file separato - Dipartimento di Matematica

C.d.L. in Scienze Naturali
Matematica e Statistica Applicate
Docenti L. Pisani, M. Lazzo
programma dettagliato – A.A. 2005/06
Cenni di linguaggio insiemistico
Insiemi, operazioni tra insiemi. Funzioni e relative proprietà (iniettività, suriettività);
funzione composta; funzione inversa.
Insiemi numerici
Assiomi di corpo ordinato. Richiami sui numeri razionali. Insieme R dei numeri reali;
corrispondenza con la retta orientata; intervalli, aperti e chiusi, limitati e illimitati. Piano
cartesiano.
Dati numerici
Rappresentazione decimale dei numeri reali; fattorizzazione con potenze di 10.
Approssimazioni ed errori; Trasmissione dell'errore nelle operazioni. Notazioni con un
numero prefissato di cifre. Dati provenienti da misurazioni. Calcolatrici e sistemi di calcolo
simbolico.
Elementi di algebra lineare
Matrici. Operazioni con le matrici. Determinante di una matrice quadrata. Rango di una
matrice. Matrice identità e matrice inversa. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di
Cramer. Teorema di Rouché-Capelli.
Funzioni reali di variabile reale
Generalità; grafico. Proprietà qualitative: monotonia, punti di estremo, limitatezza,
continuità, convessità. Algebra delle funzioni; composizione. Operazioni sui grafici.
Funzioni potenza ad esponente intero, radici, equazioni e disequazioni binomie. Potenze ad
esponente razionale e reale. Funzioni esponenziali e logaritmiche. Principali basi dei
logaritmi; cambi di variabile logaritmici e semilogaritmici. Funzioni circolari con le rispettive
inverse. Richiami di goniometria e teoremi sui triangoli; applicazioni alla topografia.
Limiti di funzioni e di successioni
Punti di accumulazione. Definizioni di limite. Casi notevoli: continuità in un punto,
discontinuità di salto, asintoti verticali, asintoti orizzontali. Limiti delle funzioni elementari.
Algebra dei limiti; forme indeterminate; limiti notevoli. Classificazione della crescita
all'infinito; asintoti obliqui.
Generalità sulle successioni (in forma esplicita e per ricorrenza). Limiti di successioni.
Numero di Nepero. Progressione e serie geometrica. Semplici esempi di sistemi dinamici
discreti.
Funzioni continue su un intervallo. Teoremi di Weierstrass e di Bolzano.
Calcolo differenziale
Rapporto incrementale medio ed in un punto. Definizione di derivata ed esempi. Punti
singolari (flessi verticali, punti angolosi e cuspidali). Trasmissione dell’errore in una
funzione. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione. Punti di estremo
relativo e Teorema di Fermat (con controesempi).
Funzioni derivabili su un intervallo. Teorema di Lagrange. Caratterizzazione delle funzioni
costanti e delle funzioni monotone su un intervallo. Applicazioni: ricerca dei punti di
estremo, risoluzione qualitativa di equazioni, determinazione di immagini dirette. Teorema
di De l'Hôpital.
Derivata seconda e sua interpretazione geometrica. Caratterizzazione delle funzioni
convesse. Cenni sull’approssimazione locale con polinomi.
Studio del grafico di una funzione.
Calcolo integrale
Primitive ed integrale indefinito. Integrale delle funzioni elementari. Integrazione per
scomposizione e per sostituzione (casi immediati). Integrazione delle funzioni razionali
(radici semplici). Integrazione per parti.
Integrabilità secondo Riemann. Integrale definito e Formula fondamentale del Calcolo
Integrale. Cenni sull'integrale improprio.
Elementi di statistica
Variabili categoriche e quantitative. Rappresentazioni grafiche. Media, mediana, moda.
Varianza, deviazione standard. Percentili, quartili. Insiemi di dati bivariati. Diagramma di
dispersione. Correlazione lineare. Regressione lineare. Retta di regressione dei minimi
quadrati. Tabelle di contingenza. Distribuzioni marginali. Distribuzioni condizionate.
Inferenza statistica. Campione aleatorio. Stima puntuale dei parametri. Intervalli di
confidenza per il parametro di una popolazione bernoulliana e per la media e la varianza di
una popolazione normale. Test delle ipotesi. Significatività. Verifica di ipotesi su una
popolazione bernoulliana e sulla media di una popolazione normale. Test di indipendenza
del chi-quadro. Modello di regressione lineare semplice. Stima sui parametri di
regressione. Verifica dell’ipotesi di assenza di correlazione. Intervalli di previsione.
Elementi di probabilità
Spazio campione. Eventi. Eventi elementari. Assiomi della probabilità. Spazi di esiti
equiprobabili. Cenni di calcolo combinatorio. Probabilità condizionata. Regola del prodotto.
Eventi indipendenti. Variabili aleatorie discrete e continue. Massa e densità di probabilità.
Valore atteso e varianza. Teorema del limite centrale. Variabili aleatorie di Bernoulli,
binomiali, uniformi, normali, chi-quadro, di Student.
(in corsivo sono riportati gli argomenti facoltativi)
Testi consigliati
 V. Villani, Matematica per discipline bio-mediche, McGraw-Hill
 D.S. Moore, Statistica di base, Apogeo
 S. Ross, Probabilità e statistica, Apogeo
 J.R. Taylor, Introduzione all’analisi degli errori, Zanichelli
 G. Naldi, L. Pareschi e G. Aletti, Matematica I, McGraw-Hill
 Dispense a cura dei docenti