DIMOSTRAZIONE DEI SEGUENTI TEOREMI
(INGEGNERIA MECCANICA )
2013-2014
Le seguenti dimostrazioni sono fondamentali ma non
rappresentano la totalita’ di quelle svolte a lezione.
(Teorema di caratterizzazione del sottospazio generato)
Sia V uno s.v. su R e sia S {v1 , v2 ,..., vn } V (n 1). Allora:
a) [S ] é un sottospazio di V ;
b) [ S ] S ;
c) se W é un sottospazio di V e W S allora W [S ] .
(Teorema di caratterizzazione dei sottoinsiemi linearmente dipendenti )
Sia V uno s.v. su R e sia S {v1 , v2 ,..., vn } V (n 1). Allora:
a) S {v1} é linearmente dipendente v1 0 ;
b) Se n 1, S é linearmente dipendente esiste un elemento di S che è combinazione
lineare degli altri elementi di S .
(Teorema che porta al concetto di coordinate di un vettore rispetto ad una base)
Se (v1 , v2 ,..., vn ) é una base dello s.v. V , allora ogni elemento v V si può
rappresentare in un unico modo come combinazione lineare degli elementi di . (Segue
definizione di M (v) ).
Se A, B M n ( R) sono invertibili, allora AB é invertibile e ( AB) 1 B 1 A1 .
Sia A M n (R) . Allora
a) A A1 é simmetrica;
b) A A1 é emisimmetrica;
c) AA1 é simmetrica.
1
.
| A|
Se A M n (R) é invertibile, allora | A | 0 e | A 1 |
Se | A | 0 allora
a) AB 0 B 0;
b) AB AC B C.
Se A, B M n ( R) e AB I n allora A e B sono invertibili e A 1 B e B 1 A.
Teorema di Cramer. Se il sistema lineare AX B ha n equazioni in n incognite e | A | 0 ,
allora AX B ha una ed una sola soluzione (non vale il viceversa). Calcolo della soluzione
col “metodo della matrice inversa”.
Teorema di Rouché-Capelli. Il sistema lineare AX B ha soluzione r ( A) r ( A : B).
Se V é uno s.e.r. allora presi v, v1 ,...., vm V , a1 ,...., am R ,
a) 0, v 0 ;
b) v, a1v1 ... am vm a1 v, v1 ... am v, vm .
Se V é uno s.e.r. allora
a) v v ,
v
é un versore,
v
c) v cw w( w 0, v, w V , c coefficiente di Fourier di v rispetto a w ).
v, v1
v, v 2
Se (v1 ,..., vn ) é una base ortonormale di V e v V allora M (v)
.
...
v, v
n
Costruzione di una base ortogonale . Procedimento di Gram-Schmidt e dimostrazione che
v1' v2' . Passaggio da una base ortogonale ad una ortonormale.
Proprieta’ caratteristica delle matrici ortogonali ( AA1 I ).
Se A (aij ) M n ( R) é una matrice ortogonale, allora
b) Se v 0 , allora
a) le righe (colonne) di A formano una base ortonormale di R n e viceversa (per n=2),
b) | A | 1 (non vale il viceversa),
c) Aij aij (non vale il viceversa).
Se A, B M n ( R) sono matrici ortogonali, allora AB é ortogonale.
Geometria analitica e s.e.r. Dimostrazioni delle condizioni di perpendicolarità e di
parallelismo “rette-piani” (tutti i casi possibili).
Parallelismo piano-retta mediante la discussione del sistema formato dalle loro equazioni.
La relazione di similitudine tra matrici é una relazione di equivalenza (riflessiva-simmetricatransitiva).
Se é un autovalore di A M n (R) allora V é un sottospazio di R n .
Se A M 2 ( R) allora A ( ) 2 tr( A) | A | .
Teorema fondamentale per il calcolo degli autovalori e degli autospazi.
m.g. di n r (I A).
Se A M n (R) é diagonalizzabile con U ortogonale, allora A é simmetrica.
a) 0 é autovalore di A | A | 0.
b) Se x1 , x2 sono autovettori di A associati agli autovalori 1 , 2 con 1 2 , allora
x1 , x2 sono linearmente indipendenti.
c) A B | A || B | e A B A ( ) B ( ).
d) Se é autovalore di A e x é un relativo autovettore, allora 2 é autovalore di A 2 e
x é un autovettore di A 2 .
Se G é una matrice a scala, allora r (G ) numero di righe non nulle di G .
Teorema sulla riduzione a forma diagonale di una forma quadratica.
Teorema sulle forme quadratiche definite (semi-definite) positive.
a b
e’ definita positiva | A | 0 e a 0 .
Se A
b c
Se A M n (R) é simmetrica e (semi-) definita positiva, allora esiste una (unica) matrice B
simmetrica e (semi-) definita positiva tale che B 2 A. Segue definizione di A .
Lo s.v. R[x] (polinomi nell’indeterminata x e a coefficienti reali) non ha dimensione finita.
Proprieta’ caratteristica di un tensore [ a) e b) a’) ]
a) T (v1 v2 ) T (v1 ) T (v2 )
b) T (v) T (v)
a’) T (1v1 2 v2 ) 1T (v1 ) 2T (v2 )
Teorema sulla rappresentazione diagonale di un tensore simmetrico.
Tutte le diadi sono tensori ( v w e’ un tensore). Esistono tensori che non sono diadi.
Se v 1 allora v v(w) é la proiezione di w su v .
Se v1 ( x1 , x2 , x3 ) allora la matrice del tensore emisimmetrico di vettore assiale v1 è
x3 x 2
0
Av1 x3
0
x1 .
x
x1
0
2
Dal teorema generale su diadi e tensori alla dimostrazione del teorema di decomposizione
spettrale di un tensore simmetrico.
Se S é un tensore simmetrico ed E un tensore emisimmetrico, allora S , E 0 .
Autovettori di un tensore simmetrico associati ad autovalori distinti sono ortogonali.
Se R é un autovalore di un tensore ortogonale allora 1.
vw v w .
Se (v1 ,..., vn ) é una base ortonormale dello s.e.r. V allora
a) vi v j 1 ,
b) vi w j v h v k se i h oppure j k .
