programma dettagliato

1. Introduzione alla teoria ingenua degli insiemi. Terminologia sugli insiemi. Simbolo di appartiene e di
non appartiene. Insieme vuoto. Sottoinsiemi. Uguaglianza di insiemi. Unione, intersezione,
differenza di insiemi, complementare (diagrammi di Venn). Prodotto cartesiano di due insiemi.
Partizione di un insieme. Insieme delle parti di un insieme. Cardinalità di un insieme finito.
2. Insiemi numerici: N, Z, Q, R e C. Cardinalità di un insieme infinito.
3. Funzioni. Dominio e codominio. Immagine e controimmagine. Funzione costante. Funzione inversa.
Funzione composta. Funzione identità.
4. Percentuali. Notazione scientifica, ordine di grandezza, cifre significative, approssimazioni.
5. Fattoriale. Coefficiente binomiale. Triangolo di Tartaglia. Binomio di Newton. Combinazioni.
Cardinalità dell'insieme delle parti.
6. Coordinate. Ascissa. Ordinata. Distanza fra due punti. Coordinate del punto medio di un segmento.
7. Funzioni crescenti e decrescenti, concave e convesse, pari e dispari.
8. Il modello lineare: introduzione. Funzioni lineari. Equazione della retta in forma esplicita e in forma
implicita. Coefficiente angolare (pendenza) e ordinata all'origine (intercetta). Casi particolari di
rette. Rette parallele. Rette perpendicolari. Coefficiente angolare di una retta passante per due
punti. Equazione della retta passante per due punti. Equazione della retta noto un punto e il
coefficiente angolare. Intersezione fra due rette. Intersezione di una retta con gli assi cartesiani.
Rette e disequazioni.
9. Equazione della parabola. Concavità. Coordinate del vertice. Intersezioni con gli assi. Parabole e
disequazioni.
10. Iperbole equilatera. Centro di simmetria. Iperboli e disequazioni.
11. Funzioni potenza. Funzione esponenziale.
12. Funzione logaritmica.
13. Seno e coseno.
14. Funzione valore assoluto. Funzione parte intera. Funzioni quasi elementari. Funzioni definite a
tratti.
15. Successioni. Progressioni aritmetiche e progressioni geometriche.
16. Sommatoria: proprietà. La somma dei primi n numeri naturali.
17. Definizione di serie. Somme parziali. La serie di (1/2)^n e di (1/3)^n. Somma di una serie come
limite della successione delle somme parziali. Serie a termini positivi. Serie convergenti e serie
divergenti. Criterio del confronto. Serie geometrica. Somma della serie geometrica. Se una serie
converge, il suo termine generale deve essere infinitesimo. Il numero e come somma di una serie.
Serie armonica. Serie armonica generalizzata. Serie di Mengoli. Serie a segni alterni. La serie di (1/2)^n. Convergenza assoluta. Una serie che converge assolutamente converge anche
semplicemente. Somma dei primi n termini di una successione geometrica. Somma della serie
geometrica.
18. Definizione di limite (finito e infinito) di una successione. Intorno. Limiti notevoli. Criterio di Leibniz.
19. Criteri di convergenza per le serie a termini positivi: confronto, radice, rapporto, integrale.
20. Limite (finito) di una funzione all’infinito. Limite (infinito) di una funzione all’infinito. Limite (finito)
di una funzione in un punto. Limite infinito di una funzione in un punto. Limite sinistro. Limite
destro. Teorema del confronto. Algebra dei limiti. Forme indeterminate.
21. Funzioni continue. Discontinuità di I, II e III specie. Teoremi sulle funzioni continue.
22. Il concetto di derivata di una funzione. Derivata e rapporto incrementale. Derivata e retta tangente.
La funzione derivata. Derivabilità e continuità. Derivate successive. Regole di derivazione.
23. Introduzione ai problemi di massimo e di minimo. Massimi, minimi e punti di flesso. Il metodo dei
minimi quadrati e la proprietà di minimo della media aritmetica. Impiego delle derivate per
risolvere le forme indeterminate.
24. Serie di Taylor (e di Maclaurin).
25. Approssimazione di un'area con rettangoli "da dentro" e "da fuori".
26. Integrale definito. Proprietà. La funzione integrale. Teorema di Torricelli-Barrow.
27. Integrale indefinito. Primitive. Derivazione e integrazione. Alcune primitive "immediate". Calcolo di
volumi. Le primitive quasi immediate. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
28. Integrali impropri. L'integrale di (1/x)^k fra 0 e 1 e fra 1 e infinito.
29. Il criterio di confronto con un integrale per valutare la convergenza di una serie.
30. La serie associata a 1/(1+x) e quella a log(1+x). Integrazione di una serie termine a termine. Una
"primitiva" del seno del quadrato di x.
31. Un cenno alle equazioni differenziali.
32. Probabilità e illusioni cognitive. Il paradosso di Monty Hall. Probabilità e odds. La trasformazione
logit.
33. Calcolo combinatorio: permutazioni, disposizioni, combinazioni senza e con ripetizioni.
34. Diversi approcci alla probabilità. Spazio campionario e spazio degli eventi. Proprietà dello spazio
degli eventi. Eventi compatibili ed eventi incompatibili.
35. La definizione di probabilità come funzione di insieme. Assiomi.
36. Evento impossibile. Evento certo. Alcuni modelli di assegnazione di probabilità ad eventi. Il
problema dei compleanni. Proprietà di una funzione di probabilità. Legge delle probabilità totali. Il
metodo "della tabella".
37. Spazio di probabilità. Probabilità condizionata. Regola del prodotto. Teorema delle probabilità
totali. Il metodo "dell'albero". Indipendenza.
38. Il teorema di Bayes. Probabilità a priori. Probabilità a posteriori. Verosimiglianza. Teorema di Bayes
e test diagnostici.
39. Variabili casuali discrete e continue. Distribuzione di probabilità e funzione di ripartizione di una
variabile casuale. Richieste da rispettare per un modello probabilistico.
40. Modello uniforme discreto; valore atteso e varianza. Valore atteso del quadrato di una variabile
casuale. Una formula alternativa per il calcolo della varianza.
41. Il modello bernoulliano. Distribuzione di probabilità, valore atteso e varianza di una variabile
casuale di Bernoulli.
42. Il modello geometrico. Distribuzione di probabilità, funzione di ripartizione, media e varianza della
distribuzione geometrica.
43. Il modello binomiale. Distribuzione di probabilità, media e varianza della distribuzione binomiale.
Forma della distribuzione binomiale al variare dei parametri n e p.
44. Il modello ipergeometrico. Distribuzione di probabilità, funzione di ripartizione, media e varianza
della distribuzione ipergeometrica.
45. Il modello poissonianio. Distribuzione di probabilità, funzione di ripartizione, media e varianza della
distribuzione di Poisson.
46. Variabili casuali continue. Il modello uniforme continuo. Distribuzione di probabilità, funzione di
ripartizione, media, mediana e varianza della distribuzione uniforme continua.
47. Il modello esponenziale. Distribuzione di probabilità, funzione di ripartizione, media, mediana e
varianza della distribuzione esponenziale.
48. Il modello gaussiano come soluzione di una equazione differenziale. Distribuzione di probabilità,
funzione di ripartizione, media, mediana e varianza della distribuzione gaussiana. L’integrale di
Gauss.