
2
2
2
2 1/ 2
2
4ε 0 ( r + x 2 ) 3 / 2
4πε 0 ( r + x ) (r + x )
Se ora sommiamo tutti i contributi di tutti gli anelli:
r
σ .x R
σ.
2rdr
E ( x) =
uˆ x =
2
2 3/ 2
∫
4ε 0 0 (r + x )
2ε 0
⎛
⎜1 −
⎜
⎝
⎞
⎟ uˆ x
⎟
x2 + R2 ⎠
x
(per risolvere l’integrale, si è proceduto come segue: la regola generale di integrazione
x m +1
per le potenze dice che ∫ x m dx =
, m ≠ −1
m +1
se poniamo
x = (x2 + r 2 )
R
R
⎡ ( x 2 + r 2 ) −1 / 2 ⎤
2
2 −3 / 2
, allora ∫ (r + x )
m = −3 / 2
(2r )dr = ⎢
⎥
⎣ − 1/ 2 ⎦ 0
0
dx = 2rdr
e dunque
R
R
σ . ⎡ ( x 2 + r 2 ) −1 / 2 ⎤
σ. ⎡ − 2 ⎤
σ.
⎥ =
⎢
E=
⎢
⎥ =
2
2
4ε 0 ⎣ − 1 / 2 ⎦ 0 4ε 0 ⎢ ( x + r ) ⎥
2ε 0
⎦0
⎣
⎡
1 ⎤ σ . ⎛⎜
−1
⎥=
⎢
+
⎜1 −
⎢⎣ ( x 2 + R 2 )
x 2 ⎥⎦ 2ε 0 ⎝
⎞
⎟)
2
2 ⎟
x +R ⎠
x
In generale, considerando che il campo è parallelo e concorde all’asse per x > 0, ed è
parallelo e discorde per x < 0, possiamo scrivere che
r
σ . ⎛⎜
E ( x) = ±
1−
2ε 0 ⎜⎝
⎞
⎟ uˆ x = ± q. 2
⎟
2πε 0 R
x2 + R2 ⎠
x
⎛
⎜1 −
⎜
⎝
⎞
⎟uˆ x
⎟
x2 + R2 ⎠
x
Cosa accade per x → 0 , cioè cosa accade se ci avviciniamo al disco a partire dalle
ascisse negative o da quelle positive?
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I due limiti, destro e sinistro sono diversi:
r
r
σ
σ
lim x→0 E + =
uˆ x , lim x →0 E − = −
uˆ x
2ε 0
2ε 0
⇒ nell’attraversare la superficie carica con densità di carica σ , il campo
elettrostatico subisce la discontinuità
r
r
σ
E+ - E − = uˆ x
ε0
Se poi consideriamo un piano indefinito uniformemente carico ( R → ∞ ), si ha che:
r
σ.
E ( x) = ±
uˆ x
2ε 0
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