ISTITUTO MAGISTRALE
Tipologia A - Trattazione sintetica di argomenti
1.
Si consideri la definizione:
Un poliedro regolare è una figura solida convessa, le cui facce sono poligoni regolari congruenti.
Essa non è corretta: discutere il perché e produrre esempi che lo comprovino.
Estensione risposta: massimo 15 righe.
2.
Si diano le definizioni di parallelismo fra retta e piano e di perpendicolarità fra retta e piano nello
spazio. Considerati poi un cubo ABCDA'B'C'D', il suo spigolo AB e i piani delle sei facce, si dica
quanti e quali di tali piani sono paralleli alla retta AB, e quanti e quali di tali piani sono
perpendicolari alla retta AB. Si tenga presente che, nel caso una retta giaccia su un piano, si intende
che la retta è parallela al piano.
Estensione risposta: massimo 10 righe e un disegno.
3.
Dare una definizione di sfera e di superficie sferica. In geografia si parla di meridiani e di paralleli.
Supponendo che la Terra sia una sfera S e che l'asse di rotazione terrestre sia una retta r passante
per il centro di S, come si può procedere per definire in termini geometrici meridiani e paralleli?
Per andare da Napoli a New York (le due città hanno la stessa latitudine) secondo la rotta aerea più
breve, si deve seguire un parallelo?
Estensione risposta: massimo 15 righe.
4.
Ricordiamo che una legge di composizione interna (o operazione binaria) definita in un insieme I è
una funzione Φ :I × I→ I, ovvero una legge che ad ogni coppia ordinata di elementi di I fa
corrispondere uno ed un solo elemento di I (risultato dell'operazione).
a) Nell'insieme Z dei numeri interi si consideri la legge che ad ogni coppia (a, b) ∈ Z × Z associa il
mimino degli interi a, b.
È una legge di composizione interna? Se sì, è associativa? È commutativa?
Si giustifichino adeguatamente tutte le risposte.
b) Nell'insieme N0 dei numeri naturali non nulli si consideri la Φ , definita per ogni coppia
(a, b) ∈ N0 × N0 nel modo seguente:
Φ (a, b) = c
essendo c ∈ N0 un divisore comune dei naturali a, b.
A quale, o quali, proprietà della definizione di operazione binaria l'esempio non soddisfa?
Si giustifichi adeguatamente la risposta.
c) Come può essere modificato l’esempio precedente in modo che la legge considerata sia una legge
di composizione interna?
Si giustifichi adeguatamente la risposta.
Estensione risposta: massimo 20 righe.
5.
Tra tutte le congruenze nel piano si considerino:
σr simmetria assiale di asse la retta r
σs simmetria assiale di asse la retta s
Indichiamo con • il segno di composizione di due congruenze.
1) Se r e s sono distinte e parallele, che tipo di congruenza è σr • σs?
2) Se r e s sono coincidenti, che tipo di congruenza è σr • σs?
3) Se r e s sono coincidenti, che tipo di congruenza è σr • σs • σr?
Siano ora r e s distinte ed incidenti e sia C l’intersezione di r, s. Sia:
σC simmetria centrale di centro il punto C
4) Se r e s sono perpendicolari, che tipo di congruenza è σr • σs?
5) Se r e s non sono perpendicolari, che tipo di congruenza è σr • σs?
6) Se r e s sono perpendicolari, che tipo di congruenza è σr • σs • σC?
Giustificare adeguatamente tutte le risposte.
Estensione risposta: massimo 25 righe e 6 disegni.
6.
Assegnate in un piano una retta r ed una figura F, dire che cosa si intende per figura simmetrica di F
rispetto ad r.
Disegnare poi due figure (a scelta) A e B che siano simmetriche rispetto ad r (l'una simmetrica
dell'altra).
Disegnare ancora due figure (a scelta) C e D che siano simmetriche rispetto ad r (ciascuna
simmetrica di se stessa).
Discutere i due possibili significati della frase X e Y sono figure simmetriche rispetto ad r, facendo
riferimento al connettivo logico "e".
Estensione risposta: massimo 12 righe e tre disegni.
7.
Nel secondo libro degli Elementi di Euclide l’identità algebrica modernamente scritta:
(a+b)2 = a2+2ab+b2
era indicata mediante la figura:
a
b
a
a2
ab
b
ab
b2
1) Si spieghi come la precedente figura può indicare tale identità.
2) Si indichi come può essere illustrata, in modo analogo al caso ora esaminato, l’identità algebrica:
a2−b2 = (a+b)(a−b)
3) Si indichi come può essere illustrata geometricamente l’identità:
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
Si giustifichino adeguatamente tutte le risposte.
Estensione risposta: massimo 6 righe e 2 disegni.
8.
Si consideri il seguente problema: dimostrare che tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato quello
di area massima è il quadrato.
Una sua risoluzione elementare è avviata nel modo seguente:
Consideriamo tutti i rettangoli aventi perimetro che misura 4p, con p reale positivo. Indichiamo con
p+d e con p−d le misure dei lati di uno di tali rettangoli, essendo d un reale non negativo non
maggiore di p. L’area di tale rettangolo è data dall’espressione algebrica…
a) Si completi la precedente risoluzione.
b) Si consideri ora il seguente problema: dimostrare che tra tutti i rettangoli di area data quello
avente la diagonale minima è il quadrato. Lo si risolva utilizzando l’identità algebrica:
(a−b)2+2ab = a2+b2
c) Si risolva ora in modo analogo il problema: tra tutti i triangoli rettangoli di ipotenusa assegnata,
determinare quello di area massima.
Estensione risposta: massimo 25 righe e tre disegni eventuali.
9.
Determinare l'area di un triangolo rettangolo conoscendo la lunghezza dell'ipotenusa e l'ampiezza di
un angolo acuto. Fissata la lunghezza dell'ipotenusa, per quale ampiezza l'area è massima?
Rispondere poi alle domande precedenti nel caso si fissi la lunghezza di un cateto e si faccia variare
l'ampiezza dell'angolo acuto opposto al cateto.
Estensione risposta: 25 righe e due disegni.
Risposte e commenti
n. 8
a)La risposta avviata per l'area del rettangolo si può completare con:
(p+d)(p-d) = p 2 − d 2
Tale espressione è chiaramente massima quando il secondo termine d 2 è nullo.
Ma per d = 0 si ha che p+d = p-d = p, ovvero che il rettangolo è in effetti un quadrato.
b) Consideriamo l'espressione data nella quale a e b indicano le misure dei due lati del rettangolo e
riscriviamola:
a2+b2= (a−b)2+2ab.
A primo membro abbiamo il quadrato della misura della diagonale. Essa sarà minima se (a−b)2+2ab
è minimo. Poiché l'area ab è fissata, e quindi lo è anche 2 ab (positivo), dovrà essere (a-b) 2
minimo, ovvero nullo. Ma in tal caso a = b e dunque il rettangolo con la diagonale minima è un
quadrato.
c) La relazione algebrica precedente (a−b)2+2ab = a2+b2 può essere scritta come
2ab = a2+b2- (a−b)2.
Se con a e b indichiamo le misure dei cateti del triangolo rettangolo, la sua area sarà
1
ab; la
2
misura dell'ipotenusa è data da a 2 + b 2 ; a2+b2 è il suo quadrato. Cercare il massimo dell'area
equivale a cercare il massimo del suo quadruplo 2 ab. L'area sarà allora massima quando l'ultimo
termine a secondo membro è minimo, ovvero quando (a−b)2= 0, e ciò accade per a = b.
n. 9
a)
a
Si può ricordare che, fissata la lunghezza dell'ipotenusa a, tutti i triangoli rettangoli sono inscritti in
1
una semicirconferenza che ha per diametro l'ipotenusa. Poiché l'area si può esprimere con ah (h
2
misura dell'altezza relativa all'ipotenusa), essa sarà massima quando h è massima; ciò corrisponde
ad h uguale al raggio: il triangolo risulta isoscele, con angoli acuti di 45°.
b)
k
A'
A''
Fissata la lunghezza di un cateto, geometricamente si osserva che l'area del triangolo cresce via via
che diminuisce l'ampiezza dell'angolo acuto opposto a tale cateto; contemporaneamente la
lunghezza del secondo cateto cresce, senza limitazioni. Pertanto non esiste un'area massima.
Tipologia B - Quesiti a risposta singola
1.
Si consideri un cubo. Sia P un punto interno al cubo. Si indichino con x1, x 2 le distanze di P da due
facce parallele del cubo, con y1, y2 le distanze di P da altre due facce parallele, con z1, z 2 le distanze
di P dalle rimanenti due facce parallele.
Si esprima la somma (x1 + x2 + y1 + y2 + z1 + z2) e si studi come varia al variare di P.
Si consideri ora un parallelepipedo retto di spigoli a, b, c e un punto P interno ad esso. Si
definiscano x1, x2, y1, y2, z1, z2 in modo analogo al caso del cubo.
Si calcoli la somma (x1 + x2 + y1 + y2 + z1 + z2).
Estensione risposta: massimo 6 righe e un eventuale disegno.
2.
Un cubo è inscritto in una sfera di raggio unitario. Quanto è lungo lo spigolo del cubo? Quanto è
lunga una diagonale di una faccia del cubo? Qual è l'area della superficie totale del cubo?
Estensione risposta: massimo 9 righe e un eventuale disegno.
3.
Dimostrare che la somma di quattro numeri naturali consecutivi è sempre divisibile per 2 e mai per
4 e che il loro prodotto è divisibile per 24.
Estensione risposta: massimo 5 righe.
4.
Una mosca parte dal vertice A di un cubo ABCDEFGH avente lo spigolo lungo 200 cm; seguendo
sulla superficie del cubo la strada più breve, essa raggiunge il vertice opposto G alla velocità di
5 cm al secondo. Una formica parte contemporaneamente dal vertice B (adiacente ad A) e raggiunge
G alla velocità di 3 cm al secondo, anch'essa per la via più breve. Quale dei due insetti arriva per
primo? Dopo quanto tempo arriva il secondo?
Estensione risposta: massimo 10 righe, oltre ad un eventuale disegno.
Risposte e commenti
n.1
Le distanze di un punto interno al cubo da due facce parallele sono segmenti perpendicolari alle
facce stesse, allineati sulla stessa retta ( adiacenti) ed anche paralleli ad uno spigolo del cubo.
Se a è la lunghezza dello spigolo del cubo, x1 + x2 = a ;
analogamente y1 + y2 = a e z1 + z2 = a.
Pertanto la somma complessiva vale 3 a.
Per il parallelepipedo rettangolo valgono le stesse considerazioni sulla direzione dei segmenti che
determinano le distanze del punto interno P dalle facce; sarà
x1 + x2 = a; y1 + y2 = b; z1 + z2 = c, quindi la loro somma complessiva vale a+b+c.
n.2
Risposta: 2 3 3 ; 2 6 3 ; 8.
Commento. È un semplice esercizio che richiede la capacità di rappresentare una figura nello spazio
(per capire che la diagonale del cubo è un diametro della sfera) e la conoscenza delle proprietà
elementari dei radicali. Si può risolvere o impostando una proporzione a partire da un cubo di
spigolo unitario, o con una semplice equazione; alla fine, è probabile che lo studente razionalizzi i
risultati.
Tipologia C - Quesiti a risposta multipla
1.
Se a, b sono due numeri irrazionali, la loro somma a+b:
a)
b)
c)
d)
può essere razionale
è irrazionale
è razionale
è diversa da 0
2.
In un parallelepipedo retto ABCDEFGH gli spigoli AB, HG sono paralleli e non appartengono alla
stessa faccia, così pure gli spigoli EF, DC; inoltre il quadrilatero ABGH è un quadrato:
a)
b)
c)
d)
il parallelepipedo ABCDEFGH è un cubo
anche il quadrilatero EFCD è un quadrato
anche il quadrilatero BCHE è un quadrato
un parallelepipedo come quello descritto non esiste
3.
Quale delle seguenti condizioni caratterizza i vertici opposti di un cubo?
a)
b)
c)
d)
il fatto di appartenere a spigoli opposti
il fatto di non appartenere ad uno stesso spigolo
il fatto di appartenere a due distinte facce parallele
il fatto di non appartenere ad una stessa faccia
4.
Quale delle seguenti situazioni caratterizza due distinti piani paralleli, in geometria euclidea dello
spazio?
a)
b)
c)
d)
il fatto di contenere due distinte rette parallele
il fatto di non contenere due rette sghembe
il fatto di non contenere due rette incidenti
il fatto di essere perpendicolari ad uno stesso piano
5.
Assumendo che ogni retta sia parallela a se stessa, quale delle seguenti frasi è accettabile come
definizione di rette sghembe, in geometria euclidea dello spazio?
a)
b)
c)
d)
due rette si dicono sghembe se non sono né incidenti né parallele
due rette si dicono sghembe se giacciono su piani diversi
due rette si dicono sghembe se hanno direzioni diverse
due rette si dicono sghembe se non hanno punti in comune
6.
I matematici X ed Y hanno introdotto e studiato i numeri "strani"; si tratta di particolari numeri
naturali, ma noi ignoriamo la definizione. Il matematico X ritiene che tutti i numeri strani siano
pari, ma il matematico Y non è d'accordo. Che cosa deve fare il matematico Y per dimostrare che il
matematico X ha torto?
a)
b)
c)
d)
deve dimostrare che tutti i numeri strani sono dispari
deve dimostrare che alcuni numeri strani sono pari
deve trovare un numero strano dispari
deve trovare un numero strano pari
7.
La radice quadrata di 0,65 vale circa:
a)
b)
c)
d)
0,8
0,25
0,08
0,0026
8.
Quale delle seguenti espressioni rappresenta "un terzo del quadrato del doppio di x" ?
2
a)
b)
c)
d)
x
2
3
(2 x) 2
3
2x 2
3
2
2x
3
9.
Perché una mediana di un triangolo sia uguale alla metà del lato che essa divide in due parti
a)
b)
c)
d)
è necessario e sufficiente che il triangolo sia isoscele
è necessario ma non sufficiente che il triangolo sia rettangolo
è sufficiente ma non necessario che il triangolo sia rettangolo
è necessario e sufficiente che il triangolo sia rettangolo
Risposte e commenti
n.1
n.2
n.3
a
b
d
n.4
n.5
n.6
n.7
n.8
n.9
c
a
c
a
b
d
Commento: Le domande n. 2, 3, 4, 5 coinvolgono conoscenze di geometria dello spazio (saper
visualizzare l'ambiente) e capacità linguistiche (saper descrivere).
La n.6 è una domanda di logica che non presuppone conoscenze specifiche; come tipologia,
richiama esercizi di gare matematiche.
Tipologia D - Problemi a soluzione rapida
1.
Un litro di acqua minerale riempie interamente un contenitore di cartone a forma di parallelepipedo con base quadrata di lato 7,0 cm.
a) Qual è l'altezza del recipiente?
b) Se la stessa quantità d'acqua riempie una lattina cilindrica che ha altezza eguale alla precedente,
quanto dev'essere il diametro della base?
c) In un container cubico con spigolo interno di 100 cm, quanti contenitori del primo tipo si
possono collocare?
d) Quante lattine cilindriche?
e) Se il costo del trasporto di un container è il medesimo sia che contenga lattine che cartoni, qual è
l'aggravio percentuale di spesa di trasporto per una lattina rispetto alla spesa per un cartone?
È consentito l'uso di calcolatrice tascabile.
2.
Si deve confezionare una scatola di cartone, a forma di parallelepipedo rettangolo, in cui vanno
riposti 108 cioccolatini aventi la forma di un parallelepipedo rettangolo. Dire, motivando la risposta, che relazione deve esistere fra le lunghezze dei lati della scatola per usare meno cartone
possibile.
Precisare eventuali ipotesi aggiuntive.
