Rette in A3(R
R)
Se le rette sono scritte in forma parametrica allora
x = x A + λl1
r : y = y A + λm1 ,
z = z + λn
A
1
λ ∈R
x = x B + λ l2
s : y = yB + λm2 ,
z = z + λn
B
2
λ ∈R
risultano:
a)
sghembe se
[(l1,m1,n1)]
r
[(l2,m2,n2)]
(xA-xB, yA-yB, zA-zB)
s
l1
det A = det l2
x − x
B
A
m1
m2
y A − yB
≠0
z A − z B
n1
n2
b) complanari se detA=0
b 1)
incidenti se [(l1,m1,n1)]≠ [(l2,m2,n2)];
b2) parallele se [(l1,m1,n1)]= [(l2,m2,n2)]:
b21) distinte se
B
r
A
s
(xA-xB,yA-yB,zA-zB)∉ [(l1,m1,n1)];
b22) coincidenti se
(xA-xB,yA-yB,zA-zB)∈ [(l1,m1,n1)].
Lezione 18
-
Algebra e Geometria - Anno Accademico 2009/10
1
Esercizio 1
Le rette di equazioni
x = 1 + 2t
p: y =t
z = 1 − 2t
x = −1 - 4t
q: y = t
z = -1
t∈R
t∈R
,
le rette sono parallele, incidenti o sghembe?
Svolgimento
[(2,1,-2)] sono i parametri direttori di p,
[(-4,1,0)] sono i parametri direttori di q.
I parametri direttori non sono mai proporzionali:
le due rette non sono mai parallele.
Un punto di p è P=(1,0,1) mentre un punto di q è
Q=(-1,0,-1): il vettore
PQ =(..,..,..)
.. .. ..
det .. .. ......
.. .. .. .
Le rette sono …………...
Esercizio 2
Date le rette di equazioni
Lezione 18
-
Algebra e Geometria - Anno Accademico 2009/10
2
x = 2t
r : y = kt
z = −1 − 2t
t∈R
x = 1 - 4t
s : y = k + t
z = -1
t∈R
,
studiare al variare del parametro reale k la mutua
posizione.
Svolgimento
[(2,k,-2)] sono i parametri direttori di r,
[(-4,1,0)] sono i parametri direttori di s.
Le due rette ………………………… (i parametri
direttori ………………….. proporzionali).
Le due rette sono ……………….. quando:
det
....
cioè per k…...
Riassumendo:
Parallele? …...
Incidenti? …..
Sghembe? …...
Lezione 18
-
Algebra e Geometria - Anno Accademico 2009/10
3
Punto medio
Dati A=(xA,yA,zA) e B=(xB,yB,zB), il punto medio del
segmento AB è di coordinate:
x + x B yA + yB zA + zB
,
,
M= A
2
2
2
z
zB
zM
zA
A
e3
M
O
e1
e2
xA
xM
xB
yA
yM
B
yB
x
Simmetria centrale: analoga a quella data nel piano affine.
Esercizio 3
Determinare le equazioni della retta t′ simmetrica di
3x − y = 0
t:
z + y − 3 = 0
rispetto a C=(1,0,-2).
Svolgimento
Un punto T=(xT, 3xT, 3-3xT) della retta t, con xT∈R,
ha per simmetrico rispetto al punto C il punto
T′=(x,y,z) che soddisfa:
(x+xT)/2=1, (y+3xT)/2=0 , (z+3-3xT)/2=-2
Lezione 18
-
Algebra e Geometria - Anno Accademico 2009/10
4
(equazioni parametriche della retta t′)
Ricavando
dalla
prima
equazione
sostituendola nelle altre due si ottiene:
xT=2-x
e
y − 3x + 6 = 0
t' :
.
z + 3x + 1 = 0
PIANO CARTESIANO E2(R
R)
Sia [O,B] un riferimento euclideo nel piano euclideo
E2(R
R). B è una base ortonormale.
y
P
yP
e2
e1
e1
xP
x
x
condizione di ortogonalità retta-retta:
di parametri direttori [(l1,m1)],[(l2,m2)]
(l1,m1) ° (l2,m2)=0
oppure
ax+by+c=0 e bx-ay+c′=0
distanza punto –punto
P=(xp,yp) Q=(xQ,yQ)
P Q = ( x P − xQ ) 2 + ( y P − y Q )
2
distanza punto –retta
P=(xp,yp)
ax+by+c=0
ax P + by p + c
a2 + b2
Lezione 18
-
Algebra e Geometria - Anno Accademico 2009/10
5
Esercizio 1
Determinare in E2(R) l’equazione della retta passante per
A=(1,-2) ortogonale a r: 2x-3y+1=0.
…
Esercizio 2
Determinare in E2(R) l’equazione delle rette bisettrici degli
angoli formati dalle rette r: 3x+4y-2=0 e s: 4x+3y+1=0.
…
Esercizio 3
Determinare in E2(R) l’equazione della retta parallela a s:
x+2y-5=0 e t: x+2y-2=0 che divide in due parti uguali la
striscia di piano delimitata da s e t.
…
Lezione 18
-
Algebra e Geometria - Anno Accademico 2009/10
6
Definizione di circonferenza
Luogo geometrico dei punti del piano che hanno distanza
costante (pari al raggio) da un punto fisso del piano detto
centro.
Equazione della circonferenza
Prendendo punti P=(x;y) del piano, indicando il centro con
C=(xC,yC) e con r (>0) la misura del raggio, si ottiene:
(x-xC)2+(y-yC)2=r2
da cui la forma canonica
x2+y2+ax+by+c=0
dove C=(-a/2;-b/2)
e
a, b, c∈R
2
2
r = xC + yC − c
Posizione retta-circonferenza
Secante: due punti comuni reali distinti;
Tangente: due punti comuni reali coincidenti;
Esterna: nessun punto comune reale.
Esercizio 1
Determinare in E2(R), se possibile, l’equazione della
circonferenza passante per i punti A=(1,-1),
B=(0,2) e
C=(-3,1).
Lezione 18
-
Algebra e Geometria - Anno Accademico 2009/10
7
Esercizio 2
Determinare in E2(R), se possibile, l’equazione della
circonferenza passante per il punto A=(- 4,0), tangente alla
retta r: y-x=0 nel punto O=(0,0).
Esercizio 3
Determinare in E2(R), se possibile, l’equazione della
circonferenza avente il centro sulla retta c: 5x-2y=0
tangente alla retta r: x=0 e avente raggio di misura 2.
Esercizio 4
Determinare in E2(R), se possibile, l’equazione della
circonferenza avente centro C=(1,2) che stacchi sulla retta
s: y-x-2=0 una corda di misura 2 .
Lezione 18
-
Algebra e Geometria - Anno Accademico 2009/10
8
