programma di geometria
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PROGRAMMA DI GEOMETRIA E ALGEBRA (9 CFU)
2013-2014
INGEGNERIA MECCANICA
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
Definizione di spazio vettoriale e di sottospazio vettoriale. Esempi.
Vettori linearmente dipendenti (risp. indipendenti) : definizione e proprietà.
Definizione di base di uno spazio vettoriale e dei concetti che intervengono.
Dimensione di uno spazio vettoriale. Definizione e proprietà.
Costruzione di una base di uno spazio vettoriale a partire da un insieme finito di generatori.
Teorema che porta al concetto di coordinate. Definizione di coordinate.
Definizione dei vari tipi di matrici.
Prodotto righe per colonne. Definizione. Proprietà.
Matrice invertibile. Definizione e proprietà.
Determinante: definizione e proprietà.
Teorema sulle matrici invertibili: calcolo di A 1 (matrice aggiunta). Dimostrazione che se
A é invertibile allora | A | ... e | A | 1 ....
12) Rango di una matrice. Definizione. Proprietà ( v S …)
13) Sistemi lineari. Teorema di Cramer e teorema di Rouché-Capelli.
14) Sistemi lineari omogenei. Definizione e proprietà.
15) Equazione del piano e proprietà.
16) Perpendicolarità e parallalelismo tra piani. Piano per P0 e parallelo al piano
(dimostrazione delle proprietà).
17) Varie forme delle equazioni della retta.
18) Parametri direttori. Definizione e calcolo.
19) Perpendicolarità e parallelismo tra rette con dimostrazione.
20) Perpendicolarità e parallelismo retta-piano con dimostrazione. Retta per P0 e
perpendicolare al piano . Piano per P0 e perpendicolare alla retta r.
21) Complanarità di due rette.
22) Distanza minima tra due rette.
23) Sfera e circonferenza..
24) Definizione di spazio euclideo reale. Definizione di prodotto scalare in R n . Altre proprietà
degli spazi euclidei reali.
25) Definizione di vettori perpendicolari, norma di un vettore, versore, coefficiente di Fourier,
proiezione di v su w , base ortogonale (ortonormale).
26) Definizione e “costruzione” di una base ortogonale (con dimostrazione che v'1 v' 2 ).
v
27) Definizione e “costruzione” di una base ortonormale (con dimostrazione che
é un
v
versore).
28) Definizione e proprietà di v con dimostrazione che v v .
29) Teorema su M (v) con ortonormale e dimostrazione. Matrice di passaggio tra due basi
ortonormali.
30) Matrice ortogonale: definizione e proprietà con dimostrazione.
31) Matrici simili. Definizione. Proprietà. Dimostrazione che se A B A B .
32) Matrice diagonalizzabile (definizione) e matrici simili.
33) Autovalori. Autovettori. Diagonalizzazione.
34) Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore: definizione e proprietà.
1
35)
36)
37)
38)
39)
Teorema fondamentale per il calcolo degli autovalori e degli autospazi.
Teorema fondamentale sulla diagonalizzazione di A M n (R)
Teorema fondamentale sulla diagonalizzazione di A M n (R) con A simmetrica.
Proprietà degli autovettori di una matrice simmetrica, associati ad autovalori distinti.
Forma quadratica. Definizione e riduzione a forma diagonale con dimostrazione. “
Interpretazione” di ( x1 y1 ) ( xy)U .
40) Forma quadratica (semi) definita positiva: definizione e teorema con dimostrazione.
41) Teorema di Hamilton-Cayley. Decomposizione spettrale di una matrice simmetrica.
42) A : definizione e teorema con dimostrazione.
43) A A1 e AA1 sono matrici simmetriche (dimostrazione).
44) Se A é diagonalizzabile con U ortogonale allora A é simmetrica (dimostrazione).
45) Definizione di tensore e di matrice associata ( Tij ) rispetto ad una base ortonormale
(definizione “generale”).
46) Definizione di tensore trasposto, simmetrico, emisimmetrico, ortogonale e relative
proprietà caratteristiche.
47) T TS TE . Spazio vettoriale LinR 3 .
48) Autovalori e autovettori di T . Definizione e calcolo. Rappresentazione diagonale di un
tensore simmetrico con dimostrazione.
49) Diadi. Definizione e proprietà.
50) Rappresentazione spettrale di un tensore simmetrico.
51) Se v 1 allora v v(w) é la proiezione di w su v (con dimostrazione).
52) Tensore emisimmetrico (in R 3 ) e vettore assiale (dimostrazione che T (v) v1 v
é emisimmetrico).
53) Prodotto di tensori: definizione e proprietà.
54) Prodotto scalare di matrici e prodotto scalare di tensori: definizione e proprietà.
55) S, E 0 con dimostrazione.
56) Teorema generale su diadi e tensori con dimostrazione del teorema di decomposizione
spettrale.
57) Proprietà degli autovettori di un tensore simmetrico associati ad autovalori distinti (con
dimostrazione).
58) Proprietà degli autovalori reali di un tensore ortogonale (con dimostrazione).
59) Matrici a gradini.
60) Applicazioni al calcolo di r ( A) , ai sistemi lineari e al calcolo di A 1 .
61) Definizione di conica. Coniche riducibili. Matrice di una conica. Classificazione delle
coniche.
62) Equazioni canoniche delle coniche.
63) Traslazione degli assi.
64) Metodo del completamento dei quadrati ed applicazione allo studio delle coniche.
65) Riduzione a forma canonica con applicazione delle forme quadratiche (rotazione degli assi).
66) Studio di una conica (tutti i vari casi).
67) Coordinate polari nel piano.
68) Passaggio da coordinate polari a coordinate cartesiane e viceversa.
69) Coordinate cilindriche (semipolari) nello spazio.
70) Passaggio da coordinate cilindriche a coordinate cartesiane e viceversa.
71) Coordinate polari nello spazio (coordinate sferiche).
72) Passaggio da coordinate polari a coordinate cartesiane e viceversa.
73) Equazioni parametriche di una curva nel piano.
2
74) Esempi: equazioni parametriche della retta, della circonferenza, dell’ellisse, dell’iperbole e
della parabola.
75) Equazioni dei cilindri: ellittico, iperbolico e parabolico.
76) Cenno alle equazioni canoniche delle quadriche.
77) Intersezione di una quadrica con piani paralleli ai piani coordinati.
78) Vari esempi su coni e cilindri (nel caso generale).
TESTO CONSIGLIATO:
Giuliano Mazzanti-Valter Roselli
"Appunti di Algebra Lineare, Geometria Analitica, Tensori: Teoria, esempi,...."
Pitagora Editrice, Bologna 2013
Per alcuni argomenti consultare anche:
S. Abeasis- "Algebra Lineare e Geometria", Zanichelli, Bologna
Giuliano Mazzanti-Valter Roselli
Appunti di Algebra Lineare e Geometria Analitica
Pitagora Editrice Bologna 1997
Giuliano Mazzanti-Valter Roselli
Esercizi di Algebra Lineare e Geometria Analitica
Pitagora Editrice Bologna 1997
3
DIMOSTRAZIONE DEI SEGUENTI TEOREMI
(INGEGNERIA MECCANICA)
Sia V uno s.v. su R e siano v1 , v2 , v3 V . Se v1 v3 v2 v3 allora v1 v2 .
Sia V uno s.v. su R e sia S {v1 , v2 ,..., vn } V (n 1). Allora:
a) [S ] é un sottospazio di V ;
b) [ S ] S ;
c) se W é un sottospazio di V e W S allora W [S ] .
Sia V uno s.v. su R e sia S {v1 , v2 ,..., vn } V (n 1). Allora:
a) S {v1} é linearmente dipendente v1 0 ;
b) Se n 1, S é linearmente dipendente esiste un elemento di S che è combinazione
lineare degli altri elementi di S ;
c) se 0 S allora S é linearmente dipendente (non vale il viceversa).
Se (v1 , v2 ,..., vn ) é una base dello s.v. V , allora ogni elemento v V si può
rappresentare in un unico modo come combinazione lineare degli elementi di . (Segue
definizione di M (v) ).
Se A M n (R) é invertibile, allora:
a) l’inversa di A é unica;
b) ( A1 ) 1 A.
Se A, B M n ( R) sono invertibili, allora AB é invertibile e ( AB) 1 B 1 A1 .
Sia A M n (R) . Allora
a) A A1 é simmetrica;
b) A A1 é emisimmetrica;
c) AA1 é simmetrica.
Ogni matrice A M n (R) si può scomporre in un unico modo nella somma di una matrice
simmetrica AS e di una emisimmetrica AE .
1
Se A M n (R) é invertibile, allora | A | 0 e | A 1 |
.
| A|
Se | A | 0 allora
a) AB 0 B 0;
b) AB AC B C.
Se A, B M n ( R) e AB I n allora A e B sono invertibili e A 1 B e B 1 A.
v1
v
Se v1 , v 2 ,..., v n R n , allora {v1 , v2 ,..., vn } é dipendente 2 0.
...
vn
Teorema di Cramer. Se il sistema lineare AX B ha n equazioni in n incognite e | A | 0 ,
allora AX B ha una ed una sola soluzione (non vale il viceversa). Calcolo della soluzione
col “metodo della matrice inversa”.
Teorema di Rouché-Capelli. Il sistema lineare AX B ha soluzione r ( A) r ( A : B).
4
Se
a)
b)
Se
a)
V é uno s.e.r. allora presi v, v1 ,...., vm V , a1 ,...., am R ,
0, v 0 ;
v, a1v1 ... am vm a1 v, v1 ... am v, vm .
V é uno s.e.r. allora
v v ,
v
é un versore,
v
c) v cw w( w 0, v, w V , c coefficiente di Fourier di v rispetto a w ).
v, v1
v, v 2
Se (v1 ,..., vn ) é una base ortonormale di V e v V allora M (v)
.
...
v, v
n
'
'
Procedimento di Gram-Schmidt. v1 v2 .
Se A (aij ) M n ( R) é una matrice ortogonale, allora
b) Se v 0 , allora
a) le righe (colonne) di A formano una base ortonormale di R n e viceversa,
b) | A | 1 (non vale il viceversa),
c) Aij aij (non vale il viceversa).
Se A, B M n ( R) sono matrici ortogonali, allora AB é ortogonale.
Geometria analitica e s.e.r. Dimostrazioni delle condizioni di perpendicolarità e di
parallelismo “rette-piani”.
La relazione di similitudine tra matrici é una relazione di equivalenza (riflessiva-simmetricatransitiva).
Se é un autovalore di A M n (R) allora V é un sottospazio di R n .
Se A M 2 ( R) allora A ( ) 2 tr( A) | A | .
Teorema fondamentale per il calcolo degli autovalori e degli autospazi.
m.g. di n r (I A).
Se A M n (R) é diagonalizzabile con U ortogonale, allora A é simmetrica.
a) 0 é autovalore di A | A | 0.
b) Se x1 , x2 sono autovettori di A associati agli autovalori 1 , 2 con 1 2 , allora
x1 , x2 sono linearmente indipendenti.
c) A B A ( ) B ( ), | A || B | .
d) Se é autovalore di A e x é un relativo autovettore, allora 2 é autovalore di A 2 e
x é un autovettore di A 2 .
Se G é una matrice a scala, allora r (G ) numero di righe non nulle di G .
Teorema sulla riduzione a forma diagonale di una forma quadratica.
Teorema sulle forme quadratiche definite (semi-definite) positive.
Se A M n (R) é simmetrica e (semi-) definita positiva, allora esiste una (unica) matrice B
simmetrica e (semi-) definita positiva tale che B 2 A. Segue definizione di
Teorema sulla rappresentazione diagonale di un tensore simmetrico.
Esistono tensori che non sono diadi.
Se v 1 allora v v(w) é la proiezione di w su v .
A.
5
Se v1 ( x1 , x2 , x3 ) allora la matrice del tensore emisimmetrico di vettore assiale v1 è
x3 x 2
0
Av1 x3
0
x1 .
x
x1
0
2
Teorema di decomposizione spettrale di un tensore simmetrico.
Se S é un tensore simmetrico ed E un tensore emisimmetrico, allora S , E 0 .
Autovettori di un tensore simmetrico associati ad autovalori distinti sono ortogonali.
Se R é un autovalore di un tensore ortogonale allora 1.
a) v w é un tensore,
b) v w v w .
Se (v1 ,..., vn ) é una base ortonormale dello s.e.r. V allora
a) vi v j 1 ,
b) vi w j v h v k se i h oppure j k .
Da coordinate polari a coordinate cartesiane e viceversa.
Da coordinate polari (sferiche) nello spazio a coordinate cartesiane e viceversa.
Da coordinate cilindriche (semipolari) nello spazio a coordinate cartesiane e viceversa.
N.B. Non tutti gli enunciati sono riportati in modo completo (le indicazioni permettono
comunque di individuarli correttamente).
TESTO CONSIGLIATO:
Giuliano Mazzanti-Valter Roselli
"Appunti di Algebra Lineare, Geometria Analitica, Tensori: Teoria, esempi,...."
Pitagora Editrice, Bologna 2013
Per alcuni argomenti consultare anche:
Giuliano Mazzanti-Valter Roselli
Appunti di Algebra Lineare e Geometria Analitica
Pitagora Editrice Bologna 1997
Giuliano Mazzanti-Valter Roselli
Esercizi di Algebra Lineare e Geometria Analitica
Pitagora Editrice Bologna 1997
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