LICEO CLASSICO
Tipologia A - Trattazione sintetica di argomenti
1.
Si consideri la definizione:
Un poliedro regolare è una figura solida convessa, le cui facce sono poligoni regolari congruenti.
Essa non è corretta: discutere il perché e produrre esempi che lo comprovino.
Estensione risposta: massimo 8 righe e due disegni eventuali.
2.
Si consideri l'enunciato:
Se due triangoli hanno uguali due lati e il seno dell'angolo tra essi compreso essi sono uguali
(congruenti).
Esso non è un teorema; spiegare il perché.
Estensione risposta: massimo 10 righe.
3.
Si espongano i metodi noti (di varia natura: elementare, trigonometrica, ...) per calcolare l'area di un
triangolo; si motivi poi l'equivalenza di due di essi scelti a piacere (si spieghi, cioè, il motivo per cui
due formule portano allo stesso risultato).
Estensione risposta: massimo 15 righe
4.
Descrivere sinteticamente che cosa si intende per risoluzione di un triangolo, illustrando il discorso
con un esempio formulato a piacere. Trovare un esempio in cui, fissati tre elementi (lunghezze dei
lati, seno o coseno degli angoli), non viene univocamente determinato un triangolo.
Estensione risposta: massimo 10 righe.
5.
Si diano le definizioni di parallelismo fra retta e piano e di perpendicolarità fra retta e piano nello
spazio. Considerati poi un cubo ABCDA'B'C'D', il suo spigolo AB e i piani delle sei facce, si dica
quanti e quali di tali piani sono paralleli alla retta AB, e quanti e quali di tali piani sono perpendicolari
alla retta AB. Si tenga presente che, nel caso una retta giaccia su un piano, si intende
che la retta è parallela al piano.
Estensione risposta: massimo 10 righe e un disegno.
6.
Che cosa è, in geometria dello spazio, la proiezione (ortogonale) di un punto P su un piano α?
Tenendo presente che la proiezione di una figura H su un piano α è la figura costituita dalle
proiezioni su α di tutti i punti di H, stabilire se è corretto affermare che:
una retta r è perpendicolare ad un piano α se e solo se la proiezione di r su α si riduce ad un
solo punto H.
Si potrebbe allora dare la seguente definizione?
Una retta r si dice perpendicolare ad un piano α quando la proiezione di r su α si riduce ad un
solo punto H.
Estensione risposta: massimo 10 righe
7.
Dare una definizione di sfera e di superficie sferica. In geografia si parla di meridiani e di paralleli.
Supponendo che la Terra sia una sfera S e che l'asse di rotazione terrestre sia una retta r passante per
il centro di S, come si può procedere per definire in termini geometrici meridiani e paralleli?
Per andare da Napoli a New York (le due città hanno la stessa latitudine) secondo la rotta aerea più
breve, si deve seguire un parallelo?
Estensione risposta: massimo 15 righe.
8.
Determinare l'area di un triangolo rettangolo conoscendo la lunghezza dell'ipotenusa e l'ampiezza di
un angolo acuto. Fissata la lunghezza dell'ipotenusa, per quale ampiezza l'area è massima?
Rispondere poi alle domande precedenti nel caso si fissi la lunghezza di un cateto e si faccia variare
l'ampiezza dell'angolo acuto opposto al cateto.
Estensione risposta: 25 righe e due disegni.
9.
Si vuole stabilire quale delle tre relazioni sussista (α, β sono numeri reali):
1) senα + sen β = sen(α + β)
2) senα + sen β > sen(α + β)
3) senα + sen β < sen(α + β).
a) Per risolvere il problema si consideri la figura seguente:
Le ampiezze degli angoli APB e BPC siano rispettivamente α, β; si utilizzi la disuguaglianza
triangolare tra i lati del triangolo ABC, nel caso in cui α e β soddisfino ad opportune limitazioni. Si
esplicitino tali limitazioni e si enuncino (e facoltativamente si dimostrino) i teoremi eventualmente
utilizzati nella risoluzione.
b) Si risolva il problema usando la seguente identità trigonometrica:
sen(α+β) = senα cosβ+cosα senβ
Estensione risposta: massimo 30 righe e un disegno.
10.
Si consideri il seguente problema: dimostrare che tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato quello
di area massima è il quadrato.
Una sua risoluzione elementare è avviata nel modo seguente:
“Consideriamo tutti i rettangoli aventi perimetro che misura 4p, con p reale positivo. Indichiamo con
p+d e con p−d le misure dei lati di uno di tali rettangoli, essendo d un reale non negativo non
maggiore di p. L’area di tale rettangolo è data dall’espressione algebrica …”
a) Si completi la precedente risoluzione.
b) Si consideri ora il seguente problema: dimostrare che tra tutti i rettangoli di area data quello
avente la diagonale minima è il quadrato. Lo si risolva utilizzando l’identità algebrica:
(a−b)2+2ab = a2+b2
c) Si risolva in modo analogo il problema: tra tutti i triangoli rettangoli di ipotenusa assegnata,
determinare quello di area massima.
Estensione risposta: massimo 25 righe e tre disegni eventuali.
11.
Nel secondo libro degli Elementi di Euclide l’identità algebrica modernamente scritta:
(a+b)2 = a2+2ab+b2
era indicata mediante la figura:
b
a
2
a
a
ab
b
ab
b2
a) Si spieghi come la precedente figura può indicare tale identità.
b) Si indichi come può essere illustrata, in modo analogo al caso ora esaminato, l’identità algebrica:
a2−b2 = (a+b)(a−b)
c) Si indichi come può essere illustrata geometricamente l’identità:
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
Si giustifichino adeguatamente tutte le risposte.
Estensione risposta: massimo 10 righe e due disegni.
12.
Si esamini la nozione di logaritmo in base b di un numero a dandone la definizione, descrivendone le
principali proprietà (o formule significative) [max 20 righe] e l'uso che se ne può fare nella
descrizione di qualche fenomeno naturale (per es. fisico, economico, biologico…) [max 20 righe].
13.
Si definisca la tangente di un angolo e si spieghi perché due angoli complementari (nessuno dei quali
multiplo di π) hanno tangenti una inversa dell'altra.
Come sono le tangenti di due angoli supplementari?
Estensione risposta: massimo 10 righe e due disegni.
14.
a) Si dia la definizione di "seno di un angolo α" (precisando tutte le opportune premesse) [max 5
righe].
b) Si scriva qualche relazione non banale che lega il seno di un angolo α a quello degli angoli -α, 2α,
α/2 ... ecc. [max 10 righe].
c) si descriva qualche legge della fisica che faccia uso della nozione di "seno di un angolo" [max 10
righe].
d) si dia l'enunciato di qualche proprietà o teorema di geometria che faccia uso della nozione di
"seno di un angolo" [max 10 righe].
Risposte e commenti
n.3
Commento. Domanda teorica che dovrebbe permettere a tutti i candidati di scrivere qualcosa e ai
bravi di scrivere di più, ad esempio citando la formula di Erone o le matrici.
n.4
Commento. È una domanda standard, molto semplice. Le possibili difficoltà consistono nella
esposizione in italiano e nella costruzione di esempi.
n.6
Commento. Si tratta di una domanda teorica che richiede una certa attenzione al linguaggio e,
soprattutto, ad aspetti logici.
n.7
Commento. Si tratta di applicare il linguaggio geometrico ad una situazione concreta.
n.8
a)
a
Per via geometrica si può ricordare che, fissata la lunghezza dell'ipotenusa a, tutti i triangoli
rettangoli sono inscritti in una semicirconferenza che ha per diametro l'ipotenusa. Poiché l'area si
1
può esprimere con a h (h misura dell'altezza relativa all'ipotenusa), essa sarà massima quando h
2
è massima: ciò corrisponde ad h uguale al raggio: il triangolo risulta isoscele, con angoli acuti di 45°.
Per via trigonometrica, indicate con a la lunghezza dell'ipotenusa e con α l'ampiezza di uno dei due
angoli acuti, le lunghezze dei cateti saranno date da a cosα e a sinα , rispettivamente.
1
1
L'area A del triangolo è pertanto data da: A = a 2 sin α cosα = a 2 sin 2α .
2
4
π
Per costruzione deve essere 0 < α < .
2
Fissato a, possiamo considerare A come funzione diα . Allora si vede subito che A = A(α ) è una
π
π
funzione crescente rispetto ad α per α <
e decrescente per α > .
4
4
π
Il valore α =
ci dà dunque il valore massimo per l'area del triangolo rettangolo e ciò corrisponde al
4
caso di cateti uguali.
b)
k
A'
A''
Fissata la lunghezza di un cateto, geometricamente si osserva che l'area del triangolo cresce via via
che diminuisce l'ampiezza dell'angolo acuto opposto a tale cateto; contemporaneamente la lunghezza
del secondo cateto cresce, senza limitazioni. Pertanto non esiste un'area massima.
Mediante la trigonometria, ragionando in modo analogo al caso precedente, indicando con k la
lunghezza del cateto considerato e con α l'ampiezza dell'angolo acuto opposto, abbiamo l'area del
triangolo rettangolo data da:
1
1
1
A= k 2
, essendo k
la lunghezza del secondo cateto.
2
tan α
tan α
Questa volta la funzione A = A(α ) è sempre decrescente, per 0 < α <
π
, e non vi sono valori
2
estremi. Non è dunque possibile determinare l'area massima.
Tipologia B - Quesiti a risposta singola
1.
Un cubo è inscritto in una sfera di raggio unitario. Quanto è lungo lo spigolo del cubo? Quanto è
lunga una diagonale di una faccia del cubo? Qual è l'area della superficie totale del cubo?
Estensione risposta: massimo 9 righe ed un eventuale disegno.
2.
Una mosca parte dal vertice A di un cubo ABCDEFGH avente lo spigolo lungo 200 cm; seguendo
sulla superficie del cubo la strada più breve, essa raggiunge il vertice opposto G alla velocità di 5 cm
al secondo. Una formica parte contemporaneamente dal vertice B (adiacente ad A) e raggiunge G alla
velocità di 3 cm al secondo, anch'essa per la via più breve. Quale dei due insetti arriva per primo?
Dopo quanto tempo arriva il secondo?
Estensione risposta: massimo 10 righe ed un eventuale disegno.
3.
Si consideri un cubo. Sia P un punto interno al cubo. Si indichino con x1, x 2 le distanze di P da due
facce parallele del cubo, con y1, y2 le distanze di P da altre due facce parallele, con z1, z2 le distanze di
P dalle rimanenti due facce parallele.
Si calcoli la somma (x1 + x2 + y1 + y2 + z1 + z2).
Si consideri ora un parallelepipedo retto di spigoli a, b, c e un punto P interno ad esso. Si definiscano
x1, x2, y1, y2, z1, z2 in modo analogo al caso del cubo.
Si calcoli la somma (x1 + x2 + y1 + y2 + z1 + z2).
Estensione risposta: massimo 8 righe e due disegni eventuali.
Risposte e commenti
n.1
Risposta: 2 3 3 ; 2 6 3 ; 8.
Commento. È un semplice esercizio che richiede la capacità di rappresentare una figura nello spazio
(per capire che la diagonale del cubo è un diametro della sfera) e la conoscenza delle proprietà
elementari dei radicali. Si può risolvere o impostando una proporzione a partire da un cubo di
spigolo unitario, o con una semplice equazione; alla fine, è probabile che lo studente razionalizzi i
risultati.
n.3
Le distanze di un punto interno al cubo da due facce parallele sono segmenti perpendicolari alle facce
stesse, allineati sulla stessa retta ( adiacenti) ed anche paralleli ad uno spigolo del cubo.
Se a è la lunghezza dello spigolo del cubo, x1 + x2 = a ;
analogamente y1 + y2 = a e z1 + z2 = a.
Pertanto la somma complessiva vale 3 a.
Per il parallelepipedo rettangolo valgono le stesse considerazioni sulla direzione dei segmenti che
determinano le distanze del punto interno P dalle facce; sarà
x1 + x2 = a; y1 + y2 = b; z1 + z2 = c, quindi la loro somma complessiva vale a+b+c.
Tipologia C - Quesiti a risposta multipla
1.
In un parallelepipedo retto ABCDEFGH gli spigoli AB, HG sono paralleli e non appartengono alla
stessa faccia, così pure gli spigoli EF, DC; inoltre il quadrilatero ABGH è un quadrato:
a)
b)
c)
d)
il parallelepipedo ABCDEFGH è un cubo
anche il quadrilatero EFCD è un quadrato
anche il quadrilatero BCHE è un quadrato
un parallelepipedo come quello descritto non esiste
2.
Quale delle seguenti condizioni caratterizza i vertici opposti di un cubo?
a)
b)
c)
d)
il fatto di appartenere a spigoli opposti
il fatto di non appartenere ad uno stesso spigolo
il fatto di appartenere a due distinte facce parallele
il fatto di non appartenere ad una stessa faccia
3.
Quale delle seguenti situazioni caratterizza due distinti piani paralleli, in geometria euclidea dello
spazio?
a) il fatto di contenere due distinte rette parallele
b) il fatto di non contenere due rette sghembe
c) il fatto di non contenere due rette incidenti
d) il fatto di essere perpendicolari ad uno stesso piano
4.
Assumendo che ogni retta sia parallela a se stessa, quale delle seguenti frasi è accettabile come
definizione di rette sghembe, in geometria euclidea dello spazio?
a)
b)
c)
d)
due rette si dicono sghembe se non sono né incidenti né parallele
due rette si dicono sghembe se giacciono su piani diversi
due rette si dicono sghembe se hanno direzioni diverse
due rette si dicono sghembe se non hanno punti in comune
5.
I matematici X ed Y hanno introdotto e studiato i numeri "strani"; si tratta di particolari numeri
naturali, ma noi ignoriamo la definizione. Il matematico X ritiene che tutti i numeri strani siano pari,
ma il matematico Y non è d'accordo.
Che cosa deve fare il matematico Y per dimostrare che il matematico X ha torto?
a)
b)
c)
d)
deve dimostrare che tutti i numeri strani sono dispari
deve dimostrare che alcuni numeri strani sono pari
deve trovare un numero strano dispari
deve trovare un numero strano pari
6.
Perché una mediana di un triangolo sia uguale alla metà del lato che essa divide in due parti:
a)
b)
c)
d)
è necessario e sufficiente che il triangolo sia isoscele
è necessario ma non sufficiente che il triangolo sia rettangolo
è sufficiente ma non necessario che il triangolo sia rettangolo
è necessario e sufficiente che il triangolo sia rettangolo
7.
Una delle seguente affermazioni è vera:
a)
b)
c)
d)
sin 1 = sin 1°
sin 1 < sin 1°
sin 1 > sin 1°
sin 1 e sin 1° non sono confrontabili
8.
Una delle seguenti affermazioni è vera:
a)
b)
c)
d)
tan 1 < tan 2
tan 1 > tan 2
tan 2 = 2tan 1
tan 2 > 2 tan 1
9.
L'equazione 2 sin2 x = 1 ha soluzioni:
π
4
π
b)
4
π
c)
2
π
d)
4
a)
+ kπ , con k intero
kπ
, con k intero
4
kπ
+
, con k intero
2
kπ
+
, con k intero
2
+
10.
Quale delle seguenti uguaglianze vale per ogni numero reale x?
a) sen3 2 x + cos2 x = 1
b) x − 1 = x 2 + x +1
x −1
c) x 2 = x
d) log 10 ( 4 + x) 2 = 2 log 10 (4 + x )
11.
L'uguaglianza log10 (3 − x )2 = 2log10 (3 − x ) in R vale:
a)
b)
c)
d)
per ogni x
per tutti gli x<3
per gli x interni all'intervallo (-3, 3)
per tutti gli x>0
12.
Il coseno di 0,65 vale circa
a)
b)
c)
d)
-0,8
-0,5
0,5
0,8
13.
Una delle seguenti affermazioni in R è vera (a ≠ 1, b ≠ 1)
1
a) log a b −
=0
log b a
1
b) log a b −
=1
log b a
1
c) log a b +
= ab
log b a
1
d) log a b −
=e
log b a
14.
Una delle seguenti uguaglianze in R è falsa
( )
a) 20 x − 5x = 5 x 4 x − 1
b) 23 x + 53 x = 76 x
c) 6 x ⋅12 x = 72 x
d) 2 x + 2 x = 2 x +1
Risposte
n.1
n.2
n.3
n.4
n.5
n.6
n.7
n.8
n.9
n.10
n.11
n.12
n.13
n.14
b
d
c
a
c
d
c
b
d
a
b
d
a
b
Commenti
n.4
Le ultime tre domande coinvolgono conoscenze di geometria dello spazio (saper visualizzare
l'ambiente) e capacità linguistiche (saper descrivere).
n.5
E' una domanda di logica, che non presuppone conoscenze specifiche; come tipologia, richiama
esercizi di gare matematiche.
Tipologia D - Problemi a soluzione rapida
1.
Un terreno ha forma triangolare ABC; si effettuano le seguenti misure: per l'angolo in A 30° 15'; per i
lati AB e AC, rispettivamente 47,15 m e 75,35 m. Si vuole calcolare l'area del campo in m 2 ; se il
display della vostra calcolatrice utilizza 10 cifre e fate i conti per il calcolo dell'area richiesta, quante
cifre sono corrette? Perché?
Se ora poteste scegliere tra uno strumento X che dimezza l'errore relativo per le misure degli angoli
(rimanendo invariato l'errore relativo per le misure dei lati) e uno Y che dimezza l'errore relativo per
le misure dei lati (rimanendo invariato l'errore relativo per le misure degli angoli), che cosa fareste al
fine di ottenere un'informazione più accurata dell'area?
È consentito l'uso di calcolatrice tascabile.
