TEOREMI MECC. 2013-2014

DIMOSTRAZIONE DEI SEGUENTI TEOREMI
(INGEGNERIA MECCANICA )
2013-2014
Le seguenti dimostrazioni sono fondamentali ma non
rappresentano la totalita’ di quelle svolte a lezione.
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(Teorema di caratterizzazione del sottospazio generato)
Sia V uno s.v. su R e sia S  {v1 , v2 ,..., vn }  V (n  1). Allora:
a) [S ] é un sottospazio di V ;
b) [ S ]  S ;
c) se W é un sottospazio di V e W  S allora W  [S ] .
(Teorema di caratterizzazione dei sottoinsiemi linearmente dipendenti )
Sia V uno s.v. su R e sia S  {v1 , v2 ,..., vn }  V (n  1). Allora:
a) S  {v1} é linearmente dipendente  v1  0 ;
b) Se n  1, S é linearmente dipendente  esiste un elemento di S che è combinazione
lineare degli altri elementi di S .
(Teorema che porta al concetto di coordinate di un vettore rispetto ad una base)
Se   (v1 , v2 ,..., vn ) é una base dello s.v. V , allora ogni elemento v  V si può
rappresentare in un unico modo come combinazione lineare degli elementi di  . (Segue
definizione di M  (v) ).
Se A, B  M n ( R) sono invertibili, allora AB é invertibile e ( AB) 1  B 1 A1 .
Sia A  M n (R) . Allora
a) A  A1 é simmetrica;
b) A  A1 é emisimmetrica;
c) AA1 é simmetrica.
1
.
| A|
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Se A  M n (R) é invertibile, allora | A | 0 e | A 1 |
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Se | A | 0 allora
a) AB  0  B  0;
b) AB  AC  B  C.
Se A, B  M n ( R) e AB  I n allora A e B sono invertibili e A 1  B e B 1  A.
Teorema di Cramer. Se il sistema lineare AX  B ha n equazioni in n incognite e | A | 0 ,
allora AX  B ha una ed una sola soluzione (non vale il viceversa). Calcolo della soluzione
col “metodo della matrice inversa”.
Teorema di Rouché-Capelli. Il sistema lineare AX  B ha soluzione  r ( A)  r ( A : B).
Se V é uno s.e.r. allora presi v, v1 ,...., vm  V , a1 ,...., am  R ,
a)  0, v  0 ;
b)  v, a1v1  ...  am vm  a1  v, v1  ...  am  v, vm  .
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Se V é uno s.e.r. allora
a) v   v ,
v
é un versore,
v
c) v  cw  w( w  0, v, w  V , c coefficiente di Fourier di v rispetto a w ).
  v, v1  


  v, v 2  
Se   (v1 ,..., vn ) é una base ortonormale di V e v  V allora M  (v)  
.
... 


  v, v  
n


Costruzione di una base ortogonale . Procedimento di Gram-Schmidt e dimostrazione che
v1'  v2' . Passaggio da una base ortogonale ad una ortonormale.
Proprieta’ caratteristica delle matrici ortogonali ( AA1  I ).
Se A  (aij )  M n ( R) é una matrice ortogonale, allora
b) Se v  0 , allora
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a) le righe (colonne) di A formano una base ortonormale di R n e viceversa (per n=2),
b) | A | 1 (non vale il viceversa),
c) Aij   aij (non vale il viceversa).
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Se A, B  M n ( R) sono matrici ortogonali, allora AB é ortogonale.
Geometria analitica e s.e.r. Dimostrazioni delle condizioni di perpendicolarità e di
parallelismo “rette-piani” (tutti i casi possibili).
Parallelismo piano-retta mediante la discussione del sistema formato dalle loro equazioni.
La relazione di similitudine tra matrici é una relazione di equivalenza (riflessiva-simmetricatransitiva).
Se  é un autovalore di A  M n (R) allora V é un sottospazio di R n .
Se A M 2 ( R) allora  A ( )  2  tr( A)  | A | .
Teorema fondamentale per il calcolo degli autovalori e degli autospazi.
m.g. di   n  r (I  A).
Se A  M n (R) é diagonalizzabile con U ortogonale, allora A é simmetrica.
a)   0 é autovalore di A | A | 0.
b) Se x1 , x2 sono autovettori di A associati agli autovalori 1 , 2 con 1  2 , allora
x1 , x2 sono linearmente indipendenti.
c) A  B | A || B | e A  B   A ( )   B ( ).
d) Se  é autovalore di A e x é un relativo autovettore, allora  2 é autovalore di A 2 e
x é un autovettore di A 2 .
Se G é una matrice a scala, allora r (G )  numero di righe non nulle di G .
Teorema sulla riduzione a forma diagonale di una forma quadratica.
Teorema sulle forme quadratiche definite (semi-definite) positive.
a b
 e’ definita positiva | A | 0 e a  0 .
Se A  
b c
Se A  M n (R) é simmetrica e (semi-) definita positiva, allora esiste una (unica) matrice B
simmetrica e (semi-) definita positiva tale che B 2  A. Segue definizione di A .
Lo s.v. R[x] (polinomi nell’indeterminata x e a coefficienti reali) non ha dimensione finita.
Proprieta’ caratteristica di un tensore [ a) e b)  a’) ]
a) T (v1  v2 )  T (v1 )  T (v2 )
b) T (v)  T (v)
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a’) T (1v1   2 v2 )  1T (v1 )   2T (v2 )
Teorema sulla rappresentazione diagonale di un tensore simmetrico.
Tutte le diadi sono tensori ( v  w e’ un tensore). Esistono tensori che non sono diadi.
Se v  1 allora v  v(w) é la proiezione di w su v .
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Se v1  ( x1 , x2 , x3 ) allora la matrice del tensore emisimmetrico di vettore assiale v1 è
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 x3 x 2 
 0


Av1   x3
0
 x1  .
 x
x1
0 
 2
Dal teorema generale su diadi e tensori alla dimostrazione del teorema di decomposizione
spettrale di un tensore simmetrico.
Se S é un tensore simmetrico ed E un tensore emisimmetrico, allora  S , E  0 .
Autovettori di un tensore simmetrico associati ad autovalori distinti sono ortogonali.
Se   R é un autovalore di un tensore ortogonale allora   1.
vw  v w .
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Se   (v1 ,..., vn ) é una base ortonormale dello s.e.r. V allora
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a) vi  v j  1 ,
b) vi  w j  v h  v k se i  h oppure j  k .